Интегральная теорема Остроградского – Гаусса

Эта теорема расширяет понятие дивергенции для конечного объема

(2.1)

(2.2)

Поток вектора поля через замкнутую поверхность S равен объемному интегралу от дивергенции этого поля по объему, заключенному внутри поверхности S.

Циркуляция векторного поля

Циркуляцией векторного поля называется интеграл вида:

(2.3)

Определение ротора

Ротор – это векторная характеристика векторного поля. Ротором векторного поля называется вектор, проекция которого на нормаль площадки dS равна пределу отношения циркуляции вектора к поверхности S ограниченной контуром L, при стремлении поверхности к нулю.

(3.1)

Ротор характеризует способность поля к образованию вихрей, замыканию векторных линий.

Если в какой-то точке поля , то в этой точке находится вихрь или замкнутая силовая линия.

Теорема Стокса

(3.2)

Оператор Набла и оператор Лапласа

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(векторное произведение).

Оператором второго порядка является оператор Лапласа. Он выводится из оператора Набла, если оператором Набла подействовать на градиент:

(4.4)

(4.5)

(4.6)

Свойства оператора Лапласа:

1.

2.

3.

Классификация векторных полей

Поля бывают: 1. потенциальные

2. соленоидальные (вихревые)

3. смешанные

Потенциальное поле.

Поле потенциально, если в любой точке области определения поля ротор этого поля равен нулю, а дивергенция хотя бы в одной точке не равна нулю.

Следствие: если поле потенциальное, то это поле можно представить как градиент некоторой скалярной, которая называется потенциалом.

Доказательство:

(5.1)

Декартова система координат:

(5.2)

(5.3)

(5.4)

(5.6)

Цилиндрическая система координат:

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

Сферическая система координат:

(5.11)

(5.12)

(5.13)

(5.14)

Соленоидальное поле.

Соленоидальным называется векторное поле, в каждой точке которого , .

Следствие: если поле соленоидальное, то векторное поле можно представить как , где - векторный потенциал.

Доказательство:

Смешанное поле.

Это любой другой тип векторного поля где не выполняется 1,2.

Особый вид этого поля: поле электростатического заряда, где заряда нет.