Вопрос 28)Единственность решения внутренних задач Дирихле и Неймана
Теорема1:
Задача Дирихле для огранич. внутр. обл.
имеет един. реш-е:
.
Док-во:
Предпол., что есть 2 реш-я
,тогда
их разн-ть
удовлет.
краевой задаче:
Но если гарм. ф-ция на границе обл-ти
=0, то по теореме о max и min она не может
быть не > ни < 0,
0,
т.е.
.
Теорема2:
Задаче Неймана для огранич. обл-ти имеет
неедин. реш-ние, однако разные реш-я
этой задачи могут отлич-ся лишь на
const. Док-во:
Предпол-м, что сущ-т 2 реш-я
,
примен-я для ф-ии
,
что и треб-сь док-ть. Заметим, что усилить
рез-тат нельзя, т.к. добавл-е const к задаче
Неймана реш-я её не меняет. Замечание:
1) В прилож-ях такая неедин-ть реш-я не
существенны, т.к. реаль. физ. поля как
правило выраж-ся ч/з grad реш-я задачи
Неймана. 2) Теоремы 1 и 2 перенос-ся на
пл-ть без принцип. измен-ний.
Вопрос 30) Метод Фурье общая схема
Одним из самых распростран методов решения краевых задач линейных ДУ в частных производных явл метод разделения переменных. Пусть надо решить систему Дирихле ( = 0; | s = f) или Неймана ( / n | s = f).Суть метода заключается в том, что решение задаем простым наложением: = с11 +с22+… где k – базисные решение урав-ния Лапласа, а ck – произвольные константы, определяемые нач. усл. В методе Фурье базисные решения ищутся в виде:
1) В декартовых координатах: (x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z);
2)В цилиндрических координатах: (r,,z) = =R(r)A()Z(z);
3) В сферических координатах: (r,,) = R(r)T()A() Ф-ции X,R и т.д. отыскиваются подстановкой предполагаемых решений в ур-ние Лапласа. При этом ур-ние Лапласа распадается на савокупность ОДУ, относительно этих ф-ций связанных между собой некоторыми константами.Решение ОДУ выражается через элементарные функции (ехр, тригоном, Бесселя и т.п.). При этом базисные решения зависят только от савокупности некоторых констант, которых может удовлетворить граничным условиям задачи.Для области произвольного вида эту процедуру можно реализовать только приближенно с использованием чсленных методов: метод коллокации, метод наименьших квадратов, метод Галёркина.Для ряда канонических областей, границы которых совпадают с координатными поверхностями какой либо ортогональной СК, константы входящие в базисное решение могут быть определены точно. В дек сист коорд это параллелепипеды. В этом случае решение выражается в виде рядов. В некоторых частных случаях эти ряды суммируются, либо вырождаются