Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Экзамен / шпоры / Готовая 7 лк

.DOC
Скачиваний:
8
Добавлен:
26.11.2019
Размер:
283.65 Кб
Скачать

А.Н.Евграфов, Г.Н.Петров. Теория механизмов и машин. Лекция 7.

6. Геометрические условия передачи сил механизмами (окончание)

Пример: зубчатый механизм.

Н а рис. 2.19 изображена схема прямозубой зубчатой передачи. К ведущему колесу 1, которое вращается с угловой скоростью , приложен движущий (уравновешивающий) момент Q; к ведомому колесу 2, вращающемуся с угловой скоростью , приложен момент сил сопротивления МС, направленный против скорости вращения колеса. Запишем условие баланса мощностей движущей силы Q и момента сопротивления МС для статической модели передачи:

(2.92)

Отсюда получим внешние условия передачи сил, определяемые соотношением движущей силы Q и момента сопротивления МС и выражаемые коэффициентом к1:

(2.93)

Отношение угловых скоростей входного (движущего) и выходного (ведомого) колес называется передаточным отношением: . В понижающих передачах (редукторах) , следовательно, к1<1; в повышающих (мультипликаторах) , а коэффициент к1>1.

Для определения внутренних условий передачи сил построим реакции в высшей кинематической паре . Из механики известно, что силы взаимодействия направлены по нормали к соприкасающимся поверхностям; следовательно, реакции расположены на нормали n-n, проведенной в точке контакта к сопряженным профилям зубьев. Обозначим угол наклона нормали n-n к общей касательной к соприкасающимся центроидам зубчатых колес w. На колесе 2 момент сопротивления МС уравновешивается моментом реакции R12, приложенной со стороны входного (ведущего) колеса:

R12h=MC. (2.94)

Выразим плечо реакции h через радиус подвижной центроиды колеса 2 rw2:

h=rw2cosW.

Тогда получим внутренние условия передачи сил, выраженные коэффициентом к2:

. (2.95)

Обычно угол W  200, тогда к2  1,1.

Пример: трехподвижный механизм.

Р ассмотрим механизм с тремя степенями подвижности (рис. 2.20).

Пусть к платформе ВС в плоскости движения приложены рабочие нагрузки; выбрав точку К платформы (ВК=КС) за центр приведения, можно привести их к силе Р и моменту MС. Силу Р можно разложить на две составляющие Px и Py. Для равновесия требуется приложить к механизму уравновешивающие обобщенные силы Q1 , Q2 и Q3 , соответствующие входным обобщенным координатам q1 , q2 , q3 . Для определения обобщенной уравновешивающей силы Q1 зафиксируем координаты q2 и q3 , а координате q1 дадим малое приращение q1. Составляя работу сил Px, Py, MС и момента Q1 на соответствующем возможном перемещении системы, получаем

Q1q1 + Pxxк+ Pyyк + MС3 = 0, (2.96)

где xк , yк , 3 - приращения координат xк , yк и угла наклона платформы 3, соответствующие q1. Поскольку

из (2.96) получаем соотношение

(2.97)

Задавая механизму малое перемещение q2 при фиксированных q1 и q3, а затем – малое перемещение q3 при фиксированных q1 и q2 , и составляя условия, аналогичные (2.96), получаем

(s = 2, 3) (2.98)

Таким образом, для определения обобщенных уравновешивающих сил достаточно знать первые частные производные от функций положения xк(q1 , q2 , q3), yк(q1 , q2 , q3), 3(q1 , q2 , q3) по обобщенным координатам. Для их получения можно воспользоваться либо аналитическим методом, рассмотренным ранее в лекции 4, либо графо-аналитическим, т.е. построить планы аналогов скоростей механизма в его заданном положении. План аналогов скоростей – чертеж, на котором изображены в одном масштабе в виде отрезков векторы, пропорциональные по модулю и совпадающие по направлению с векторами аналогов скоростей точек механизма. План аналогов скоростей отличается от плана скоростей только масштабом: у плана аналогов скоростей он в раз меньше, чем у плана скоростей.

Д ля определения частных производных воспользуемся графо-аналитическим методом. Зафиксируем обобщенные координаты q2 и q3 (рис. 2.21, а). В результате получим шарнирный четырехзвенник ОАВD; зададим и построим для него план аналогов скоростей (рис. 2.21, б).

На получившемся отрезке bd построим треугольник bcd, подобный треугольнику ВСD. На стороне треугольника bc найдем точку k (BK:KC=bk:kc), которую соединим с полюсом плана аналогов скоростей pv. Зададим отрезку pvk направление (из полюса), получим частную производную (в масштабе плана аналогов скоростей КАV) функции положения точки К по обобщенной координате q1. На рис. 2.21, в показаны ее проекции на координатные оси: . Частная производная равна:

,

где КAV – масштаб плана аналогов скоростей.

Аналогично можно найти частные производные по остальным обобщенным координатам (самостоятельно!).

