Добавил:

Xer1t Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Теория механизмов и машин

Файл:

ЭКЗ / tmm_chapter8

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.11.2019

Размер:

264.17 Кб

Скачать

☆

ГЛАВА 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА

СЖЕСТКИМИ ЗВЕНЬЯМИ

6.1.Уравнения Лагранжа второго рода для механизма с одной степенью подвижности

Уравнение Лагранжа второго рода для механической системы

d T	T	Q Q	,

	q	C
dt q

Т(q, q ) – кинетическая энергия механизма; Q – обобщенная движущая сила;

N
QC PCi	rCi M0(PiC ) i
i 1	q	q

QС– обобщенная сила сопротивления.

В механизме с одной степенью подвижности

T 12 a(q)q2 .

a(q) m(q) – приведенная масса или приведенный момент инерции

(6.1)

(6.2)

(6.3)

(q –

линейная или угловая обобщенная координата).

В дальнейшем будет предполагаться, что q – угловая координата, и выражение (6.3) записывается в форме

							T			1			2	,		(6.4)
							T			2	J (q)q			,		(6.4)
J(q) – приведенный момент инерции.
T	1		2	,		d T				d					2
			2												2
q	2	J (q)q								dt	J (q) q J (q)q					J (q)q,
q	2					dt q				dt
			J					1				2	Q QC .			(6.5)
			J		(q)q			2	J (q)q				Q QC .			(6.5)
								2

171

Пример составления уравнений движения механизмов.

Рис. 6.1

Для вращающегося звена 1 :

T1 12 J10 q2 ,

где J10 – момент инерции звена относительно оси вращения. Для поступательно движущегося ползуна 3:

T3 12 m3 xB2 .

Для звена 2, совершающего сложное движение (теоремоаКёнига):

T2 12 (m2vC2 2 J2C 22 ),

m2 – масса звена,

J2C – его момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс С2;

vC2 – скорость центра масс;2 – угловая скорость.

C 2

; 2

q;vC 2

dq q,

где – угол поворота звена 2, получаем

T T1 T2 T3

2 1

2 (6.6)

C 2

J10 m2

J (q)q .

Выражение, стоящее в фигурных скобках, представляет собой приведенный момент инерции механизма J(q). Используя функции положения xC2(q), yC2(q),(q), xB(q), можно было бы представить J(q) в явной форме.

J(q) – периодическая функция с периодом 2 ; она представима в виде ряда:


J (q) J0 (JC	cos q JS sin q).	(6.7)

172

Можно записать коэффициенты Фурье через дискретные значения периодической функции:

		1			m
J0				J (2 k / m),
J0				J (2 k / m),
	m k 1
			2		m
JC					J (2 k / m)cos(2 k / m),	(6.8)
JC					J (2 k / m)cos(2 k / m),	(6.8)
			m k 1
			2		m
JS					J (2 k / m)sin(2 k / m).
JS					J (2 k / m)sin(2 k / m).
			m k 1

Приближенное представление функций J(q) и J (q) :

	r
J (q) J0 (JC		cos q JS sin q),	(6.9)
	1
	r		(6.10)

J (q) ( JC sin q JS cos q) .

Удовлетворительная аппроксимация для – й гармоники получается только при условии m 4 .

Если силами тяжести звеньев механизма можно пренебречь,

QC P	dxB		dxB		dxB		QC (q, q).	(6.11)
		P xB (q),		q
	dq		dq			dq

Обобщенная сила QС часто называется приведенным моментом сил сопротивления. Функция QС(q, q ) является также периодической по q с периодом 2 .

Пример механизма с линейной функцией положе-

ния.

J1, J2, J3, J4, J5 – моменты инерции вращающихся масс относительно их осей вращения;

z1, z2, z3, z4 – числа зубьев колес;

MС – момент сил сопротивления, приложенный к ротору.

В этом случае приведенный момент инерции не зависит от координаты q.

