Экзамен / тмм - экзамен(и задачи) / ТММ Экзамен! / Лекции / шпоры динамика / 14

Уравнения Лагранжа второго рода

для механизма с одной степенью подвижности

До сих пор предполагалось, что закон движения механизма является известным: считалось, что он совпадает с программным законом движения, необходимым для выполнения рабочего процесса. В реальной машине закон движения отличается от программного. Это отличие в первую очередь связано со свойствами двигателя, приводящего в движение машину и создающего движущие силы, прикладываемые к входным звеньям. Скорость на выходном звене двигателя зависит от величины обобщенной движущей силы, и это обстоятельство должно учитываться при проектировании машины. В этой связи возникает задача интегрирования системы дифференциальных уравнений движения механической системы совместно с характеристикой двигателя. При этом дифференциальные уравнения движения механизма обычно принимаются в форме уравнений Лагранжа второго рода.

Уравнение Лагранжа второго рода для механической системы (в данном случае – механизма) было получено в курсе теоретической механики:

, (6.1)

где Т(q,) – кинетическая энергия механизма, представленная как функция от обобщенной координаты и обобщенной скорости; Q – обобщенная движущая сила;

(6.2)

– обобщенная сила сопротивления, соответствующие всем активным силам, кроме движущих.

В механизме с одной степенью подвижности кинетическая энергия всегда может быть представлена в форме

(6.3)

Если q – линейная обобщенная координата, то инерционный коэффициент называется приведенной массой механизма; при угловой обобщенной координате имеет размерность момента инерции и называется приведенным моментом инерции. В дальнейшем будет предполагаться, что q – угловая координата, и выражение (6.3) записывается в форме

(6.4)

где J(q) – приведенный момент инерции. Подставляя (6.4) в (6.1) и учитывая, что получаем

(6.5)

П ерейдем к примерам составления уравнений движения механизмов. Рассмотрим кривошипно-ползунный механизм, показанный на рис.6.1.

Кинетическую энергию механизма определяем как сумму кинетических энергий его подвижных звеньев. Для вращающегося звена 1 имеем

где J₁₀ – момент инерции звена относительно оси вращения. Для поступательно движущегося ползуна 3 получаем Для звена 2, совершающего сложное движение, находим кинетическую энергию, пользуясь теоремой Кенига, известной из курса теоретической механики: где m₂ – масса звена, - его момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс С₂ и перпендикулярной плоскости движения; v_C2 – скорость центра масс; ₂ – угловая скорость. Таким образом, учитывая, что

где  - угол поворота звена 2, получаем

(6.6)

Выражение, стоящее в фигурных скобках, представляет собой приведенный момент инерции механизма J(q). Используя функции положения x_C2(q), y_C2(q), (q), x_B(q), можно было бы представить J(q) в явной форме; однако это аналитическое выражение даже для такого сравнительно простого рычажного механизма оказывается достаточно громоздким. Еще более сложным является выражение . Поэтому на практике часто используются приближенные представления этих функций, основанные на их разложении в ряды Фурье. Легко видеть, что J(q) – периодическая функция с периодом 2; она представима в виде ряда:

(6.7)

Для определения коэффициентов Фурье J₀, J_C1, … , J_S1, … вычисляются значения J(q) при некоторых дискретных значениях q, например, при q = 2k/m (k = 1, … m). Для этого используется выражение для J(q) в форме (6.6), а значения производных от функций положения определяются в процессе кинематического анализа механизма. Затем используются известные приближенные соотношения, выражающие коэффициенты Фурье через дискретные значения периодической функции:

(6.8)

Далее составляется приближенное представление функций J(q) и

(6.9)

(6.10)

Удовлетворительная аппроксимация для – й гармоники получается только при условии m  4. Следует также иметь в виду, что пренебрежение высшими гармониками в выражении для приведенного момента инерции ограничивает область применимости уравнения (6.5).

Для составления уравнения Лагранжа необходимо также определить обобщенную силу Q_С как функцию от Предположим, что силами тяжести звеньев механизма можно пренебречь, и единственной активной силой сопротивления является сила (рис.6.1), возникающая при выполнении рабочего процесса и зависящая от и Тогда по формуле (6.2) находим

(6.11)

Обобщенная сила Q_С часто называется приведенным моментом сил сопротивления. Функция Q_С(q,) является также периодической по q с периодом 2. Если входное звено связано с кривошипом передаточным механизмом с передаточным отношением i, то период равен 2i.

В качестве второго примера рассмотрим механизм с линейной функцией положения, показанный на рис.6.2. Он состоит из двухступенчатой передачи (колеса 1-4) и ротора 5. Пусть J₁, J₂, J₃, J₄, J₅ – моменты инерции вращающихся масс относительно осей их вращения; z₁, z₂, z₃, z₄ – числа зубьев колес; M_С – момент сил сопротивления, приложенных к ротору. Составляя выражение для кинетической энергии системы, имеем

(6.12)

В этом случае приведенный момент инерции не зависит от координаты q. Обобщенная сила Q_С определяется в соответствии с (6.2):

(6.13)

Подставляя (6.12) и (6.13) в (6.5), получаем уравнение движения

(6.14)

где

(6.15)

– приведенный момент инерции механизма. Отметим, что при приведении вращающихся масс момент инерции каждой из них делится на квадрат передаточного отношения, связывающего эту массу с входным звеном.

Уравнение Лагранжа второго рода может быть использовано, так же как и уравнение Даламбера-Лагранжа, для определения обобщенной движущей силы Q. При заданном законе движения входного звена из уравнения (6.5) находим:

(6.16)

Однако роль уравнений Лагранжа в динамике машин этим не исчерпывается. Как уже отмечалось, они используются так же, как дифференциальные уравнения движения механической системы машины, из которых определяется закон движения q(t). В обоих случаях для составления уравнений Лагранжа необходимо знать зависимости Определение этих функций в аналитической форме требует обычно достаточно громоздких преобразований, связанных с составлением выражения для кинетической энергии и его дифференцированием, а также с определением работы активных сил. В связи с этим для решения первой задачи (определения обобщенной движущей силы по заданному закону движения) чаще всего используются уравнения кинетостатики или уравнения Даламбера-Лагранжа. Более того, легко показать, что эти же уравнения позволяют определить для заданного значения q величины а при заданных q и – величину Q_С.

Действительно, пусть мы определили с помощью, например, уравнений кинетостатики величину обобщенной движущей силы Q при следующих условиях: т.е. при нулевом значении угловой скорости входного звена, единичном угловом ускорении и при отсутствии активных сил (что эквивалентно Q_С = 0). Предположим, что при этих условиях (Hм). Подставив выбранные значения в уравнение (6.16), находим, что

т.е. что величина Q_1 численно совпадает с величиной J(q_), выраженной в Нмс². Таким образом, для определения J(q_) нет необходимости составлять выражение для кинетической энергии механизма, его можно определить с помощью уравнений кинетостатики, если их применить для некоторого «условного» закона движения. Задавая различные значения q_ и повторяя эту процедуру, найдем значения J(q) в ряде дискретных точек, что позволяет аппроксимировать эту функцию, например, отрезком ряда Фурье (6.9). Найдем теперь (Нм) при q=q_, и при отсутствии сил сопротивления. Подставив эти значения в (6.16), получим Наконец, задав найдем при заданных силах сопротивления; тогда из (6.16) получим

167