Решение задач

13.1. В курсе механики доказывается, что энергия взаимодействия системы из N тел равна сумме энергий взаимодействия тел, взятых попарно. Так как в нашем случае взаимодействующими телами являются заряды, то

.

Известно, что энергия взаимодействия двух точечных зарядов иравна, поэтому

.

Подставив это значение в первую формулу, получим

.

В этой формуле суммирование производится по индексам i и k. Оба индекса пробегают независимо друг от друга все значения от 1 до N. Слагаемые, для которых , отбрасываем. Последнюю формулу запишем в виде

.

Выражение

есть потенциал, создаваемый всеми зарядами, за исключением , в той точке, где находится заряд. Поэтому для энергии взаимодействияN точечных зарядов мы приходим к формуле

.

13.2. Энергию электростатического поля при отсутствии в нем диэлектриков можно определить либо по формуле

,

где V – объем той части пространства, где имеются объемно распредленные заряды (),S – поверхность, на которой имеются поверхностно распределенные заряды (), либо по формуле

.

Интегрирование распространяется на всю бесконечную область пространства, занимаемого полем.

Воспользуемся первой формулой, имея в виду, что всюду , алишь внутри шара, где потенциал

,

где r – расстояние от центра шара (см. решение задачи 1.13.1.). Поэтому

.

Выберем элемент объема в виде , подставим это выражение в последнюю формулу и проинтегрируем поr в пределах от 0 до R.

.

Подставим в эту формулу величину объемной плотности зарядов

.

В результате подстановки и несложных преобразований, получим

.

Теперь используем формулу и представим ее в виде

,

где и– напряженности поля внутри () и вне шара (). Они равны, соответственно

,

.

Мы воспользовались соотношением между напряженностью и потенциалом.

Подставляя значения ив последнюю формулу, с учетом значения, и интегрируя, получим

.

13.3. В ядре, порядковый номер которого Z, имеется

пар взаимодействующих протонов. Поэтому для определения энергии взаимодействия всех протонов, находящихся в ядре, можно вычислить энергию взаимодействия любой одной пары протонов, и результат умножить на число взаимодействующих пар.

Энергия взаимодействия точечных зарядов равна

,

где – потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме, в той точке, где находится заряд. В случае двух точечных зарядов

,

где – потенциал, создаваемый зарядомв точке, где находится заряд. Если эти два заряда распределены равномерно по некоторому объему, то можно записать

,

где – объемная плотность распределения одного из протонов,– потенциал, создаваемый вторым протоном. Потенциал

(см. решение задачи 1.13.1.), где

.

Мы учли, что заряд протона равен e.

Подставив значение в формулу дляи интегрируя по объему ядра, получим

.

Здесь учтено, что .

Полная же энергия электростатического взаимодействия всех протонов в ядре будет равна

.

13.4. Энергия конденсатора

.

В сферическом конденсаторе напряженность поля

,

а элемент объема .

Подставляя эти значения в формулу для вычисления энергии, получим

.

13.5. Энергия электростатического поля может быть выражена формулой

.

При напряженность поля, создаваемого заряженной сферой, в вакууме

,

где q – заряд сферы.

Примем за элемент объема сферический слой толщиной с площадью. Тогда. Подставив значения дляE и в формулу энергии (при) и интегрируя полученное выражение, получим

.

13.6. Пусть заряды диполя находятся в неоднородном электростатическом поле в точках 1 и 2. Потенциальная энергия диполя равна

,

где и– потенциалы поля в точках 1 и 2. При достаточно малой длине диполя

,

где – расстояние по нормали между эквипотенциальными поверхностями, проходящими через точки 1 и 2. Из рисунка ___ видно, что

,

поэтому

.

Так как , то

.

За бесконечно малый промежуток времени движение диполя сводится к его повороту на угол () и к поступательному перемещению его центра масс на расстояниевдоль линии напряженности. Работа перемещения диполя равна убыли его потенциальной энергии, т.е.

.