Рис. 6.2

T		1			2	(J2					z1		2	(J4						z1 z3			2
												)										)
		2	J1q				J3 )( q				z2	)				J5 )(q				z2 z4		)
		2									z2									z2 z4					(6.12)
	1						z1									z1z3						1			(6.12)
	1						z1		2							z1z3		2			2	1		2
		J1		(J2 J3 )(				)		(J4			J5 )(				)								.
	2	J1		(J2 J3 )(			z2	)		(J4			J5 )(		z2 z4		)		q			2	Jq		.
	2						z2								z2 z4							2

173

Обобщенная сила QС определяется в соответствии с (6.2):

z1z3

(6.13)

C z2 z4

Уравнение движения

z1z3

J q Q MC

(6.14)

z2 z4

где

z1z3

J J

)(

(6.15)

z2 z4

– приведенный момент инерции механизма. Отметим, что при приведении вращающихся масс момент инерции каждой из них делится на квадрат передаточного отношения, связывающего эту массу с входным звеном.

Уравнение Лагранжа второго рода может быть использовано для определения обобщенной движущей силы Q:

		2		(6.16)
Q(t) J q(t) q(t) 0,5J		q(t) q	QC q(t), q(t),t .	(6.16)

6.2. Уравнения Лагранжа второго рода для механизма с несколькими степенями подвижности

Уравнения Лагранжа второго рода для механизма с w степенями подвижности:

	d T		T	Q	Q	(s = 1, … , w) ,	(6.18)
				Q	Q	(s = 1, … , w) ,	(6.18)
			qs	s	Cs
	dt qs		qs
где Qs – обобщенные движущие силы;
			N				(6.19)
		QCs PCi			rci M0( PiC ) i		(6.19)
			i 1		qs	qs

– обобщенные силы сопротивления, соответствующие всем активным силам, кроме движущих.

Кинетическая энергия каждого звена:

Ti	1	mi vci2	Ωi(i)T JсiΩi(i) ,	(6.20)
	2

где i – номер звена, mi – его масса, vci – скорость центра масс, Jсi – тензор инерции в системе осей, начало которой находится в центре масс i-го звена, Ωi(i) – трехмерный вектор-столбец абсолютной угловой скорости.

174

	Jix		Jixy		Jixz сi
	Jixy		Jiy				,	(6.21)
Jсi					Jiyz
	J	ixz	J	iyz	J	iz

где Jix, Jiy, Jiz – осевые моменты инерции i-го звена, моменты инерции, а

(i)ix

Ωi(i) i(yi) ,

iz(i)

Jixy, Jixz, Jiyz – центробежные

(6.22)

где ix(i) , iy(i) , iz(i)

– проекции вектора угловой скорости i-го звена Ωi

на оси i-й

системы координат.

(0)

(i)

mi xci

yci

zci

Jix

Jiy iy

Jiz iz

(6.23)

(i)

2Jixy ix

2Jixz ix

2Jiyz iy

iz .

Пример трехподвижного механизма.

Звено 1:

J1z q1 ,

J1z – осевой момент инерции

Звено 2:

T2 1

m2 vc22

T J2Ω(2)2 ,

Ω(2)2

vс2 – скорость центра масс второго

звена,

m2 – его масса,

J2 – тензор инерции,

x		Ω(2)2 – вектор-столбец угловой ско-
	Рис. 6.3
		рости в проекции на оси С2x2y2z2.

175

х2

б) y3

	2		Q3
	2		q3
			q3
q2	А		z2
q2	А	В	В
Q2	C2	В	В
Q2	y2		z3
	y2		z3

	3
	M
C3	x3

Рис. 6.4

Найдем vс2 и Ω(2)2				:
2		2 2		2	,
vс2		2q1	q2		,
	(2)			q
		2 x		q

(2)		(2)			1
Ω2		2 y			0	.
		(2)			0
		2 z			0
		2 z

Подставим найденные значенияв выражение для кинетической энергии Т2:

T2 12 m2 22q12 m2q22 J2 xq12 12 J2 z1 q12 m2q22 ,

где J2 z1 m2 22 J2 x . Кинетическая энергия третьего звена Т3:

T3 12 m3vс23 Ω3(3)T J3Ω3(3) .

