I категория сил

Из этой категории сил мы познакомимся с гравитационными силами, а впоследствии с электрическими и магнитными силами.

Величина сил гравитации определяется законом Всемирного тяготения: «Две материальные точки массами m₁ и m₂ притягивается к друг к другу с силой F, пропорциональной их массам m₁ и m₂ и обратно пропорциональной квадрату расстояния r ними”.

. (7.2)

Коэффициент пропорциональности  называется гравитационной постоянной.

.

Для того чтобы рассчитать гравитационное притяжение между объемными телами, необходимо просуммировать (проинтегрировать) все взаимные силы притяжения между материальными точками, из которых состоят эти тела.

Если притягивающиеся тела массами m₁ и m₂ обладают сферической симметрией, то можно показать, что сила притяжения между ними будет равна: , где r_c – расстояние между их центрами масс.

В силу малости величины  мы не замечаем гравитационного притяжения между обычными предметами. Например, два человека, сидящие вплотную друг к другу, притягиваются с силой, равной приблизительно 210^-6 Н. Такую силу не то что почувствовать, но и измерить чрезвычайно трудно. Другое дело, если одно из тел будет обладать большой массой, например, планета Земля. На тело массы m, расположенное на высоте h от поверхности Земли радиуса R_з, действует сила (рис. 7.1):

, (7.3)

где – масса Земли.

Нетрудно видеть (II-закон Ньютона), что величина имеет размерность ускорения, и называется ускорением свободного падения на высотеh от поверхности Земли. Если положить h<<R_з и вычислить значение , то оно окажется равным 9,8м/с². Эта величина обозначается буквой и называется ускорением свободного падения вблизи поверхности Земли.

Это ускорение, которое приобретают тела, находящиеся у поверхности Земли, под действием только сил ее гравитационного притяжения.

Гравитационную силу притяжения часто называют силой тяжести, которую не следует путать с весом тела. Вес тела – это сила реакции подвеса или опоры тела. Вес тела в одной и той же точке пространства может быть различным и, в частности, равен нулю (невесомость), сила же тяжести не меняет своего значения и всегда равна mg.

II категория сил

а) Силы упругости – это силы реакции упруго деформируемых тел. Величина этой силы F определяется законом Гука:

, (7.4)

где k – коэффициент жесткости;

x – вектор удлинения или сжатия упруго деформируемого тела.

Если роль упругого тела выполняет пружина, k – жесткость пружины, а x – удлинение или сжатие пружины.

Для описания деформаций упругого тела, то вводят еще одно понятие – модуль Юнга, который характеризует материал этого тела. Модуль Юнга E по физическому смыслу – это жесткость единичного куба. Если рассматривать стержень, то его жесткость k будет пропорциональна его площади сечения S и обратно пропорциональна его длине l. Следовательно: . Тогда закон Гука мы можем переписать в виде:. ОтношениеF_x/S называют напряжением , где F_x – сила, действующая перпендикулярно площадке S. Отношение x/l = , называют относительным приращением длины стержня. В случае растяжения стержня  и  считаются положительными, а в случае сжатия – отрицательными. Окончательно имеем:

 = Е. (7.5)

Подобным образом определяют силу реакции, когда имеется информация об удлинении или его величина играет существенную роль при описании движения тел, например, движение тел, связанных пружиной. Когда же информация о деформации тел отсутствует и ее величиной можно пренебречь по сравнению с размерами самого тела, то, как правило, можно заранее определить только направление сил реакции.

б) Реакция нити всегда направлена вдоль нити в сторону натяжения, так как нить не оказывает сопротивления изгибу и не может толкать тело. Например,

Рис. 7.2. Силы реакции нити Т при

движении материальной точки m

вокруг центра О.

Реакцию поверхности обычно раскладывают на две составляющих: силу нормального давления и силу трения.

в)Сила нормального давления всегда направлена от поверхности по нормали к ней (рис. 7.3).

г) Силы трения – это силы сопротивления, возникающие при попытке сместить друг относительно друга соприкасающиеся поверхности.

Если при стремлении к нулю относительных скоростей соприкасающихся поверхностей силы трения также стремятся к нулю, то такое трение называется вязким. Например, силы трения, возникающие при движении тел в жидкостях. В противном случае трение называют сухим.

Если происходит относительное перемещение двух соприкасающихся поверхностей, то считается, что сила трения принимает максимальное значение, равное

f_тр.ск.= μN. (7.6).

Считается также, что эта сила трения f_тр.ск., называемая силой трения скольжения, не зависит от скорости относительного движения соприкасающихся тел, а пропорциональна только силе нормального давления N. Коэффициент пропорциональности μ называется коэффициентом трения, который зависит от природы и состояния трущихся поверхностей.

Если соприкасающиеся поверхности не смещаются друг относительно друга, то модуль силы трения может принимать любые значения в диапазоне от 0 до μN. В этом случае действует сила трения, называемая силой трения покоя.

д) Сила Архимеда

Если тело покоится в жидкости или газе, то на него действуют силы реакции окружающих его молекул, результирующая которых определяется законом Архимеда.

На тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости (газа), вытесненной этим телом.

В инерциальной системе отсчета сила Архимеда F_арх равна:

F_арх = _жg V_ж, (7.7)

где _ж,V_ж – плотность и объем вытесненной жидкости или газа;

g – ускорение свободного падения.

В неинерциальных системах отсчета, в зависимости от ускорения этих систем, сила Архимеда может принимать различные значения, и, в частности, быть равной нулю. Каждый раз ее необходимо вычислять, исходя из условий задачи.

