§8. Принцип относительности. Преобразования Галилея

Не во всякой системе отсчета выполняется второй закон Ньютона. Рассмотрим, например, поведение чемодана, лежащего на горизонтальной полке в движущемся поезде. Если поезд движется равномерно, то чемодан покоится в системе отсчета, связанной с полкой. Однако, если поезд начинает резко тормозить, то чемодан, без всяких видимых причин, может упасть Вам на голову, доказывая тем самым несправедливость второго закона Ньютона. Действительно, в системе отсчета, связанной с полкой поезда, чемодан покоился, никакие силы в горизонтальном направлении не действовали, и, тем не менее, он начал свое движение относительно полки, т.е. приобрел ускорение. Следовательно, второй закон Ньютона не выполняется.

Система отсчета (CO), в которой выполнятся II закон Ньютона, мы назвали инерциальной CO, и она определяется первым законом Ньютона. Другие системы отсчета называются неинерциальными.

Покажем, что система отсчета, движущаяся с постоянной скоростью относительно инерциальной, будет также инерциальной.

Рассмотрим две системы отсчета: инерциальную X,Y,Z, и систему отсчета X,Y,Z, которая движется поступательно относительно первой равномерно и прямолинейно со скоростью v₀ =const (рис. 8.1). Примем для простоты, что в начальный момент времени t = 0 начала О и O обеих систем координат совпадают. Тогда взаимное расположение этих систем в произвольный момент времени t имеет вид, изображенный на рис. 8.1.

Рис. 8.1. Движение точки М в двух инерциальных системах отсчета.

В системе X,Y,Z : (r = R_O + r) – положение т.М; (v = v + v₀) – скорость т. М;

(w = w)– ускорение т.М.

В системе X,Y,Z : (r = r – R_O) положение т.М; (v = v – v₀)-скорость т. М;

(w = w)– ускорение т.М.

Скорость v₀ направлена вдоль прямой OO и вектор R_O, проведенный из точки О в точку O, равен v₀t. Положение произвольной точки М в не штрихованной и штрихованной системах отсчета определяется радиусом вектором r и r соответственно, причем (см. рис. 8.1)

r = R_O + r = r + v₀ t или r = r – R_O = r – v₀ t. (8.1)

Предположим также, что ход времени не зависит от относительного движения систем отсчета, т.е.

t = t . (8.2)

Продифференцировав выражения (8.1) по времени, получим уравнения для скоростей v и точки М в этих системах отсчета.

или . (8.3)

Продифференцируем выражение (8.3) по времени. С учетом того, что , получим:

. (8.4)

Отсюда следует, что ускорение точки во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга с постоянной по модулю и по направлению скоростью, оказывается одинаковым. Поэтому, если одна из этих систем инерциальная (это значит, что в отсутствии сил w = 0), то и остальные СО будут также инерциальными ().

Все инерциальные системы отсчета равноправны. Это означает, что законы природы (физики), по которым изменяются состояния физических систем, не зависят от того, в какой инерциальной системе отсчета рассматривается данное явление. Это заключение называется принципом относительности.

В разных системах отсчета одни и те же физические характеристики данного физического явления могут быть и различными и одинаковыми. Например, в одной системе отсчета скорость материальной точки может быть равна нулю, а в другой СО отлична от нуля. А вот заряд или масса покоя частицы не зависят от выбора системы отсчета.

Законы физики устанавливают связь между физическими величинами, которые, в принципе, могут быть разными в различных СО.

Что же имеет в виду принцип относительности, утверждая, что законы физики не зависят от того, в какой системе отсчета рассматривается данное явление?

Допустим, что какой-либо физический закон представлен в виде . Если при переходе от одной системы отсчета к другой величиныА, В, С не меняют своего значения, то говорят, величины А, В и С и самый закон инвариантны относительно этого перехода. Если при переходе от одной СО к другой, где величины А, В и С не сохраняют своего значения, а становятся равными , но законвыполняется, то говорят, что величиныА, В и С не инвариантны, но закон ковариантен относительно этого перехода. Причем, переход от А к ,отВ к и отС к происходитвсегда по заданным наперед преобразованиям.

Принцип относительности утверждает, что физические законы должны быть инвариантными либо ковариантными при переходе от одной системы отсчета к другой.

Например, рассматриваемый нами второй закон Ньютона () считается инвариантным во всех инерциальных системах отсчета, если только скорости материальной точкиm всегда будут оставаться много меньше скорости света (v<<c).

Инвариантность означает, что значения сил F, действующих на материальную точку, значение ее массы m и ее ускорения w будут равны во всех инерциальных СО, т.е. , ,.

Закон равнопеременного движения считается ковариантным, т.е. , причем переход от не штрихованных величин к штрихованным происходит по правилам (8.18.4), которые называются преобразованиями Галилея. Эти преобразования справедливы в случае, если скорости точки много меньше скорости света. Если скорости движения частиц сравнимы со скоростью света c, то закон равнопеременного движения по-прежнему ковариантен, но преобразования координат, времени, скоростей и ускорений при переходе от одной СО к другой происходят по другим выражениям, отличным от (8.18.4). Это преобразования Лоренца, которые для малых скоростей (v<<c) переходят в преобразования Галилея.