Вследствие того, что перемещение диполя происходит вдоль линии напряженности, . На каждый заряд диполя действует сила. Эти силы действуют в противоположные стороны, создавая, таким образом, момент пары, равный

,

где – угол между моментом диполяи напряженностьюполя. Подставив эти формулы в формулу работы, получим

.

Из этой формулы видно, что работа движения диполя представляется работой его вращения под действием момента пары

и работой перемещения центра массы диполя

.

Эту работу совершает сила

,

которая представляет собой разность сил, приложенных к диполю. Если , то, и работа перемещения

.

В этом случае сила равна

.

Так как , то и, из чего следует, что результирующая сила, которая действует на диполь, ориентированный по полю (), направлена в сторону увеличения напряженности поля.

Таким образом, диполь, находящийся в неоднородном электростатическом поле, поворачивается вдоль поля и втягивается в область более сильного поля.

13.7. Воспользуемся принципом, согласно которому бесконечно малые перемещения заряженных тел, составляющих электростатическую систему, обладающей запасом потенциальной энергии, под воздействием электрических сил, определяются убылью этой энергии.

Сближение пластин конденсатора может происходить при неизменном заряде. В этом случае конденсатор отключен от источника, и при неизменном напряжении (разности потенциалов). В этом случае конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения.

В первом случае энергию конденсатора удобно представить в виде

.

Подставив сюда формулу емкости плоского конденсатора , получим

,

где x – расстояние между пластинами, S – площадь пластины. Для малых перемещений одной из пластин под действием электрических сил

.

Дифференцируя это выражение для W по x и вспоминая, что , получим

,

откуда величина силы

(знак минус означает, что сила и координата x, начало которой совпадает с отрицательной пластиной, имеют противоположные направления, т.е. F является силой притяжения).

Так как , где– поверхностная плотность заряда, а напряженность, то формулуможно привести к виду

.

Из этой формулы видно, что сила, действующая на единицу поверхности пластин

,

т.е. она определяется объемной плотностью энергии.

Во втором случае из формулы

следует, что уменьшение расстояния x между пластинами приводит к увеличению энергии конденсатора, а не к ее уменьшению, как в первом случае. Связано это с тем, что убыль энергии, обусловленная работой электрических сил, в данном случае сопровождается пополнением энергии конденсатора, которая связана работой передачи заряда от источника напряжения к конденсатору. Чтобы напряжение U между пластинами конденсатора оставалось постоянным, когда емкость изменяется на величину , источник напряжения должен передавать конденсатору заряд. При этом относительно электрического поля конденсатора совершается отрицательная работа

.

Согласно закону сохранения энергии

.

Вспоминая, что , запишем

,

откуда

.

Подставив значение , получим формулу

.

13.8. Энергия плоского конденсатора

.

Пусть ,т.е. конденсатор подсоединен к источнику постоянного напряжения. Величина силы

(см. решение задачи 1.13.7.). При частично вдвинутом диэлектрике (см. рис. __) емкость

.

Взяв производную и подставив в формулу для силы, получим

.

13.9. Конденсатор отсоединен от источника питания. В этом случае заряды на обкладках конденсатора все время остаются неизменными, т.е. , несмотря на то, что емкостьC и разность потенциалов (напряжение) U изменяются при перемещении пластин. Так как в начальный момент времени разность потенциалов равна , то величина заряда

,

где – емкость конденсатора, когда расстояние между пластинами равно. Так как пластины конденсатора заряжены разноименными зарядами, то они притягиваются, поэтому для их раздвижения необходимо совершить положительную работу. Если в процессе раздвижения пластин расстояние между пластинами все время остается намного меньше их линейных размеров, то сила притяжения пластин от расстояния между ними будет оставаться постоянной. В самом деле, поле, создаваемое одной из пластин,, где– поверхностная плотность заряда. Если мы умножим эту напряженность на величину заряда другой пластины, то получим силу, действующую на нее, т.е.

.

Для равномерного перемещения пластины внешняя сила должна уравновешивать силу притяжения, поэтому работа по перемещению пластины на расстояние будет равна

.

Подставив в эту формулу величину заряда, получим

.