Найдем скорость центра масс третьего звена vс3.

												3 sin q1 cos q3								asin q1
										r(0)				3	cos q		cos q		a cos q
										r(0)				3		1	3						1	,
										c3						3 sin q3		q2
																	1
																	1
							(		cos q cos q														sin q sin q						v	(0)
							(		cos q cos q							a cos q )q							sin q sin q			q				c3x
								3			1			3			1		1			3		1	3		3			(0)
							( 3 sin q1 cos q3													3 cos q1 sin q3								v
		(0)		(0)			( 3 sin q1 cos q3									asin q1)q1				3 cos q1 sin q3						q3		v
		(0)		(0)																									c3 y
				vc3																										(0)	,
	rc3			vc3																									v	(0)	,
															3 cos q3 q3 q2														v
																														c3z
																	0													0
																	0													0
vc3	2			(0)	2		(0)		2		(0)		2	3 cos q3				a			2	2		2 2								2
vc3			vc3x			vc3 y				vc3z				3 cos q3				a				q1 3q3			2 3 cos q3 q2q3							q2

176

Положим, что звено 3 представляет собой тонкий однородный стержень, а3 b2 . Тогда компоненты тензора инерции J3, построенного в осях С3x3y3z3 :

J3x = 0; J3y = J3z = m3b2 12 ; J3xy = J3xz = J3yz = 0. Угловая скорость Ω3(3) :

										q sin q			(3)
										q sin q				3x

								(3)		1	3			(3)
							Ω3		q1 cos q3				3 y		.
														(3)

											q3			3z
Отсюда получим:														3z
Отсюда получим:
T3	1	m3	b		cos q3	2	2		b2	2					2	b2	2	cos	2	q3	2
T3	2	m3		2	cos q3	a	q1		4	q3 bcos q3		q2 q3			q2	12	q1	cos		q3	q3	.
	2			2					4							12

Полная кинетическая энергия механизма составит:

T T1 T2 T3
	1			b			2		m b2			2		2
		J1z	J2 z m3			cos q3 a			3		cos q3			q1
	2 1		1	2					12
	2 1		1	2					12

	1		2	m3b2			2
	2	m2	m3 q2		3		q3 m3bcos q3			q2q3
	2				3
Найдем обобщенные силы сопротивления.
Q G zC 2 G					zC3 F xM			F			yM	F			zM	.
Q G zC 2 G					zC3 F xM			F				F				.
	Cs		2 qs	3 qs			x qs		y qs				z qs

Здесь учтено, что центр масс звена 1 не изменяет своего положения. Из ки-

нематического анализа несложно получить выражения для zс2

и zс3

qS :

zc2 0 ,

zc2 1,

zс2

0 , zс3

0 ,

zс3 1, zс3

b cos q .

Функция положения точки М:

xM(0)

bsin q

cos q asin q

yM(0)

bcos q1 cos q3 a cos q1

(0)

(b c)sin q3 q2

177

Отсюда
xM	bcos q	cos q a cos q ,					yM	bsin q			cos q		asin q , zM		0 ,
q	3		1			1	q			1		3	1	q
1				xM			1	yM			zM			1
				xM		0 ;		yM	0 ;		zM	1,
				q	2			q			q
xM	bsin q sin q , yM				2			2		zM	2
xM	bsin q sin q , yM			bcos q sin q					,	zM	bcos q .
q	1	3	q				1	3		q			3
3			3							3

Теперь несложно найти обобщенные силы сопротивления:

QC1 Fx cos q1 Fy sin q1 bcos q3 a ,

QC 2 G2 G3 Fz ,

QC3 G3 b2 cos q3 Fxbsin q1 sin q3 Fybcos q1 sin q3 Fzbcos q3 .

