1.3 Дифференциальные уравнения первого порядка

Общие понятия и определения, связанные с ДУ n-го порядка, легко конкретизируются для ДУ первого порядка (n=1).

Общий вид ДУ I порядка: ;

канонической формой дифференциального уравнения I порядка считается его вид, разрешенный относительно производной:

(3)

Замечание

ДУ I порядка может быть еще записано в дифференциалах независимой переменной и функции : .

Учитывая, что , такое ДУ легко приводится к канонической форме:

.

Общее решение ДУ I порядка: , где – произвольная постоянная.

Если общее решение получено в виде, не разрешенном относительно y (то есть в неявном виде), то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения и имеет вид:

.

Частное решение: ,

частный интеграл: , где - фиксированное значение постоянной .

Постановка задачи Коши:

Найти частное решение ду , удовлетворяющее начальному условию ,

где , – фиксированные числа.

Геометрическая трактовка основных понятий ду I порядка

Общее решение: – это однопараметрическое (параметр – ) семейство линий на координатной плоскости , которые называются интегральными линиями дифференциального уравнения.

Частное решение: – это одна из интегральных линий.

Начальное условие: - фиксирует точку , через которую проходит интегральная линия, соответствующая частному решению, полученному по этому начальному условию.

Дифференциальное уравнение – задает в каждой точке значение производной , что геометрически равно значению углового коэффициента касательной к интегральной линии. Следовательно, ДУ задает поле направлений касательных к интегральным линиям.

Пример 3

- ДУ I порядка

Его общее решение: – это однопараметрическое семейство интегральных линий, имеющих форму парабол с вершинами по оси OY.

Начальное условие: - фиксирует на плоскости XOY точку .

Решаем задачу Коши, то есть ищем интегральную линию, проходящую через точку :

- это значение постоянной для искомого частного решения; тогда – искомое частное решение, график которого проходит через точку .

Геометрический смысл ДУ: – задает к интегральной линии в каждой точке ; например, в точке имеем .

Важное значение в теории ДУ имеет теорема существования и единственности частных решений, или решения задачи Коши (без доказательства, рассматриваем только для ДУ I порядка).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ I порядка.

Рассмотрим ДУ I порядка в канонической форме и начальное условие . Если функция , стоящая в правой части дифференциального уравнения, в точке и ее окрестности непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то ДУ имеет единственное частное решение, удовлетворяющее поставленному начальному условию.

То есть если условия теоремы выполнены, то существует единственная интегральная линия данного ДУ, проходящая через точку .

Если же условия теоремы не выполнены, то нельзя гарантировать существование и единственность интегральной линии, проходящей через точку . Следовательно, в этом случае возможны следующие варианты:

• не существует интегральной линии, проходящей через точку ;

• существует интегральная линия, проходящая через точку , но не единственная;

• существует единственная интегральная линия, проходящая через точку .

Точки , не удовлетворяющие условию теоремы существования и единственности частных решений, называются особыми точками дифференциального уравнения.

Пример 4

1) ­ обе функции непрерывны при любых .

Поэтому в любой точке существует и является единственной интегральная линия данного ДУ. Интегральные линии не пересекаются для этого ДУ ни в одной точке плоскости XOY (см. чертеж в предыдущем примере).

2) -	обе функции непрерывны при любых , кроме точек, в которых .

По теореме существования и единственности заключаем, что

1) через любую точку (x, y), в которой x ≠ 0, проходит единственная интегральная линия;

2) через любую точку (0, y) нельзя гарантировать прохождение единственной интегральной линии.

Общее решение данного ДУ: - это семейство прямых, проходящих через начало координат.

Все точки являются особыми точками этого ДУ. Через одну из них проходят все интегральные линии; через остальные особые точки (точки оси OY) не проходит ни одна из интегральных линий данного ДУ.