13.4. Расчет допустимых и оптимальных режимов

Расчет установившегося режима. В общей форме урав- нения установившегося режима записываются так:

, (13.36)

где W вектор-функция; Х и Y- вектор-столбцы зави- симых и независимых параметров режима.

Как отмечалось в §9.4 и 13.1, число уравнений в вы- ражении (13.36) равно числу зависимых параметров режи- ма X. Расчет установившегося режима состоит в определе- нии зависимых переменных X, удовлетворяющих уравнению установившегося режима (13.36), при заданных значениях независимых переменных Y. При фиксированном векторе Y система уравнений (13.36) зависит лишь от Х и ее решение соответствует определению равного нулю минимума функ- ции

, (13.37)

где -уравнение установившегося режима для k-го узла, например уравнение баланса мощности или тока в k-м узле.

Расчет допустимого режима электрической системы, т. е. определение режима, удовлетворяющего условиям надежно- сти электроснабжения и качества электроэнергии, имеет важное значение как подзадача оптимизации режима и как самостоятельная задача, например при отсутствии резерва мощности. Важнейшая цель при расчетах установившегося режима состоит в проверке того, удовлетворяет ли рассчи- танный режим техническим ограничениям по условиям на- дежности и качества электроэнергии. Техническим ограни- чениям должны удовлетворять модули напряжений генера- торов и нагрузки, активные и реактивные мощности генераторов, токи и потоки мощности в линиях и т. д. До- пустимый режим - это такой, для которого зависимые и независимые параметры режима X_i и Y_j а также функции от них удовлетворяют техническим ограничениям. Для допустимого режима должны выполняться следующие условия:

(13.38)

(13.39)

при (13.40)

где - явная вектор-функция от X, Y, компонента- ми которой могут быть, например, потоки мощности, потери и т.д.; - верхние и нижние пределы для Y, Х и .

Все величины, которые должны быть в допустимых пре- делах, называют контролируемыми величинами. Контролируемые величины - это зависимые параметры ре- жима Х и Y, а также функции от них , например токи и потоки мощности.

Режим является допустимым, если для всех j

, (13.41)

где -j-я контролируемая величина; - наи- большее и наименьшее допустимые значения контролируе- мой величины.

Условия допустимости режима (13.41) эквивалентны ус- ловиям (13.38)- (13.40). Неравенства (13.41) часто запи- сывают отдельно для наибольших и наименьшихдопустимых предельных значений в следующем виде:

(13.42)

Расчет допустимого режима состоит в определении зави- симых Х и независимых Y переменных, удовлетворяющих уравнениям установившегося режима (13.36) и техническим ограничениям на контролируемые величины (13.42).

Учет ограничений-неравенств очень усложняет оптими- зацию в сравнении с учетом только ограничений-равенств. Последние легко учесть по методу Лагранжа, а учет огра- ничений-неравенств требует применения методов нелиней- ного программирования.

Метод штрафных функций нашел широкое применение в отечественной и зарубежной практике для расчета допус- тимого режима [23]. При этом функция (13.37) дополня- ется штрафной функцией

(13.43)

и расчет допустимого режима соответствует определению минимума функции

(13.44)

при условии существования хотя бы одного допустимого режима.

В (13.44) К_j- весовой коэффициент; ,- предельное значение контролируемой величины, равное наибольшему или наименьшему допустимому значению в (13.42).

В штрафную функцию (13.43) и функцию (13.44) вхо- дят только те контролируемые величины, для которых не выполняются ограничения (13.42). Это значит, что , если ограничение нарушено, и , если находится в допустимой области.

Если , то всеи , т. е. удо- влетворяются уравнения установившегося режима и все ограничения на контролируемые величины. Задача расчета допустимого режима (или ввода режима в допустимую об- ласть) состоит в определении такого режима, для которого имеет место «наименьшее» нарушение технических ограни- чений на контролируемые параметры, т. е. в определении режима, для которого функция Ш в (13.43) принимает наи- меньшее значение.