Конденсатор подсоединен к источнику питания. В этом случае при перемещении пластин остается неизменной разность потенциалов (напряжение) между обкладками конденсатора . Так как расстояние между пластинами конденсатора увеличивается, то напряженность поля убывает, а, следовательно, убывает и заряд на пластинах конденсатора.

По этой причине сила притяжения пластин не остается постоянной. Она убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Вычислим работу этой переменной силы, используя закон сохранения энергии.

В отличие от первого случая, когда изменение энергии W конденсатора происходит только за счет механической работы, совершаемой внешними силами (мы могли воспользоваться законом сохранения энергии и применительно к первому случаю), во втором случае энергия конденсатора изменяется как за счет механической работы, совершаемой внешними силами, так и за счет работы источника напряжения:

.

Для расчета энергии конденсатора воспользуемся формулой .

Для изменения энергии имеем

.

При изменении заряда на пластинах конденсатора на величину источник напряжения совершает работу

.

Так как заряд конденсатора , то работа источника

.

Из формулы, выражающей закон сохранения энергии, следует

.

Из сравнения формул для иA видно, что

.

Таким образом, работа источника равна удвоенному изменению энрегии конденсатора.

13.10. Поле, созданное заряженном шаром, является неоднородным, поэтому энергия поля в слое диэлектрика распределена неравномерно. Однако объемная плотность энергии будет одинакова во всех точках, отстоящих на равных расстояниях от центра шара, так как поле заряженного шара обладает сферической симметрией.

Энергия в элементарном сферическом слое диэлектрика

,

где – объемная плотность энергии,– объем элементарного слоя диэлектрика. Полная энергия

,

где r – радиус элементарного сферического слоя, – толщина этого слоя. Объемная плотность энрегии

,

где E – напряженность поля. В рассматриваемом случае

.

Подставляя значение E в предыдущу формулу, получим

.

Полная энергия

.

13.11. В состоянии равновесия сила, которая втягивает диэлектрик в пространсвто между пластинами, уравновешивается весом P поднятой жидкости:

,

где l – ширина пластин конденсатора.

При решении задачи 13.8. была определена сила, действующая на частично вдвинутый в конденсатор диэлектрик, равная

.

Из этой формулы следует, что если на пластинах конденсатора поддерживается постоянное напряжение, то сила, втягивающая диэлектрик, не зависит от длины втянутой части. Приравнивая эту силу всеу столба поднявшейся жидкости, получим

,

откуда

.

13.12. Так как конденсатор подсоединен к источнику постоянного напряжения, то разность потенциалов между пластинами конденсатора U равна напряжению источника. Если заряд конденсатора каким – либо образом изменить на, то энергия конденсатора изменится на величину

.

При этом работа, совершенная источником питания, равна

.

Может возникнуть вопрос, что половина энергии исчезла. Покажем, что закон сохранения энергии в рассмотренном процессе не нарушался. Согласно закону сохранения энергии

,

где A – механическая работа, совершенная над внешними телами, Q – количество выделившегося тепла. Сумма и равна оставшейся половине работы источника.

Сравнивая две формулы для работы источника, приходим к выводу, что изменение энергии конденсатора, подсоединенного к источнику, сопровождается либо совершением механической работы, либо выделением тепла.

13.13. Совершенная источником напряжения работа равна сумме изменения энрегии конденсатора и механической работы, совершенной электрическими силами:

.

Так как поднятый столб жидкости находится в покое, механическая работа равна сумме изменения потенциальной энергии диэлектрика в поле силы тяжести и количества выделившегося тепла:

.

Найдем значение , воспользовавшись значенимh, найденным в задаче 1.13.11.

.

Известно, что , где

.

Учитывая, что , получим

,

откуда

.

Таким образом,

.

Из выше изложенного следует, что половина механической работы, совершенной силами поля, ушла на увеличение потенциальной энергии жидкого диэлектрика, а вторая половина была преобразована в тепло.

