9. Идеальные элементы (резистивный, индуктивный и емкостный) в цепи переменного тока. Определения, основные соотношения и особенности цепи. Понятие об активной, реактивной и полной мощностях.

1.   Резистивный элемент в цепи переменного тока

Резистивный элемент R , обладающий активным сопротивлением R [Ом], включен в сеть переменного тока i = I_m Sin ωt на напряжение u_R и потребляет от питающей сети некоторую мощность Р [Вт], которая преобразуется в другие виды энергии, т.е. в некоторую работу.

   Поскольку в резистивном элементе по определению отсутствуют переменные электромагнитные поля то по закону Ома для участка цепи сила тока i = u_R / R .

Тогда: где - амплитуда активного напряжения. Отсюда получаем выражение закона Ома для амплитудных значений:

Разделив обе части этого выражения на получим выражение закона Ома для действующих значений: или в комплексной форме: .

Из сравнения выражений для мгновенных значений напряжения и тока следует, что в цепи, содержащей резистивный элемент (или другими словами – в резистивном элементе), сдвиг фаз φ_R = Ψ_и - Ψ_i = 0, т.е. напряжение и ток в резистивном (активном) элементе совпадают по фазе или синфазны.

В резистивной цепи коэффициент мощности Cos φ _R = 1, поэтому среднее значение электрической мощности за период или активная мощность в резистивной цепи равна полной мощности: Р = P _cp = I U Cos φ _R = I U = S - резистивная цепь потребляет от сети только активную мощность P = S.

Реактивная (обменная) мощность в резистивной цепи: Q = I U Sin φ _R = 0 - в резистивной цепи отсутствует обмен реактивной энергией Q = 0.

2. Индуктивный элемент в цепи переменного тока

Индуктивный элемент L [Гн] (идеальная катушка) включен в сеть переменного тока i = I_m Sin ωt на напряжение u_L и участвует в обмене реактивной энергией Q _L [ВАр] с питающей сетью.

 Идеальная катушка (по определению) не имеет активного сопротивления R = 0 и в ней не происходит преобразования электрической энергии Р = 0. При этом такая катушка обладает свойством периодически запасать электрическую энергию в виде энергии переменного магнитного поля Q _L и обмениваться ею с источником. Поскольку магнитное поле является переменным, то при его изменении в обмотке катушки будет наводиться переменная ЭДС самоиндукции: e_L = - dd t = - L di /d t [В], где L = ddi [Гн] - индуктивность катушки.

 По второму правилу Кирхгофа для такой цепи можно записать:

u_L + e_L ) =  iR = 0 u_L + e_Lu_L = - e_L = L di /d t .

 После подстановки получаем выражение для мгновенного значения индуктивного напряжения u_L : ,

,где - амплитуда индуктивного напряжения.

Отсюда получаем выражение закона Ома для амплитудных значений:

Разделив обе части этого выражения на получим выражение закона Ома для действующих значений: ,здесь ωL - имеет размерность сопротивления [Ом] и называется индуктивным сопротивлением X _L = ωL .

В таком случае закон Ома для индуктивной цепи можно записать:

 Из сравнения выражений для мгновенных значений напряжения и тока следует, что в цепи, содержащей индуктивный элемент (или другими словами – в индуктивном элементе), сдвиг фаз φ_L = Ψ_и - Ψ_i = + 90 ^O, т.е. напряжение в индуктивном элементе опережает по фазе ток на четверть периода ( + /2 или + 90 ^O), а ЭДС находится в противофазе с индуктивным напряжением.

 

  В индуктивной цепи коэффициент мощности Cos φ _L = 0 , поэтому среднее значение электрической мощности за период или активная мощность равна нулю: Р = I U Cos φ _L =0- индуктивная цепь не потребляет от сети активную мощность, следовательно, в ней не происходит преобразования электрической энергии в работу.

Реактивная (обменная) мощность в индуктивной цепи (индуктивная мощность) равна полной мощности: Q _L = I U Sin φ _L = I U = S - индуктивная цепь потребляет от сети только реактивную мощность Q _L = S.

3. Ёмкостный элемент в цепи переменного тока Ёмкостный элемент С [Ф] (идеальный конденсатор) включен в сеть переменного тока i = I_m Sin ωt на напряжение u_С и участвует в обмене реактивной энергией Q _С [ВАр] с питающей сетью.

Идеальный конденсатор (по определению) не имеет активного сопротивления R = 0 и в нем не происходит преобразования электрической энергии Р = 0. При этом такой конденсатор обладает свойством периодически запасать электрическую энергию в виде энергии переменного электрического поля Q _C и обмениваться ею с источником. Из выражения для ёмкости можно записать:

,откуда после интегрирования получаем:

,

где - амплитуда ёмкостного напряжения.

 Отсюда получаем выражение закона Ома для амплитудных значений: .

Разделив обе части этого выражения на получим выражение закона Ома для действующих значений: , здесь - имеет размерность сопротивления [Ом] и называется ёмкостным сопротивлением.

В таком случае закон Ома для ёмкостной цепи можно записать:

Из сравнения выражений для мгновенных значений напряжения и тока следует, что в цепи, содержащей ёмкостный элемент (или другими словами – в ёмкостном элементе), сдвиг фаз φ_С = Ψ_и - Ψ_i = - 90 ^O, т.е. напряжение в ёмкостном элементе отстает по фазе от тока на четверть периода ( -пи /2 или - 90 ^O).

 

 В ёмкостной цепи коэффициент мощности Cos φ _С = 0 , поэтому среднее значение электрической мощности за период или активная мощность равна нулю: Р = I U Cos φ _С = 0 -ёмкостная цепь не потребляет от сети активную мощность, следовательно, в ней не происходит преобразования электрической энергии в работу.

Реактивная (обменная) мощность в ёмкостной цепи (ёмкостная мощность) равна полной мощности: Q _С = I U Sin φ _С = I U = S - ёмкостная цепь потребляет от сети только реактивную мощность Q _С = S.

 Понятие об активной, реактивной и полной мощностях.

В цепях переменного тока в связи с периодическим изменением электрического тока энергия электрических и магнитных полей периодически изменяется и между этими полями и источником электрической энергии происходит обратимый периодический процесс обмена электрической энергией. Скорость такого обратимого процесса обмена электрической энергией между источником и электрической цепью характеризуется понятием реактивная мощность Q [ ВАр], (Вольт-Ампер реактивный).

 Одновременно в электрической цепи переменного тока происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепло, свет и другие виды энергии, т.е. в работу. Скорость такого необратимого процесса преобразования электрической энергии характеризуется понятием активная мощность Р [Вт], (Ватт).

Таким образом, в общем случае в цепи переменного тока одновременно происходят два процесса: процесс преобразования электрической энергии в другие виды (в работу) и процесс обратимого периодического обмена энергией между источником и цепью. Эти два одновременно протекающих процесса, накладываясь друг на друга, создают в цепи сложный единый энергетический процесс, для характеристики которого вводится понятие полная мощность S [ВА], (Вольт-Ампер).

 Полученные энергетические соотношения могут быть условно представлены на плоскости в геометрической форме - в виде прямоугольного треугольника - треугольника мощностей, из которого могут быть получены дополнительные формулы, необходимые для выполнения электротехнических расчетов.