При учете ограничений по методу штрафных функций предполагается возможность неограниченного изменения всех контролируемых величин. Однако при выходе какой- либо переменной за допустимые пределы к целевой функ- ции прибавляется большая величина - штраф, делающий работу за пределами допустимой области невыгодной. При выходе за пределы независимой переменной последняя фиксируется на пределе и соответствующее ограничение не учитывается в выражении (13.43) или (13.44). Таким обра- зом, выполнить ограничения (13.38) достаточно просто, по- скольку при расчете установившегося режима Y задается, и на каждом шаге итерационного расчета допустимого ре- жима можно зафиксировать все компоненты Y, вышедшие за пределы. Компоненты вектора зависимых параметров ре- жима Х и функции заранее неизвестны и опреде- ляются только после расчета установившегося режима, следовательно, нет гарантии, что Х и будут нахо- диться в заданных пределах, т. е. будут выполняться (13.39), (13.40). Именно для выполнения этих условий надо найти .

Основное достоинство метода штрафных функций - про- стота алгоритма, недостаток- замедление сходимости при приближении к границе допустимой области, поэтому зна- чительное внимание уделяется ускорению сходимости.

Итак, задачу ввода режима в допустимую область (13.42) можно сформулировать как следующую задачу не- линейного программирования: определить ми- нимум штрафной функции (13.43) при выполнении (13.36). Для ее решения можно применять не только метод штраф- ных функций, но и другие методы нелинейного программи- рования.

Расчет оптимального режима состоит в определении та- кого допустимого режима, при котором целевая функция оптимизации равна минимальному значению.

Оптимальный режим получается при совместной мини- мизации и целевой функции оптимизации т. е.

. (13.45)

В качестве функции при оптимизации режимов электроэнергетических систем обычно принимаются пере- менные составляющие затрат на производство электроэнер- гии, зависящие от режима сети, т. е. расход условного топ- лива (или затраты на топливо) на тепловых станциях. При решении более частной задачи оптимизации режима сети по напряжениям U, реактивной мощности Q и коэффициентам трансформации п такой функцией могут являться суммар- ные потери активной мощности в сети.

Расчет оптимального режима состоит в определении зна- чений зависимых и независимых параметров режима Х и Y, при которых удовлетворяются уравнения установившегося режима (13.36), технические ограничения на контролируе- мые величины (13.42) и целевая функция оптимизации равна наименьшему значению. Задача определения допусти- мого или оптимального режима начинается с расчета ис- ходного установившегося режима. Если на первом шаге или в ходе итерационного процесса определения допустимого, а также оптимального режима решение уравнений исходно- го установившегося режима не существует, то необходимо так изменить независимые параметры режима Y, чтобы обеспечить существование решения.

Для расчета оптимальных и допустимых режимов широ- кое применение нашел метод приведенного градиента [19, 25]. При использовании этого метода на каждом шаге оп- тимизации по мере убывания приведенного градиента изме- няется вектор Y, а Х определяется в результате расчета установившегося режима по методу Ньютона. Приведенный градиент определяется как градиент неявной функции (см. §13.5),

Для расчетов оптимальных режимов электроэнергети- ческих систем и электрических сетей можно использовать методы второго порядка. В этом случае оптимизация ведет- ся по вектору Z, компонентами которого могут быть как за- висимые X, так и независимые Y параметры режима, кото- рые меняются на каждом шаге оптимизации. Методы вто- рого порядка представляют собой итерационную процедуру метода Ньютона, примененную к градиенту функции в (13.45), т. е. методом Ньютона решается система уравне- ний

. (13.46)

Решение системы (13.46) определяет оптимальный ре- жим, т. е. параметры Z, определенные в результате решения (13.46), соответствуют минимуму И и удовлетворяют огра- ничениям (13.42) и уравнениям установившегося режима (13.36).