13.14. Энергию электрического поля в объеме V можно найти по формуле

,

где – объемная плотность энергии в вакууме. Таким образом, решение задачи сводится к нахождению напряженности поля, созданного заданной конфигурацией зарядов.

При разделении данного пространственного заряда на два равных шаровых заряда с объемной плотностью и бесконечно удаленных друг от друга, силы поля совершают положительную работу, вследствие чего энергия поля в конечном состоянии будет меньше, чем в начальном.

После разделения заряда на два, энергию поля найдем как сумму энергий полей, созданных двумя шаровыми зарядами. Их взаимной потенциальной энергией будем пренебрегать, так как, согласно условию задачи, эти два заряда находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга.

Из заданной конфигурации зарядов следует, что как внутри шара (), так и вне его () линии напряженности являются радиальными линиями, поэтому это поле легко найти с помощью теоремы Гаусса.

.

В качестве замкнутых поверхностей выбираем сферы ис радиусамии(см. рис. ___). Тогда можно записать

,

где – модуль радиус – вектора текущей точки.

При (замкнутая поверхность лежит внутри шара)

.

При (замкнутая поверхность лежит вне шара и, следовательно, охватывает весь заряд)

.

Из приведенных формул следует, что при

,

,

при

,

.

Из этих формул видно, что в обоих случаях плотность энергии зависит только от расстяония r от центра шара до рассматриваемой точки поля. Поэтому элементарный объем нужно выбирать в форме тонкого сферического слоя толщиной , т.е.

.

Для вычисления полной энергии электрического поля во всем пространстве, разобъем интеграл на два в пределах от 0 доR и от R до .

.

Подставляя значения ии производя интегрирование, получим

.

Объемная плотность

.

Подставляя в первое слагаемое в формулу дляW, получим

.

Складывая, получим

.

После разделения заряда на два равных энергия системы будет

,

где – энергия поля, создаваемая каждым шаром в отдельности, равная

,

где – величина каждого из образованных зарядов,– радиус каждого шара.

Из условия задачи следует, что

,

.

Тогда

,

.

Разность энергий

.

Итак, мы пришли к выводу, что энергия поля в конечном состоянии меньше, чем до разделения заряда.

13.15. Если поле однородно (например, поле плоского конденсатора), заключенная в нем энергия распределяется с постоянной плотностью,

.

Учитывая, что индукция электрического поля , плотность энергии можно представить в виде

.

В изотропном диэлектрике направления обоих векторов исовпадают, поэтому можно записать

.

Вспоминая, что , получим дляформулу

,

где – вектор поляризации.

Первое слагаемое в этой формуле совпадает с плотностью энергии поля в вакууме. Покажем, что второе слагаемое представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика.

Поляризация диэлектрика состоит в том, что заряды, входящие в состав молекул, под действием поля смещаются из своих положений. Работа, затрачиваемая на смещение зарядов на расстоянии, в расчете на единицу объема равна

.

Величина равна дипольному моменту единицы объема, т.е. вектору поляризациидиэлектрика. Поэтому

.

Вектор связан с векторомсоотношением, где– диэлектрическая восприимчивость диэлектрика. Дифференцируя обе части последнего выражения, получим

.

Подставляя это значение в формулу для, получим

.

Интегрируя, находим для работы, затрачиваемой на поляризацию единицы объема диэлектрика, значение

.

Это значение совпадает со вторым слагаемым в формуле для полной энрегрии.

Таким образом, выражения включают в себе, помимо собственной энергии поля, и энергию, которая затрачивается при создании поля на поляризацию диэлектрика.

13.16. Известно, что любое вещество построено из электрически заряженных частиц. Поэтому возникает вопрос, возможны ли такие конфигурации неподвижных относительно друг друга заряженных частиц, которые представляли бы собой атомы, молекулы и др. Обращаем внимание на тот факт, что речь идет об устойчивости систем под действием только электростатических сил. На рисунке ___ изображен график заивсимости взаимной потенциальной энергии двух точечных зарядов от расстояния между ними. Верхняя кривая для одноименных зарядов, нижняя – для разноименных. Из графиков видно, что потенциальная энергия системы двух точечных зарядов не имеет минимума, а это значит, что ни при каком их расположении они не могут нходиться в состоянии устойчивого равновесия (напомним, что кроме кулоновских сил на заряды не действуют никакие другие силы). В самом деле, одноименные заряды () должны удаляться друг от друга (отталкиваются друг от друга) до бесконечности, а разноименные () будут сближаться (притягиваются друг к другу) вплоть до соприкосновения и взаимной нейтрализации.

