Лабораторно-практическое занятие № 4 исследование неразветвленной электрической цепи переменного тока

Типовые задачи

Задача 4.1. Заданы параметры элементов электрической цепи (рис. 4.1) и входное напряжение U_ВХ=141sin 314t В.

Определить напряжение на катушке и построить векторную диаграмму тока и напряжений, используя данные таблицы 4.1.

Решение

Расчет цепи проведем, используя комплексный метод анализа цепей синусоидального тока.

Представим все электрические величины (,Z_C , Z_L , Z_R) в комплексной форме (рис. 4.2) и определим комплексный ток цепи

=100e ^j0 B,

Z_C = - j X_C ; Z_L = j X_L ; Z_R = R_K,

где – действующее значение входного напряжения U_ВХ, В.

Полное комплексное сопротивление цепи с последовательно соединенными элементами Z_ВХ равно сумме комплексных сопротивлений этих элементов

Z_ВХ = Z_C + Z_L + Z_R = - j X_C + j X_L + R_k =

= R_k +j (X_L - X_C ) = 30 +j (60 - 20) = 30+j40 Ом.

В показательной форме записи

Z_ВХ = Z e ^j = 50e ^{j 53 } Ом ;

(Z Ом;

53,13 53 ).

По закону Ома определим величину комплексного тока цепи

=/ Z_ВХ =100e ^j0/(5e ^{j 53 }) = (100 /5)е ^{j (0 –53 )} = 2e ^{- j 53 } A .

Комплексное напряжение на катушке также можно определить по закону Ома, но предварительно следует определить комплексное сопротивление катушкиZ_k

Z_k= R_k +j X_L =30+j 60 Ом,

или в показательной форме записи

Z_k= Z_k e ^jk = 67e ^{j 6 3,4 } Ом

(Z_k Ом;

) .

Тогда =Z_k = 67e ^{j 6 3,4} 2e ^{- j 53 }= (672)e ^{j (6 3,4 - 53 )} =134 e ^{j 10,4 } В.

Соответственно мгновенное значение напряжения на катушке

u_k= 134 sin 314t = 189 sin 314t В .

Векторные диаграммы напряжений и тока в неразветвленной цепи синусоидального тока (рис. 4.3) строят на комплексной плоскости в соответствии с уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа (4.1) и с учетом фазовых сдвигов напряжений ,,и токаво времени

(4.1)

Здесь

= Z_R = R_k = 302e ^{- j 53 }= 60e ^{- j 53 } В,

= Z_C =(- j X_C) = (- j202e ^{- j 53 }) = 20е ^{- j90} 2e ^{- j 53 }=40 е ^{– j143} B,

= Z_L = (j X_L ) = ( j 60)  2e ^{- j 53 }= 60 е^{- j 90}2e ^{- j 53 } =120e ^{j 37} B.

Задача 4.2. Заданы параметры элементов электрической цепи (активные и реактивные сопротивления заданы в Омах) и входное напряжение U_ВХ=50 В (рис. 4.4). Определить напряжение , потребляемое активную и полную мощности, используя данные таблицы 4.2. Построить векторную диаграмму тока и напряжений.

Решение

Расчет цепи ведем комплексным методом.

Алгоритм расчета имеет следующий вид: представляем все электрические величины (,Z_C , Z_L , Z_R1, Z_R2) в комплексной форме и определяем комплексный ток цепи , далее определяем комплексное напряжениена участке цепи (a – b):

=/ Z_ВХ , =Z_аb .

Так как задано действующее значение входного напряжения, то, принимая его начальную фазу _Uвх равной нулю, запишем :

=50e ^j0 B.

Полное комплексное сопротивление цепи с последовательным соединением элементов Z_BX равно сумме комплексных сопротивлений этих элементов

Z_BX = Z_C + Z_R1+ Z_R2 + Z_L = - j X_C + R₁ + R₂ + j X_L =

= R₁ + R₂ +j (X_L - X_C ) = R + j X = 40 – j30 Ом .