Подставляя найденные значения в уравнения Лагранжа, получим три уравнения движения:

							b					2		m b2				2
J1z		J2 z		m3 cos q3						a					3	cos			q3 q1
	1		1				2								12
							2								12



					2	bcos q3
m3bsin q3					3	bcos q3		a q1q3
					3
Q1		Fx cos q1 Fy sin q1 bcos q3 a ,
			1									2	sin q3 ) Q2				G2			G3 Fz ,
m2 m3 q2			2	m3b(cos q3 q3						q3			sin q3 ) Q2				G2			G3 Fz ,
			2
				m3b2				1	m3bcos q3						q2
							q3		m3bcos q3						q2
						3		2
						3		2
				b2		cos q3 sin q3					b						2
		m3			3	cos q3 sin q3					2		am3 sin q3 q1
					3						2

Q3 G3 b2 cos q3 Fxbsin q1 sin q3 Fybcos q1 sin q3 Fzbcos q3.

Из приведенных уравнений видно взаимовлияние приводов. Например, двигатель 2 «чувствует», как работает двигатель, приводящий в движение звено 3 (движущий момент Q2 зависит от q3 и от q3 ).

178

Соседние файлы в папке ЭКЗ

#
26.11.2019236.12 Кб12tmm_chapter3.pdf
#
26.11.2019578.58 Кб14tmm_chapter4.pdf
#
26.11.2019368.98 Кб15tmm_chapter5.pdf
#
26.11.2019544.88 Кб12tmm_chapter6.pdf
#
26.11.2019621.4 Кб13tmm_chapter7.pdf
#
26.11.2019264.17 Кб12tmm_chapter8.pdf
#
26.11.2019819.31 Кб12tmm_chapter9.pdf

Найдем vс2 и Ω(2)2				:
2		2 2		2	,
vс2		2q1	q2		,
	(2)			q
		2 x		q

(2)		(2)			1
Ω2		2 y			0	.
		(2)			0
		2 z			0
		2 z

										q sin q			(3)
										q sin q				3x

								(3)		1	3			(3)
							Ω3		q1 cos q3				3 y		.
														(3)

											q3			3z
Отсюда получим:														3z
Отсюда получим:
T3	1	m3	b		cos q3	2	2		b2	2					2	b2	2	cos	2	q3	2
T3	2	m3		2	cos q3	a	q1		4	q3 bcos q3		q2 q3			q2	12	q1	cos		q3	q3	.
	2			2					4							12

Найдем vс2 и Ω(2)2				:
2		2 2		2	,
vс2		2q1	q2		,
	(2)			q
		2 x		q

(2)		(2)			1
Ω2		2 y			0	.
		(2)			0
		2 z			0
		2 z

										q sin q			(3)
										q sin q				3x

								(3)		1	3			(3)
							Ω3		q1 cos q3				3 y		.
														(3)

											q3			3z
Отсюда получим:														3z
Отсюда получим:
T3	1	m3	b		cos q3	2	2		b2	2					2	b2	2	cos	2	q3	2
T3	2	m3		2	cos q3	a	q1		4	q3 bcos q3		q2 q3			q2	12	q1	cos		q3	q3	.
	2			2					4							12

Найдем vс2 и Ω(2)2				:
2		2 2		2	,
vс2		2q1	q2		,
	(2)			q
		2 x		q

(2)		(2)			1
Ω2		2 y			0	.
		(2)			0
		2 z			0
		2 z

										q sin q			(3)
										q sin q				3x

								(3)		1	3			(3)
							Ω3		q1 cos q3				3 y		.
														(3)

											q3			3z
Отсюда получим:														3z
Отсюда получим:
T3	1	m3	b		cos q3	2	2		b2	2					2	b2	2	cos	2	q3	2
T3	2	m3		2	cos q3	a	q1		4	q3 bcos q3		q2 q3			q2	12	q1	cos		q3	q3	.
	2			2					4							12