2.4. Несобственные интегралы

Эти интегралы являются простейшими обобщениями понятие интеграла Римана. Различают два основных типа несобственных интегралов: интегралы с бесконечными пределами и интегралы от функций с особыми точками.

Интегралы с бесконечными пределами. По определению

,

,

,

причем А и В стремятся к бесконечности независимо друг от друга.

Если указанные пределы существуют, то говорят, что соответствующие несобственные интегралы сходятся; в противном случае – расходятся.

Если существует предел в симметричных границах

,

то этот предел называют главным значением несобственного интеграла.

Пример 2.6.

Рассмотрим несобственный интеграл , а > 0. Поскольку при   1

,

а при  = 1

,

то исходный интеграл при  > 1сходится, а при   1 – расходится.

Пример 2.7.

Несобственный интеграл сходится и совпадает со своим главным значением, поскольку

.

Достаточные признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами. Поскольку интеграл заменой переменной x = -z сводится к интегралу , а интеграл разбивается на сумму двух интегралов , где с – произвольное число (см. раздел 2.3, свойства перемены местами пределов интегрирования и аддитивности для интеграла Римана), то достаточно сформулировать признаки сходимости для интегралов вида .

Критерий Коши. Несобственный интеграл вида сходится тогда и только тогда, когда для любого   0 существует такое b   ,что для всех b', b"> b



Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интеграл

Если несобственный интеграл сходится абсолютно, то он сходится и в обычном смысле, т.е. из сходимости интеграла следует сходимость интеграла 

Признаки сравнения. Если для функции f(x)  0 при х  a существует предел

,

то при  > 1 и 0  k < +  несобственный интеграл сходится, а при   1 и 0 < k  + несобственный интеграл расходится. 

Пример 2.8.

Рассмотрим несобственный интеграл . Полагая  = 1, имеем , т.е. k = 1. Следовательно, данный интеграл расходится. Напротив, несобственный интеграл сходится, поскольку, полагая  = 1,5, имеем , т.е. k = 0

Интегралы от функций с особыми точками.

Точка х₀ называется особой для функции f(x), если , т.е. если функция f(x) является бесконечно большой в точке х₀.

По определению:

если функция f(x) определена на полуинтервале [a, b) и b – ее особая точка, то

;

если функция f(x) определена на полуинтервале (a, b] и a – ее особая точка, то

;

если функция f(x) определена на отрезке [a, b] за исключением ее внутренней особой точки с, то

,

причем величины  и  стремятся к нулю независимо друг от друга.

Если указанные пределы существуют, то соответствующие несобственные интегралы сходятся; если не существуют – расходятся. Если в последнем случае существует предел

,

то он называется главным значением несобственного интеграла.

Очевидны обобщения определений несобственного интеграла для нескольких особых точек на отрезке [a, b]; мы не будем на этом останавливаться.

Пример 2.9.

Рассмотрим несобственный интеграл с особой точкой b, .

Если   1, то . Этот предел существует, если  < 1; при  > 1 предел не существует. Если же  = 1, то . Таким образом, несобственный интеграл сходится при   1 и расходится при   1. К аналогичным выводам мы придем относительно несобственного интеграла с особой точкой a. 

Достаточные признаки сходимости интегралов от функций с особыми точками. Как и в случае интегралов с бесконечными пределами, нам будет достаточно ограничиться рассмотрением только одного случая – случая, когда особая точка совпадает с правым концом отрезка интегрирования [a, b].

Критерий Коши. Несобственный интеграл , где b – особая точка функции f(x), сходится тогда и только тогда, когда для любого  > 0 существует число   [a, b), такое что для любых ', " из интервала (, b) выполняется неравенство

.

Если существует интеграл , то существует и интеграл , где b – особая точка функции f(x); в этом случае несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся.

Признак сравнения. Если для функции f(x)  0 на [a, b), имеющей особую точку b, существует предел

,

то при   1 и 0  k  + несобственный интеграл сходится, а при   1 и 0 < k  + несобственный интеграл расходится.

Пример 2.10.

Рассмотрим несобственный интеграл ; здесь особая точка x = 0. Возьмем в качестве функции сравнения x^2/3 ,т.е.  = 2/3. Тогда x^2/3  f(x) = x^2/3  x^-1/2 = x^1/6 0 при х  0, т.е. k = 0. Следовательно, интеграл сходится.

Напротив, для несобственного интеграла с особой точкой x = 1 признак сравнения дает отрицательный результат. Действительно, в этом случае пробную функцию следует взять в виде 1 – x , т.е.  = 1; при меньших  выражение при х 1. При  = 1 имеем при х 1, т.е. k = 1

Предостережение. При вычислении несобственных интегралов с особыми точками внутри промежутка интегрирования нельзя механически применять формулу Ньютона – Лейбница, поскольку это может привести к ошибкам.

Общее правило: формула Ньютона – Лейбница верна, если первообразная от f(x) в особой точке последней непрерывна.

Пример 2.11.

Рассмотрим несобственный интеграл с особой точкой х = 0. Формула Ньютона–Лейбница, применяемая формально, дает

.

Однако общее правило здесь не выполняется; для f(x) = 1/x первообразная ln |x| не определена в х = 0 и является бесконечно большой в этой точке, т.е. не является непрерывной в этой точке. Непосредственной проверкой легко убедиться, что интеграл расходится. Действительно,

.

Полученная неопределенность может быть раскрыта по-разному, поскольку  и  стремятся к нулю независимым образом. В частности, полагая  = , получаем главное значение несобственного интеграла, равное 0. Если  = 1/n, а  =1/n², т.е.  стремится к 0 быстрее, чем , то получаем

;

при и , наоборот,

,

т.е. интеграл расходится.

Пример 2.12.

Рассмотрим несобственный интеграл с особой точкой х = 0. Первообразная от функции имеет вид и непрерывна в точке х = 0. Поэтому можно применить формулу Ньютона – Лейбница:

