Лекции по электродинамике / 4

Замечания по применимости теоремы Максвелла (классической электродинамики).

1. Напряженности ЭМП, т. е. величины и , значительно меньше являются нелинейными напряженности внутри атома или молекулы. Поэтому уравнение Максвелла

2. Объемы, в которых рассматривается ЭМП в теореме Максвелла, должны быть значительно больше среднего объема атома.

3. Время, в течение которого рассматривалось поле, должно быть значительно больше времени существования атома в возбужденном состоянии ().

4. Уравнения Максвелла получены для вакуума и в его теореме считается, что вещество практически ничего не меняет. Влияние вещества учитывается с помощью: , ,  удельная электрическая проводимость (УЭП)

УЭП – проводимость куба вещества с ребром 1м при протекании тока перпендикулярно граням.

(9.1)

5. Уравнение Максвелла являются фундаментальными явлениями природы никуда не выводятся, ниоткуда не следуют, они выполняются везде в рамках ограничений.

I уравнение Максвелла (закон полного тока).

(10.1)

В каждой точке пространства существует связь между и :

, где ;

Рассмотрим опыт Максвелла.

Пусть у нас есть цепь вида: конденсатор помещен в вакуум. Эксперимент показал наличие поля внутри конденсатора.

Из трех тезисов:

1. внутри конденсатора есть магнитное поле;

2. теорема о циркуляции выполняется всегда;

3. вещества внутри нет, следовательно, тока проводимости быть не может;

получили, что линии тока не прерываются в конденсаторе, а продолжаются.

Это воображаемое продолжение линий тока проводимости, замыкающее электрическую цепь, называется током смещения.

; (10.2)

тогда

(10.3)

 вектор электрической индукции.

Частная проводимость подчеркивает, что если меняется во времени, то будет ток смещения.

(10.4)

 I уравнение Максвелла. (10.5)

или  для вакуума (10.6)

Для существования ЭМП вещества не надо.

Уравнение непрерывности тока.

 линия движения .

 уравнение непрерывности тока для постоянного тока.

В случае переменного тока:

(11.1)

; (11.2)

;  уравнение непрерывности для переменного тока (11.3)

Линии переменного тока могут и начинаться, и заканчиваться на переменном заряде.

II уравнение Максвелла (закон электромагнитной индукции).

(12.1)

(12.2)

(12.3)

(12.4)

Для левой части применим теорему Стокса:

(12.5)

 II уравнение Максвелла (12.6)

Заслуга Максвелла состоит в том, что он из закона электромагнитной индукции вывел понятие материального контура, т. е. и стали связаны в точке пространства без участия вещества.

III и IV уравнения Максвелла.

III уравнение Максвелла имеет название теорема Гаусса для электрического поля.

(13.1)

 третье уравнение Максвелла в интегральной форме (13.2)

,  свободные заряды (13.3)

 III уравнение Максвелла (13.4)

Теорема Гаусса для (IV уравнение Максвелла).

 IV уравнение Максвелла (13.5)

Данное условие выполняется безусловно.

Материальные уравнения Максвелла.

; содержится восемь уравнений. (14.1)

В результате решения этих уравнений можно получить ,  всего двенадцать функций.

1. искомых функций двенадцать (по три скалярных функции)

2. число уравнений – восемь

Таким образом, такая система уравнений называется незамкнутой. Данные полевые уравнения необходимо дополнить пятым уравнением.

Оно содержит в себе три:

 пятое уравнение Максвелла в дифференциальной форме (14.2)

В связи с пятым уравнением возникают ограничения (в данных уравнениях присутствуют характеристики вещества).

 для линейных диэлектриков (14.3)

Данные уравнения не выполняются для сегнетоэлектриков и ферромагнетиков.

 для линейных магнетиков (14.5)

 выполняется для проводников первого рода (металлы), т. е. для проводников, у которых протекание тока не зависит от времени.