Можно показать, что не только у системы из двух зарядов, но и у системы из любого числа зарядов при их любом расположении потенциальная энергия взаимодействия не имеет минимума, и, следовательно, устойчивое статическое распределение электрических зарядов, находящихся на конечных расстояниях друг от друга, невозможно.

Рассмотрим систему из трех точечных зарядов. В этом случае можно расположить заряды таким образом, что они будут находиться в равновесии, однако это равновесие будет неустойчивым. Это равновесие возможно, если все заряды не одного и того же знака, если заряды расположены вдоль одной прямой, и если величны зарядов находятся в определенном отношении.

Пусть по обе стороны от положительного заряда на равных расстоянияхr от него расположены равные отрицательные заряды (см. рис.____). Тогда зарядбудет находиться в равновесии. Чтобы зарядтоже находился в равновесии, сила притяжения его к зарядудолжна быть уравновешена силой отталкивания от другого заряда, т.е. должно выполняться соотношение

,

откуда следует, что .

Полная энергия взаимодействия этих зарядов, находящихся в равновесии, будет равна

,

т.е. не зависит от r (этого и следовало ожидать).

Выясним, является ли это равновесие устойчивым. Для этого рассмотрим изменение величины потенциальной энрегии при различных смещениях зарядов, составляющих систему, из состояния равновесия.

Пусть заряд смещается на расстояниеy перпендикулярно оси системы (см. рис. ____3). В этом случае полная энергия будет равна

,

т.е. она больше, чем в положении равновесия. На заряд будет действовать сила, направленная к положению равновесия. Таким образом, по отношению к этому смещению начальное равновесие является устойчивым.

Пусть теперь заряд смещен вдоль оси системы на расстояниеx вправо (см. рис. ___4). Полная энергия в этом случае будет равна

,

т.е. при этом смещении потенциальная энергия уменьшается, и по отношению к нему исходное равновесие является неустойчивым.

На заряд в этом случае будет действовать сила, которая будет стремиться еще более удалить его от положения равновесия.

Пусть, наконец, центральный заряд остается на месте, а оба отрицаетльных зарядасмещаются в разные стороны на равные расстояния(см. рис. ___5). Так как мы выяснили, чтоне зависит отr, то , и при таком смещении изменение потенциальной энергии равно нулю. По отношению к этому смещению равновесие системы является безразличным.

Исследуя различные конфигурации зарядов, можно прийти к выводу, что среди них имеются такие, при которых изменение потенциальной энергии либо положительно, либо отрицательно, либо равно нулю. Однако если хотя бы при какой – либо конфигурации потенциальная энергия уменьшается, то это изменение будет нарастать, и начальное равновесие в целом будет неустойчивым.

Анализируя выражение для полной потенциальной энергии системы зарядов, английский физик Ирншоу пришел к выводу, что устойчивое статическое распределение электрических зарядов невозможно (теорема Ирншоу, мы уже упоминали о ней).

Устойчивая статическая система зарядов возможна лишь тогда, когда, кроме электрических сил, в ней действуют еще и другие неэлектрические силы.

В случае атомных систем между электронами и ядрами, помимо электрических (кулоновских) сил, действуют еще и силы тяготения, изменяющиеся с расстояием по такому же закону, что и кулоновкие силы, а по абсолютной величине ничтожно малы по сравнению с кулоновскими силами.

Следовательно, электоны, входящие в состав атомов и молекул, не могут образовывать устойчивые статические системы. Атомы и молекулы являются динамическими системами зарядов. Устойчивость атомов может быть обеспечена только непрерывным движением его частиц – электронов.