Далее найдем внутренние реакции в кинематических парах. Оказывается, некоторые из реакций в кинематических парах можно определять независимо от остальных, если только соответствующие им связи являются освобождающими. Освобождающие связи – такие, устранение которых приводит к увеличению числа степеней подвижности механизма. Например, вращательная пара А (рис. 2.20) не допускает относительного поступательного перемещения. Если устранить в паре одну связь, например, дать возможность перемещаться вдоль оси х, то число степеней подвижности и механизма, и кинематической пары увеличится, следовательно, это – освобождающая связь. Если устранить другую связь, например, дать возможность перемещаться вдоль оси z, мы увеличим число степеней подвижности кинематической пары (вместо вращательной получим цилиндрическую), но число степеней подвижности механизма не изменится, следовательно, это неосвобождающая связь.

В механизме, показанном на рис. 2.20, все 12 компонент реакций в шарнирах, лежащих в плоскости движения, соответствуют освобождающим связям; поэтому все они могут быть определены изложенным ниже способом.

Освободим в шарнире А связь, препятствующую относительному смещению точки А звена АВ в направлении оси x и, следуя принципу освобождения от связей, будем рассматривать RAX как активную силу, действующую на механизм ABCDЕ. Нетрудно видеть, что освобождение этой связи приводит к появлению дополнительной степени подвижности механизма; соответствующей входной координатой является перемещение точки А, принадлежащей звену АВ, в направлении оси х. Рассмотрим условия равновесия системы ABCDЕ под действием сил Px, Py, момента M и уравновешивающей силы RAX.Для этого зафиксируем координаты q2 и q3, а точке А звена АВ дадим малое перемещение xA. Используя принцип возможных перемещений, получим:

.

Учитывая, что

получим:

(2.99)

Таким же способом, последовательно освобождая связи в шарнирах, можно найти все силы реакций. Для определения производных составим групповые уравнения для группы АВСD:

(2.100)

Продифференцируем (2.100) по хА:

(2.101)

Отсюда находим и :

(2.102)

Далее, составим уравнения для точки К:

(2.103)

Продифференцировав (2.103) по xA, находим:

(2.104)

Нетрудно убедиться, что определитель системы (2.101) совпадает с якобианом системы групповых уравнений (2.100). Это означает, что в окрестности особых положений производные и , а, следовательно, и производные (2.104) становятся очень большими по величине. Это происходит тогда, когда шарниры А, В и D располагаются на одной прямой. При этом возрастают обобщенные движущие силы (2.98) и компоненты (2.99). Таким образом, условия передачи сил в окрестности особых положений механизма становятся неблагоприятными.

З аметим, что все реакции и движущие (уравновешивающие) силы можно найти графо-аналитическим методом, сводящимся к последовательному рассмотрению условий равновесия структурных групп. При этом уравнения равновесия составляются в последовательности, противоположной геометрическому анализу, т.е. начиная от группы, содержащей выходное звено (в общем случае начиная от групп последнего «структурного слоя»), и заканчивая группами, которые первыми присоединены к стойке.

Условимся обозначать реакции, возникающие в шарнирах, двойным индексом (рис. 2.22,а); так, сила действует в шарнире В на третье звено со стороны второго звена; противоположная ей сила, действующая в том же шарнире на звено 2, обозначается через . Очевидно, что в соответствии с третьим законом Ньютона .

Рассмотрим условия равновесия структурной группы ABCD. Легко видеть, что к ней приложены три внешние силы: и . Остальные силы, действующие в шарнирах В, С, а также уравновешивающий движущий момент Q3 , являются для этой группы внутренними и в условия ее равновесия входить не будут. Поскольку звено 2 находится в равновесии под действием двух сил и , сила должна быть направлена по линии АВ. Линии действия трех уравновешивающихся сил , и должны проходить через общую точку; отсюда следует, что линия действия силы должна проходить через точку S, в которой пересекаются линии действия сил и . Таким образом, направления сил известны, и эти силы могут быть определены из треугольника сил, построенного на рис. 2.22, б.

Силы, действующие во внутренних шарнирах В и С рассматриваемой группы, а также уравновешивающий движущий момент Q3 определяются из условий равновесия звеньев 2 и 4. К звену 2 приложены две силы и ; поэтому = - . К звену 4 приложены силы и , а также момент Q3. Составляя уравнения равновесия для этого звена, находим

= - ; Q2 = R54h3,

где h3 – плечо силы относительно точки С.

Перейдем к однозвенным структурным группам ОА и О1D. Составляя условия их равновесия, находим

= - ; Q1 = R21h1; = -; Q3 = R45h2.

Возможность определения всех движущих сил и реакций в кинематических парах, соединяющих структурные группы, из условий равновесия структурных групп обоснована ниже.

В общем случае процесс определения сил, действующих в механизме, графоаналитическим методом обычно оформляется построением плана сил (см. лекцию 6). Для рассмотренного простого примера этот план сил совпадает с треугольником, построенным на рис. 2.22, б.

5

Соседние файлы в папке шпоры