В показательной форме записи Z_ВХ = Z e ^j

Z Ом;

- 36,87   -37  ;

Z_ВХ = Z e ^j = 50 e ^{- j 37} Ом .

Определяем комплексный ток цепи

=/ Z_ВХ = 50e ^j0/ 50e ^{- j 37}= 1e ^{j 37} А .

Комплексное сопротивление Z_аb на участке цепи (a – b):

Z_аb = Z_R2 + Z_L = R₂ +j X_L = 30 + j40 Ом;

Z_аb = Z_аbe ^jаb =50e ^{j 53} Ом;

(Z_аb=50 Ом,_аb=53,1353 ).

Находим комплексное напряжение

=  Z_аb =1e ^{j 37 }50e ^{j 53} =1 50e ^{j ( 37 + 53)} =50e ^{j 90} В.

Определим активную мощность цепи P

P = U  I cos  = 50  1 cos (-37 ) =40 Вт.

Активную мощность цепи можно определить и как

P =(R₁ +R₂ )I ² =1² (10+30 ) =40 Вт.

Полная мощность цепи S равна:

S = U  I = 50  1 = 50 ВА.

Построим векторную диаграмму напряжений и тока цепи в соответствии с уравнением второго закона Кирхгофа и с учетом фазовых сдвигов напряжений ,,,,,и токаво времени (рис. 4.5):

(4.2)

Найдем слагаемые уравнения (4.2) – комплексные напряжения на элементах цепи:

= Z_C =(- j X_C ) = (- j70) 1e ^{j 37 } = 70е ^{– j 90 } 1e ^{j 37 }= 70е ^{– j 53 } B;

= R₁ = 101e ^{j 37} =10e ^{j 37 } В; =R₂ =401e ^{j 37 }=40e ^{j 37} В;

= Z_L = (j X_L)= ( j 40)  1 e ^{j 37 }= 40е ^j90 1e ^{j 37 } = 40e ^j127 B.

Располагаем вектор токав выбранном масштабе под углом_I к оси действительных чисел, откладывая этот угол 37  против часовой стрелки (как и все положительные значения углов).

Геометрическая сумма всех векторов равна вектору входного напряжения, который располагается вдоль оси вещественных чисел (начальная фаза равна нулю).

Построение на векторной диаграмме векторов напряжений производим последовательно – к концу одного вектора прикладываем начало следующего вектора в соответствии с уравнением (4.2).

Векторы напряжений на резистивных элементах исовпадают по фазе с током и располагаются параллельно вектору. Вектор напряжения на емкостном элементеотстает по фазе от векторана 90, а вектор напряжения на индуктивном элементе опережает по фазе вектор токана 90. Вектор напряжения определяется также в соответствии со вторым законом Кирхгофа как

и располагается перпендикулярно оси вещественных чисел (_Uаb = 90).

Задача 4.3. В цепи с параметрами, заданными в Омах, протекает ток (рис. 4.6). Определить, используя данные таблицы 4.3, между какими точками в этой цепи будет наблюдаться наибольшее напряжение. Задачу рекомендуется решать с помощью векторной диаграммы.

Решение

Проведем расчет двумя способами.

Первоначально рассмотрим следующий алгоритм расчета цепи: представляем все электрические величины (,Z_i ) в комплексной форме, определяем полное комплексное сопротивление цепи Z_mn и далее определяем комплексное напряжение на входе, а также комплексные напряжения на отдельных участках цепи:

=Z_mn ; =Z_ij . (4.3)

Запишем комплексное значение тока в цепи. Модуль комплексного тока равен действующему значению тока I = I_m/2 = 1A, а аргумент комплексного числа равен начальной фазе _i =20 ==1e ^j20 А.

Полное комплексное сопротивление цепи с последовательным соединением элементов Z_mn равно сумме комплексных сопротивлений этих элементов

Z_mn = j X_L1 + R₁ + R₂ - j X_{C 1} +j X_L2 + R₃ - j X_{C 2} =

= R₁ + R₂ + R₃ + j(X_L1+X_L2 - X_C1 -X_{C 2}) = R + j X = 24 – j2 Ом .