Экзамен / тмм - экзамен(и задачи) / ТММ Экзамен! / ЛК15

А.Н.Евграфов, Г.Н.Петров. Теория механизмов и машин. Лекция 15.

12. Выбор коэффициентов смещения. Блокирующий контур

Выбор коэффициентов смещения во многом определяет геометрию и качественные характеристики зубчатой передачи. Возможность назначать смещения по своему усмотрению, не усложняя производства зубчатых колес, дает конструктору удобное средство управления геометрией и качественными показателями зубчатой передачи с сохранением ее габаритов. Однако коэффициенты смещения, выгодные, например, по изгибной прочности или по удельному скольжению, вовсе не являются таковыми с точки зрения достижения максимальной контактной прочности или максимального коэффициента перекрытия. Кроме того, выбранные коэффициенты смещения должны задавать передачу из области ее существования, т.е. в передаче должны отсутствовать подрезание, заострение, интерференция и обеспечиваться плавность ее работы.

Противоречивость влияния смещений на геометрию и качественные показатели передачи приводит к заключению, что универсальных рекомендаций для их определения не может быть. В каждом конкретном случае коэффициенты смещения следует назначать с учетом условий работы зубчатой передачи. Один из наиболее распространенных методов выбора коэффициентов смещения – метод «блокирующих контуров».

Зависимость геометрических параметров и качественных показателей прямозубой прямозубой цилиндрической передачи от коэффициентов смещения можно показать с помощью кривых, построенных для каждого конкретного сочетания числе зубьев z₁ и z₂ в плоской системе координат x₁, x₂. В указанной системе координат каждая зубчатая передача с определенными значениями коэффициентов смещения изображается единственной точкой.

Множество точек координатного поля соответствует множеству вариантов передачи, которые можно получить при одних и тех же числах зубьев, но при различных коэффициентах смещения. Эти передачи неравноценны по своим качественным показателям, и из них надо выбирать наивыгоднейшую. При этом надо иметь в виду, что некоторые точки поля неприемлемы, так как при соответствующих им значениях x₁ и x₂ может быть интерференция или заострение зубьев, снижение коэффициента перекрытия и переход за предельной значение _ = 1 и т.п.

Предельному значению каждого из ограничивающих факторов в системе (x₁, x₂) соответствует определенная линия (или линии), отделяющая зону допустимых значений x₁ и x₂ от зоны недопустимых, где передачи без указанных выше нежелательных явлений не существуют. Совокупность этих линий называется блокирующим контуром. Блокирующие контуры были разработаны группой российских ученых во главе с И. А. Болотовским. Форма и расположение линий блокирующего контура зависят от числа зубьев зубчатых колес и применяемого инструмента.

На рис. 3.59 приведен пример блокирующего контура. Линии 1 и 2 ограничивают существование передачи из-за интерференции но ножке зуба колеса с числом зубьев z₂ (; обычно зубчатое колесо с числом зубьев z₂ называют просто колесом); 3 и 4 – из-за возникновения интерференции на ножке зуба колеса с числом зубьев z₁ (зубчатое колесо с числом зубьев называют шестерней); 5 – линия коэффициента перекрытия _ = 1. Запретные зоны заштрихованы. Внутри контура нанесены линии условных границ, выходить за которые не разрешается. Эти условные границы назначаются проектировщиком в каждом конкретном случае отдельно, с учетом условий работы передачи. К таким линиям относятся, например, линии, соответствующие значениям _ = 1,2, s_a = 0,25m, s_a = 0,4m, а также линия начала подрезания реечным инструментом x = x_min.

К роме того, внутри блокирующего контура нанесены линии качественных показателей:

• Линии коэффициентов смещения, при которых обеспечивается равнопрочность зубьев по изгибу, если материалы и термическая обработка обоих колес одинаковы. Линия, обозначенная буквой а, соответствует случаю, когда ведущей является шестерня, а линия, обозначенная буквой b – случаю, когда ведущим является колесо.

• Линия коэффициентов смещения, при которых выравнены максимальные удельные скольжения на начальных ножках обоих зубчатых колес. Эта линия обозначена ₁ = ₂.

Пример 1 выбора коэффициентов смещения. Дано: z₁, z₂, s_a1>0,4m, s_a2>0,4m, _ > 1,2, отсутствие подрезания. Решение. Находим блокирующий контур для заданного сочетания z₁ и z₂. Искомая область заключена между кривыми s_a1 = 0,4m, s_a2 = 0,4m, выше линии x₂ = x_2min и правее линии x₁ = x_1min. Коэффициенты смещения возрастают в направлении от правого верхнего края блокирующего контура к левому нижнему. Следовательно, коэффициенты смещения, обеспечивающие наибольший коэффициент перекрытия и выполнение всех заданных требований – на пересечении линий x₁ = x_1min и x₂ = x_2min.

Пример 2. Найти коэффициенты смещения для передачи с заданным межосевым расстоянием а_w. Решение. Из формулы (3.116) найдем угол зацепления:

,

а из выражения (3.115) – сумму коэффициентов смещения x_:

.

Затем на блокирующем контуре по двум точкам (х₁ = x_ и х₂ = x_) строится линия, соответствующая найденному значению x_. Значения х₁ и х₂ выбираются на прямой x_ с учетом желательных качественных показателей передачи.