е) Сопротивление движению тел в жидкостях и газах.

При движении тела относительно жидкости или газа помимо силы Архимеда еще возникают силы сопротивления движению тела. Направление этих сил всегда противоположно направлению вектора скорости. Поэтому далее мы будем говорить только о модуле этих сил.

Эти силы сопротивления удобно разделить на две составляющие: силу трения F_тр поверхности тела о жидкость или газ (жидкое трение) и силу сопротивления F_, возникающую из-за разности давлений впереди и сзади движущегося тела.

Рассмотрим каждую из этих сил в отдельности.

Согласно эмпирическому (опытному) закону Стокса, сила трения тела о жидкость F_тр пропорциональна скорости движения тела v относительно жидкости (газа), вязкости жидкости (газа)  и линейным размерам тела. Кроме этого, сила трения зависит также и от формы тела. Например, при одинаковых размерах миделя (наибольшее поперечное сечение тела) и одинаковой скорости движения сила трения о жидкость шарика, конуса или куба будет различной.

Таким образом, сила трения F_тр будет равна:

,

где: r- линейный размер тела (для шарика это радиус);

-коэффициент формы тела (для шарика );

Чаще всего закон Стокса записывают для шара:

. (7.8)

При малых скоростях v движения тела силы сопротивления обусловлены практически только силами трения.

В этом случае слои жидкости не перемешиваются, и линии тока имеют вид, показанный на рис. 7.5.

Такое движение жидкости называетсяламинарным.

Характер обтекания тела жидкостью меняется при увеличении скорости его движения. Позади тела образуются завихрения, и начинается перемешивание между слоями жидкости. Такое обтекание жидкостью тела называется турбулентным, и его характер показан на рис. 7.6.

В этом случае возникают различные давления впереди и позади шарика, так как скорости движения жидкости в этих областях различны. Разность этих давлений обуславливает дополнительную силу сопротивления F_, которую можно определить следующим образом. Сила F_, очевидно, пропорциональна разности давлений (P₁ –P₂) впереди и позади тела и площади миделя S.

.

Можно показать (уравнение Бернулли), что разность давлений (P₁-P₂) пропорциональна квадрату скорости v² движения тела и плотности жидкости , а площадь сечения S – квадрату линейных размеров тела. Для шарика S пропорциональна квадрату его радиуса r².

Таким образом,

.

Сила F_, также как и сила трения, зависит от формы тела, и этот коэффициент пропорциональности определяется экспериментально. Окончательно имеем:

. (7.9)

Важно отметить, что сила F_ уже пропорциональна квадрату скорости v² движения тела. Поэтому при малых скоростях обтекания основную роль играют силы трения (F_тр >>F_). По мере увеличения скорости обтекания сила F_D растет быстрее, чем сила трения F_тр и при некоторой скорости v_кр их модули сравниваются. Это происходит, когда осуществляется переход от ламинарного обтекания к турбулентному.

Критерием перехода движения жидкости от ламинарного к турбулентному может служить равенство: . Скорость тела, при которой это равенство выполняется, называетсякритической скоростью v_кр.

.

Отсюда следует: . (7.10)

Отношение коэффициентов называетсякритическим числом Рейнольдса и обозначается Re_кр, а отношение –

. (7.11)

просто числом Рейнольдса Re.

Значения критических чисел Рейнольдса для различных форм тел приведены в соответствующих таблицах. Для шарика, например, Re_кр = 0,5.

Вычисления числа Рейнольдса для каждого конкретного случая позволяют определить характер обтекания его жидкостью. Если Re больше критического числа Re_кр, то обтекание турбулентное, если много меньше – ламинарное. Например, для определенной формы подводной части судна по критическому числу Рейнольдса можно заранее определить его критическую скорость v_кр, т.е. скорость, при превышении которой силы сопротивления быстро возрастают.

Методика решения задач с помощью законов Ньютона

1. Внимательно прочитать задачу и сделать чертеж.

2. Найти все тела и поля, с которыми взаимодействует рассматриваемое тело, и расставить стрелочками силы, действующие на рассматриваемое тело со стороны найденных.

3. Записать второй закон Ньютона в виде: .

4. Это векторное равенство проектируют на выбранные оси. Оси координат выбираются произвольно, но чаще удобнее всего:

а) в случае прямолинейного движения одну из осей направляют вдоль ускорения, а вторую ей перпендикулярно. Тогда для первой оси второй закон Ньютона примет вид: . Для второй оси -;

б) в случае криволинейного движения одну из осей направляют по радиусу кривизны к центру, а вторую ей перпендикулярно.

Если траектория движения рассматриваемого тела лежит в координатной плоскости, то для первой оси второй закон Ньютона примет вид: . Сумма, объединенная фигурной скобкой, представляет собой сумму проекций всех действующих на тело сил на направление нормальное к траектории и называетсяцентростремительной силой . На вторую ось второй закон Ньютона примет вид: . Второй закон Ньютона записывается для каждого тела в отдельности, а связи между ними учитываются условиями задачи.

5. Решают систему полученных скалярных уравнений.

Для всех сил есть одно общее свойство, которое составляет третий закон Ньютона: “Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия: если тело 1 действует на тело 2 с силой , то и тело 2 в действует на тело 1 с силой, причем”.

Третий закон Ньютона вполне строго выполняется в случае контактных взаимодействий (сил категории II), а также при взаимодействии находящихся на некотором расстоянии друг от друга покоящихся тел. Силы, подчиняющиеся третьему закону Ньютона, называются ньютоновскими силами.