Экзамен / тмм - экзамен(и задачи) / ТММ Экзамен! / Лекции / шпоры динамика / 2

Уравнения кинетостатики. Определение главного вектора и главного момента сил инерции

Уравнения (4.7) удобно представить в другой форме. Введем в рассмотрение силы инерции материальных точек s–го звена

(4.11)

где – масса i–й материальной точки; – ее ускорение. Напомним, что «сила инерции» лишь условно называется силой; в действительности это мера движения материальной точки, подобная, например, количеству движения. Вводя силы инерции, можно преобразовать левые части уравнений (4.7); учитывая, что , получаем

(4.12)

(4.13)

Здесь – главный вектор сил инерции s–го звена, а – их главный момент относительно некоторой произвольно выбранной точки О.

В правых частях уравнений (4.7) выделим активные силы и реакции кинематических пар :

¹ (4.14)

где и – главные векторы активных сил и реакций связей, действующих на s–е звено, и – их главные моменты относительно точки О. Подставив (4.14) в (4.7), получим уравнения движения в следующей форме:

. (4.15)

Уравнения движения получили форму уравнений равновесия. Можно сказать, исходя из этой формы, что активные силы, действующие на каждое из подвижных звеньев механизма, реакции связей и силы инерции звена образуют уравновешенную систему. Следует только помнить об условности такой формулировки; в действительности силы инерции силами не являются; они являются мерами движения. Соответственно уравнения (4.15) являются уравнениями движения, а не уравнениями равновесия. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, их называют уравнениями кинетостатики, а модель силового расчета механизма, основанную на их применении, – кинетостатической моделью.

Для составления уравнений в форме (4.15) необходимо уметь определять главные векторы и главные моменты сил инерции звена при заданном законе его движения. Выражения для и в общем случае движения твердого тела выводятся в курсах аналитической механики². Пусть некоторая точка О (рис.4.2) выбрана за полюс звена, – вектор, определяющий положение его центра масс С.

Если известны ускорение полюса , вектор угловой скорости звена и вектор его углового ускорения (они определяются при кинематическом анализе механизма), то для главного вектора сил инерции и для главного момента их относительно точки О справедливы следующие выражения:

(4.16)

(4.17)

Здесь m – масса звена, I₀ – тензор инерции в точке О. Если ввести систему координат 0хyz, связанную со звеном, то тензор I₀ можно задавать матрицей моментов инерции

(4.18)

где J_X, J_Y, J_Z – осевые, а J_XY, J_YZ, J_XZ – центробежные моменты инерции. Найдем выражения для проекций на оси главного вектора и главного момента сил инерции в некоторых частных случаях.

a). Поступательное движение звена. Учитывая, что ω=0, ε=0, найдем :

Здесь х_с, y_c, z_c – координаты центра масс. Тогда:

(4.19)

б). Вращение вокруг неподвижной оси (рис.4.3).

Здесь

ω_х = ω_y = 0; ω_z = ω; ε_x = ε_y = 0; ε_z = ε; w₀ = 0.

Для определения главного вектора сил инерции найдем векторные произведения:

,

.

Отсюда найдем проекции главного вектора сил инерции:

(4.20)

Для определения главного момента сил инерции найдем I₀ и :

Подставляя найденные соотношения в выражение (4.17), найдем главный момент сил инерции в проекциях на координатные оси:

(4.21)

в). Плоское движение звена. Выберем в качестве полюса центр масс звена С. Введем систему координат Сxyz так, чтобы ось Сz была перпендикулярна плоскости движения звена. В осях Cxyz построим тензор инерции I_С:

.

Тогда получим следующие выражения для главного вектора и главного момента сил инерции:

, (4.22)

1 Следует различать обозначения: – главный момент сил реакций в кинематической паре и – главный момент сил реакций, действующий на s –е звено.

2 Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.

125