4. Геометрический анализ исполнительных механизмов промышленных роботов
Существуют механизмы, для которых невозможно построить функцию положения рассмотренным ранее способом. Это – разомкнутые механизмы: для них нельзя составить условие замыкания. Модель разомкнутого механизма используется для описания исполнительных механизмов промышленных роботов, грузоподъемных механизмов и т.п. (см., например, рис. 1.11 из лекции 1).
Для того, чтобы решить указанную проблему, был предложен следующий метод. Свяжем с некоторым s-м звеном исполнительного механизма систему координат 0sxsyszs, а со звеном (s-1) –систему координат 0s-1xs-1ys-1zs-1 (рис. 2.11).
Составим вспомогательную табличку, в которой укажем косинусы углов между осями s-й и (s-1)-й системами координат:
Таблица направляющих косинусов
-
Xs
Ys
Zs
Xs-1
Cos(Xs-1,Xs)
Cos(Xs-1,Ys)
Cos(Xs-1,Zs)
Ys-1
Cos(Ys-1,Xs)
Cos(Ys-1,Ys)
Cos(Ys-1,Zs)
Zs-1
Cos(Zs-1,Xs)
Cos(Zs-1,Ys)
Cos(Zs-1,Zs)
Обычно для краткости эти косинусы обозначают буквами :
-
Xs
Ys
Zs
Xs-1
11
12
13
Ys-1
21
22
23
Zs-1
31
32
33
Элементы этой таблицы имеют следующие свойства:
-
Сумма квадратов косинусов в каждой строке равна единице, т.е.
211 + 212 + 213 = 1;
221 + 222 + 223 = 1;
231 + 232 + 233 = 1;
-
Сумма попарных произведений равна 0, т.е.
11 21+ 1222 + 1323 = 0;
21 31+ 2232 + 2333 = 0;
11 31+ 1232 + 1333 = 0.
Таким образом, все элементы таблицы не являются независимыми, и их можно выразить через три параметра, например, через углы Эйлера.
Положение s-й системы координат относительно (s-1)–й определяется вектором 0s-10s, связывающим начала систем координат, и матрицей направляющих косинусов Аs-1,s, полученной из таблицы направляющих косинусов:
(2.39)
Матрицы Аs-1,s обладают важным свойством. Если Аs-1,s и Аs,s+1 – матрицы направляющих косинусов между осями соответственно (s-1) –й и s –й и s – й и (s+1) – й систем координат, то
Аs-1,s+1 = Аs-1,s Аs,s+1 (2.40)
Пусть на s-м звене имеется некоторая точка М. Соединив ее с точками 0s-1 и 0s, построим векторы 0s-1M и 0sM. Для них можно записать следующее векторное равенство:
0s-1M = 0s-10s + 0sM (2.41)
Вектор 0s-1M может быть задан проекциями на оси какой-либо системы координат, например, (s-1)-й:
(2.42)
Аналогично можно задать вектор 0sM проекциями на оси s-й системы координат:
(2.43)
а вектор 0s-10s - проекциями на оси (s-1) –й системы координат:
(2.44)
Используя представления (2.42-2.44), можно записать выражение (2.41) в проекциях на оси (s-1)-й системы координат:
(2.45)
Из (2.45) следует, что, если нам известно положение точки М на s-м звене и положение s-го звена относительно (s-1)-го, то можно получить координаты точки М на (s-1)-м звене. Перемещаясь далее к (s-2)-му , (s-3) –му и т.д. звеньям, можно дойти до стойки и получить координаты точки М в неподвижной системе.
В соотношении (2.45) есть некоторое неудобство, заключающееся в том, что операция умножения матриц чередуется с операцией сложения. Для того, чтобы оставить только операции умножения матриц, обычно вводят четырехмерные векторы-столбцы координат:
, (2.46)
а также блочные матрицы 4х4:
(2.47)
Матрицы Hs-1,s называются матрицами перехода от s-й системы координат к (s-1)-й системе. Тогда соотношение (2.45) можно записать в виде:
(2.48)
Перемножая последовательно матрицы перехода, можно дойти до неподвижной системы координат:
(2.49)
Здесь - вектор-столбец координат точки М в системе, связанной со звеном n, а - вектор-столбец координат точки М в неподвижной системе. Таким образом, выражение (2.49) дает возможность построить функцию положения некоторой точки в явном виде. Для того, чтобы это сделать, нужно составить матрицы перехода. Рассмотрим подробнее матрицы перехода для двух наиболее часто встречающихся видов кинематических пар – вращательной и поступательной.