Блокирующие контуры для косозубых передач не построены. Однако существуют компьютерные вычислительные программы, позволяющие с помощью ЭВМ выбирать коэффициенты смещения для косозубых цилиндрических передач (например, программа, разработанная на кафедре ТММ СПбГТУ).

13. Точность рычажных механизмов

До сих пор мы рассматривали такие модели механизмов, в которых предполагалось, что размеры звеньев точно соответствуют расчетным. Однако из практики известно, что все размеры звеньев имеют некоторые отклонения от заданных. Это связано и с погрешностью изготовления, сборки, монтажа деталей и узлов, и с упругими, температурными и т.д. деформациями, и с погрешностью измерения. Рассмотрим модели механизмов, в которых размеры звеньев отличаются от номинальных (задаваемых на чертежах). Такие отклонения называют геометрическими ошибками и обозначают ₁, ₂, …, _m. Отклонения входных обобщенных координат q₁, q₂, … q_w от программных значений называют кинематическими ошибками. Причиной их появления являются погрешность отработки двигателем входных сигналов, неточность и деформируемость привода, зазоры в кинематических парах и т.д. Выделяют две задачи точностного (или параметрического) анализа:

• Прямая задача: как точно механизм воспроизведет заданную траекторию или функцию положения?

• Обратная задача: по заданной точности воспроизведения движения найти допустимые отклонения размеров звеньев.

Геометрические и кинематические ошибки – первоисточники погрешностей механизма, их называют первичными. Разницу между положением точки r точного и неточного механизма называют ошибкой положения х_r точки r:

(3.125)

где	хr –	координата точки r точного механизма;
	–	координата точки r неточного механизма, т.е. механизма, имеющего первичные ошибки.

На рис. 3.60 показана ошибка положения точки В кривошипно-ползунного механизма , возникшая из-за погрешностей  е.

О шибка перемещения S_r точки r – разница перемещений точки r точного S_r и неточного механизма:

, (3.126)

т .е. ошибка перемещения точки может быть определена как разность ошибок положения в конце (2) и начале (1) ее движения. На рис. (3.61) показан механизм при перемещении входного звена из начального положения 1 в конечное положение 2.

Ошибки перемещения вызывают ошибки по скорости и по ускорению:

; . (3.127)

О шибка, называемая мертвым ходом, возникает из-за зазоров в кинематических парах, деформации звеньев при изменении направления рабочей нагрузки (рис. 3.62).

При определении ошибок принимают следующие допущения: первичные ошибки и ошибки механизма считают малыми; первичные ошибки считают независимыми.

Найдем связь между ошибкой положения и первичными ошибками. Для этого представим функцию положения точного механизма в виде:

, (3.128)

где q₁, …, q_w – входные координаты, ₁, …, _m – номинальные размеры звеньев. Тогда функция положения точки r неточного механизма:

, (3.129)

где q₁, q₂, … q_w – ошибки входных координат (кинематические ошибки), а ₁, ₂, …, _m – ошибки размеров звеньев (геометрические ошибки). Тогда ошибка положения х_r точки r равна:

. (3.130)

Соответственно ошибка по скорости v_r:

. (3.131)

Отметим, что частные производные определяются для точных механизмов.

Таким образом, для решения первой задачи точностного анализа надо задаться первичными ошибками (назначить допустимые отклонения размеров), найти частные производные от функций положения и определить ошибки положения по формуле (3.130). Обратная задача, как и всякая обратная задача, значительно сложнее. Ее можно решать методом последовательных приближений; здесь мы ее рассматривать не будем.

Определение ошибок механизма можно осуществить различными методами: аналитическим (метод дифференцирования), графоаналитическим (с помощью построения плана ошибок) и др.

Сущность аналитического метода заключается в составлении групповых уравнений и в дифференцировании их в частных производных по независимым параметрам q₁, … , q_w и ₁, … , _1m.

Графоаналитический метод точностного анализа базируется на использовании замкнутого векторного контура и на построении плана ошибок.

Пример. Определим аналитическим методом ошибки положения х_В и ₂ кривошипно-ползунного механизма, вызванные первичными ошибками q, l₁, l₂ , е (рис. 3.63).

Составим групповые уравнения:

(3.132)

Д ля отыскания производных и продифференцируем (3.132) по координате q:

откуда по правилу Крамера найдем:

Для отыскания производных по параметру l₁ зафиксируем координату q; дифференцируя систему (3.132) по l₁, получим:

Отсюда найдем производные:

,

.

Аналогично продифференцируем систему (3.132) по l₂ и по е:

Соответственно получим частные производные по l₂ и по е:

,

,

,

.

Ошибка положения ₂ звена 2:

.

Ошибка положения х_В точки В:

.

Повторить по лекции 15:

Блокирующий контур;	Ошибка перемещения Sr;
Шестерня и колесо;	Мертвый ход;
Геометрические ошибки;	Аналитический метод точностного
Кинематические ошибки;	анализа;
Прямая задача точностного анализа;	Графоаналитический метод точност-
Обратная задача точностного анализа;	ного анализа.
Ошибка положения хr;

8