Числовые характеристики случайного вектора

Для двумерного случайного вектора (X, Y) вводятся следующие числовые характеристики.

Начальным моментом порядка r + s случайного вектора (X, Y) называется действительное число _r,s, определяемое формулой:

_r,s = M[X^r Y^s] =

Начальный момент _r,s существует, если интеграл (соответственно ряд) в правой части равенства абсолютно сходится. В частности, _r,0 = M[X^r] - соответствующие начальные моменты компоненты X. Вектор с неслучайными координатами (m_X, m_Y) = (_1,0, _0,1) называется математическим ожиданием случайного вектора (X, Y) или центром рассеивания.

Центральным моментом порядка r + s случайного вектора (X, Y) называется действительное число _r,s определяемое формулой

_r,s = M[(X-m_X)^r (Y-m_Y)^s] =

Центральный момент _r,s существует, если интеграл (соответственно ряд) в правой части равенства абсолютно сходится. Вектор с неслучайными координатами (D_X, D_Y) = (_2,0, _0,2) называется дисперсией случайного вектора.

Центральный момент _1,1 называется корреляционным моментом (ковариацией): K_XY = M[] = M[(X-m_X)(Y-m_Y)] = M[XY]-m_X m_Y.

Коэффициентом корреляции двух случайных компонентов X и Y случайного вектора является нормированная ковариация

_XY = K_XY/(_X_Y). Свойства ковариации (и коэффициента корреляции):

1. K_XX = D_X, K_YY = D_Y, (_XX = _YY = 1);

2. K_XY = K_YX, (_XY = _YX);

3. K_XY  , (_XY   1).

Ковариационный момент и коэффициент корреляции определяет степень линейной зависимости между X и Y. Условие _XY  = 1 необходимо и достаточно, чтобы СВ X и Y были связаны линейной зависимостью Х = aY + b, где a и b - константы. СВ, для которых K_XY = 0 (_XY = 0), называются некоррелированными. Из независимости случайных величин Х и Y вытекает их некоррелированность (обратное, вообще говоря, неверно).

Условным математическим ожиданием компоненты Х при условии, что Y приняла одно из своих возможных значений y_j, называется действительное число определяемое формулой:

m_X/Y = M[X/Y = y_j] =

где Р{X = x_i /Y = y_j} = ,p_ij = Р{X = x_i ,Y = y_j}.

Условной дисперсией компоненты Х при условии, что Y приняла одно из своих возможных значений y_j, называется действительное число определяемое формулой:

D_X/Y = D[X/Y = y_j] =

Приведенные выше формулы для числовых характеристик двумерного случайного вектора без труда обобщаются на случай n-мерного случайного вектора (Х₁, Х₂, ..., Х_n). Так, например, вектор с неслучайными координатами (m₁, m₂, ..., m_n), где m_i - математическое ожидание СВ Х_i, определяемое формулой

m_i = M[X_i] =, называется центром, рассеивания случайного вектора.

Ковариационной матрицей n-мерного случайного вектора = (Х₁, Х₂, ..., Х_n) называется симметрическая матрица, элементы которой представляют собой ковариации соответствующих пар компонент случайного вектора:

K = ,

где Кij = M[] - ковариация i-й и j-й компонент. Очевидно, что Кii = М[Xi2] -дисперсия i-й компоненты.

Корреляционной матрицей n-мерного случайного вектора называется симметрическая матрица, составленная из коэффициентов корреляции соответствующих пар компонент случайного вектора:

C = ,

ij = - коэффициент корреляции i-й и j-й компоненты.

Задача 1. Закон распределения случайного вектора (X, Y) задан в следующем виде:

Y X	1	2	3
1	1/9	1/9	1/9
2	0	1/6	1/6
3	0	0	1/3

1. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 2] и дисперсию D[X/Y = 2].

2. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

Задача 2. Координаты X, Y случайного положения точки на плоскости имеют

совместное равномерное распределение внутри области G = {(x, y)  -1 x  2, 1  y  2}.

1. Записать общее выражение для ПР и для ФР вероятности случайного вектора (X,Y).

2. Найти центр рассеивания (m_X, m_Y)и вычислить дисперсию (D_X, D_Y) совместного распределения координат.

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.