17. Достаточное ус-е экстремума с использованием старших производных.

Пусть f’(a)=0 подозрительна на экстремумы, если f’’(a)>0, то min;

Если f’’(a)<0, то max.

Теорема: Пусть f’(a)=0,f’’(a)=0,f^(n-1) (a)=0, f^n (a)≠0.

Тогда при n=2k+1 экстремума нет; n=2k, f^n(a)>0 – min, f^n(a)<0 – max.

Док-во: по формуле Тейлора f(x)=f(a)+(1/n!)*f^n(a)(x-a)^n+о((x-a)^n)

Т.е.f(x)-f(a)=f^n(a)*(x-a)^n/n! ч.т.д

18. Участки выпуклости и точки перегиба функции

Опр. Непрерывная на промежутке X функция f(x) называется выпуклой вниз если ∀.x.1,x.2∈X ∀.(α,β: α≥0,β≥0, α+β=1)

f(αx.1+ βx.2)≤αf(x.1) + βf(x.2). Если неравенство строгое, то f(x) строго выпукла вниз.

x= αx.1+ βx.2 ; α+β=1

x= αx.1+ (1- α)x.2

x= α(x.1-x.2)+x.2 x.1≤x≤x.2

α(x.2-x.1)=x.2-x

α=(x.2-x)/( x.2-x.1) β=(x-x.1)/(x.2-x.1)

f(x) ≤(x.2-x)/( x.2-x.1)* f(x.1) + (x-x.1)/(x.2-x.1)*f(x.2)

∀.x∈[x.1,x.2]

y=(x.2-x)/( x.2-x.1)* f(x.1) + (x-x.1)/(x.2-x.1)*f(x.2) – ур-е прямой (y=kx+b)

y(x.1) = f(x.1) и y(x.2)=f(x.2) т.е. эта прямая проходит черезточки:

(x.1, f(x.1)), (x.2,f(x.2)) Выпуклая вниз функция лежит под секущей

Теорема 1. Для того, чтобы f(x) была выгнутой вниз необходимо и достаточно, чтобы f’(x) монотонно возрастала

Док-во: =>) Пусть f(x) выгнута вниз:

(x.2-x)/(x.2-x.1) + (x-x.1)/(x.2-x.1) = 1 ; (x.2-x)/(x.2-x.1) * f(x) + (x-x.1)/(x.2-x.1) * f(x) ≤ (x.2-x)/(x.2-x.1) * f(x.1) + (x-x.1)/(x.2-x.1) * f(x.1)

(f(x) – f(x.1))/(x.2-x.1) * (x.2-x) ≤ (f(x.2) – f(x))/(x.2-x.1) * (x-x.1)

x.2>x.1 x.2-x>0 x-x.1>0

(f(x) – f(x.1))/(x-x.1) ≤ (f(x.2)-f(x))/(x.2-x)

пусть x->x.1-0 f’(x.1) ≤ (f(x.2)-f(x.1))/(x.2-x.1)

пусть x->x.2-0 (f(x.2)-f(x.1))/(x.2-x.1) ≤ f’(x.2)

т.е. f’(x.1) ≤ f’(x.2) т.е. f’(x) – монотонно возрастает

<=) Пусть f’(x) – монотонно возрастает

(f(x)-f(x.1))/(x-x.1) = f’(c.1); (f(x.2)-f(x))/(x.2-x)=f’(c.2)

по формуле конечных приращений Лагранжа f’(c.1) ≤ f’(c.2) c.1≤c.2

(f(x)-f(x.1))/(x-x.1) ≤ (f(x.2)-f(x))/(x.2-x) чтд

Следствие: Если f‘’(x)=>0, то f(x)выпукла вниз.

Док-во: f’’(x)=(f’(x))=>0 =>f’(x) возр =>f(x)-выпукла вниз, ч.т.д.

Теорема 2: если f(x) дифференц на X и выпукла вниз, то график f(x) находятся над касательной(выпукла вверх-под касательной)

Пример: док-ть что дифференц и выпуклая вверх на всей оси функция не может быть положительной на все оси.

Док-во: график: ось х, над ней парабола и прямая касательная к параболе

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Таблица производных

1) (sin x)’ = lim[Δx→0] [(sin(x+Δx)-sinx)/Δx]= lim[Δx→0] ((2sin([x+Δx-x]/2)cos([x+Δx+x]/2))/Δx)

= lim[Δx→0] [sin(Δx/2)/(Δx/2) *cos[x+(Δx/2)]]=cosX

2) (arcsin x)’: y=arcsin x; x = sin(y); 1 = cos(y)y’; y’=1/cos(y); cos^2(y) = 1 – sin^2(y)=1-x^2;

cos(y) = √(1-x^2); y’=1/√(1-x^2)

3) (cos x)’=lim[Δx→0] [(cos(x+Δx)-cos(x))/Δx]= lim[Δx→0] [(-2 sin(Δx/2) sin(x+ Δx/2) )/(2 * Δx/2)]=

= -sin(x)

4) y=arccos(x); x=cos(y); 1=-sin(y)y’; y’=-1/sin(y); sin^2(y)=1-cos^2(y)=1-x^2;

sin(y)= √(1-x^2); y’=-1/√(1-x^2)

5) [ctg(x)]’ = (cosx/sinx)’ = ….

6) y=arctg(x); x=ctg(y); 1=-1/sin^2(y)*y’; 1/sin^2(y)=1+ctg^2(y)=1+x^2;

y’=-1/(1+x^2)

7) (e^x)’ = lim[Δx→0] [(e^(x+ Δx) – e^x)/Δx] = lim[Δx→0] [(e^x (e^Δx-1))/Δx]=e^x

8) (a^x)’ = (e^xlna)’ = e^xlna * (x lna)’ = a^x lna

9) (ln x)’ = lim[Δx→0] (ln(x+ Δx)-ln(x)/Δx)=lim[Δx→0] [ln((x+Δx)/Δx)/Δx] =

= lim[Δx→0] [ln((x+Δx)/Δx)/(Δx/x * x)] = 1/x (в последнем действии первый замечательный)

10) (log.a x)’ = (ln x/ ln a)’ =1/(x lna)

11) (x^a)’ = (e^alnx)’ = e^alnx (a lnx)’ = x^a a 1/x = a x^(a-1)

12) (x^x)’ = (e^xlnx) e^xlnx (x lnx)’ = x^x (lnx+ x *(1/x)) = x^x (lnx+1)

13) (chx)’= ((e^x+e^-x)/2)’=((e^x-e^-x)/2)=shx

ch^2x-sh^2x=1

14) (thx)’=(shx/chx)’=….=1/ch^2x