2. Растровая развертка окружностей

Принцип работы алгоритма растровой развертки окружности (дуги), разработанного Брезенхемом, так же основан на идее выбора пиксела по принципу минимизации расстояния до реальной линии.

Рассмотрим участок окружности в 1-м октанте, где функция x = f(y), при начальных условиях х = 0, у = R является монотонно убывающей. На рисунке показаны возможные траектории прохождения реальной окружности.

Рис. 6-3

Основной расчетной формулой является формула окружности с центром в начале координат и радиусом R:

х2+ у2= R2

(4)

Если воспользоваться данной формулой «впрямую» то возникнут два недостатка использования данного метода:

1. работа с действительными числами;

2. искажение реальной окружности при разложении в растр (см. рисунок).

Рис. 6-4

Алгоритм настроен на выбор пиксела, для которого минимален квадрат расстояния между одним из них и реальной траекторией окружности:

1. m_h= |(x_i+1)²+ (y_i)²–R²|;

2. m_d= |(x_i+1)²+ (y_i-1)²–R²|;

3. m_v= |(x_i)²+ (y_i-1)²–R²|.

Как и в случае построения прямой, на каждом i-м шаге вычисляется управляющая переменная D_i, которая представляет собой разность между квадратами расстояний от центра окружности до диагонального пиксела (x_i + 1, y_i – 1) и от центра до реальной точки на окружности:

х2 Di = (xi + 1)2 + (yi – 1)2 – R2

(5)

В случае 1 и 2 диагональный пиксел находится внутри реальной окружности (D_i<0). Далее надо решить выбор направлений m_h или md. Для этого вычисляется разность квадратов для этих пикселов:

di = |(xi + 1)2 + (yi)2 – R2| - |(xi + 1)2 + (yi – 1)2 – R2|, при di  0 выбирается точка mh; при di > 0 выбирается точка md.

(6)

Аналогичным образом вычисляем ошибку для случаев 4 и 3. В итоге получим следующие соотношения:

1. D_i<0

1. d_i <= 0 выбираем m_h

2. d_i > 0 выбираем m_d

2. D_i 0

1. d_i <= 0 выбираем m_d

2. d_i > 0 выбираем m_v

3. D_i= 0 выбираем m_d

Исходя из вышеизложенного, можно разработать следующие соотношения для реализации пошагового алгоритма с использованием целочисленных переменных:

для направления m_h

• x_i+1= x_i+ 1;

• y_i+1= y_i;

• D_i+1= (x_i+1+ 1)²+ (y_i+1– 1)²– R²= D_i+2x_i+1+1.

для направления m_d

• x_i+1= x_i+ 1;

• y_i+1= y_i– 1;

• D_i+1= + 1)²+ (y_i+1– 1)²– R²= D_i+2x_i+1- 2y_i+1+ 2.

для направления m_d

• x_i+1 = x_i;

• y_i+1 = y_i – 1;

• D_i+1= D_i- 2x_i+1+ 1.

Операция умножения на 2 легко реализуется с помощью операции сдвига влево. Приведенный алгоритм работает в первом октанте. Для ускорения работы алгоритма используют принцип восьмисторонней симметрии, суть которого заключается в симметричном отображении октантов (см рисунок).

Рис. 6-5

3. Растровая развертка и заполнение полигональных областей

Для построения элементарных объектов (схем, чертежей, диаграмм и т.п.) в векторном представлении, достаточно пользоваться такими примитивами, как ребра, дуги, окружности. Для построения более сложных двухмерных объектов с закрашиванием областей применяются алгоритмы Растровое изображение позволяет осуществлять рассмотренными вышдвухмерном рапредставлении Растровая развертка многоугольников предполагает заполнение их определенным цветом