Билет №1.(решен)

Задача №1. Одна из сторон треугольника равна 8, а два из его углов равны соответственно 30° и 45°. Найти все возможные значения периметра.

Решение. Возможны три случая взаимного расположения известных элементов треугольника:

А) Б) В)

А) По теореме о сумме углов треугольника , АС=8;

Sin105°=Sin (90°+15°) =Cos15° 0, 9659

;

P

Б) По теореме о сумме углов треугольника , ВС=8;

;

P

В) По теореме о сумме углов треугольника , АВ=8;

;

P

Ответ: ; ;

З адача №2. Построить треугольник по данным двум углам и биссектрисе при вершине третьего угла.

Дано:

Построение:

1. П остроим произвольный подобный искомому, взяв произвольный отрезок и отложив углы и .

2. Построим биссектрису .

3. Проведем через прямую параллельную до пересечения с и .

4. - искомый.

Билет №2.(решен)

З адача №1. В треугольнике АВС углы А и В равны 38⁰ и 86⁰ соответственно. Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки касания сторон с вписанной в АВС окружностью.

Дано: ,

Решение.

По свойству касательных: , , , т.е. - равнобедренные.

.

Тогда ;

;

.

Ответ: , , .

З адача №2. Доказать, что если в выпуклом четырёхугольнике противоположные стороны равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Дано:

Доказательство.

Точка пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон AD, AB и BC, поэтому можно провести окружность с центром в точке О, касающуюся указанных трех сторон. Докажем, что эта окружность касается также стороны CD и , значит, является вписанной в четырехугольник ABCD.

Предположим, что окружность вписать нельзя. Проведем биссектрисы и , точка пересечения О – центр окружности, касающейся AD, AB, BC. Тогда CD либо секущая для окружности, либо находится вне ее. Рассмотрим второй случай.

Проведем касательную к окружности. . Т.к. - описанный, то , по свойству описанного четырехугольника.

Но подставим в

равенство (2)

, но из равенства (1)

- чего быть не может в четырехугольнике . Предположение не верно.

*Аналогично рассматривается случай, когда CD – секущая.

Вывод: в данный четырехугольник можно вписать окружность, ч.т.д.

Билет №3.(решен)

Задача №1. Доказать, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если А(-2; 0), В(3; 2,5), С(6;4).

Дано: А(-2; 0), В(3; 2,5), С(6;4).

Доказательство.

Запишем уравнение прямой AB и убедимся, что .

1) - уравнение прямой

- уравнение прямой АВ.

2) Проверим принадлежность точки С к прямой АВ.

- верно, значит точки A,B,C лежат на одной прямой, ч.т.д.

Задача №2. Доказать, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (-2; -3), В (1; 4), С (8; 7), D (5;0) является ромбом. Найти его площадь.

Дано: ABCD – четырехугольник, А (-2; -3), В (1; 4), С (8; 7), D (5;0)

Решение. 1) Найдем длины отрезков АВ, CD, AD, BC.

Т.к. , то ABCD – ромб, ч.т.д.

2) Найдем площадь ABCD.

I способ. (т.к. по трем сторонам)

По формуле Герона:

II способ.

,

Ответ: