2. Запись чисел в двоичной системе

Рассмотрим структуру привычных для нас десятичных чисел. Записывая какое-либо десятичное число, например 888, мы могли бы записать в виде суммы:

888 = 8x100 +8x10 + 8x1

Любое десятичное число можно записать в виде суммы различных степеней основания 10*. Например:

1234 = 1х10³+ 2х10² + 3х10¹ + 4x10°

565,375=5*102+6*101+5*100+3*10-1+7*10-2+5*10-3

Аналогично поступают и в случае двоичной системы, алфавит которой образован всего двумя цифрами: 0 и 1.

Здесь двоичные числа мы обозначили круглыми скобками с индексом 2, чтобы не спутать эти числа с десятичными. Первые две цифры (0 и 1) в двоичной системе вы­глядят так же, как и в десятичной системе, поскольку записываются с помощью одного разряда. При переходе к третьей цифре («двойке») в двоичной системе нужен еще один разряд, так как младший разряд уже заполнен. В новый разряд записываем 1, а в младшем разряде остается 0: (10)₂ = 2. Затем заполняем младший разряд и получаем цифру (11)₂ = 3. Для записи следующей цифры нужно уже открывать новый разряд, поскольку имеющиеся разряды заполнены. Так и делаем: вводим новый разряд, записываем в него 1, а младшие разряды «обнуляем». В результате получаем: (100)₂ = 4. При этом действует принцип, обратный «старшинству»: сначала заполняется младший разряд, а затем - более старший. Когда заполнились все три разряда, открываем новый разряд и так далее. С помощью четырех двоичных разрядов мы сможем записать не только алфавит арабских цифр, но и продвинуться до числа 15, которое имеет вид (1111)₂.

Именно двоичная система была взята за основу при построении вычислительных машин. Связано это с тем, что электронные элементы (триггеры), из которых конструируется вычислительная аппаратура, воспроизводят и распознают лишь два состояния, обозначаемых как 0 и 1.

Зададимся вопросом: сколько чисел можно записать с помощью п битов, то есть с помощью n-разрядных двоичных чисел?

3. Двоичная арифметика

Рассмотрим правила выполнения арифметических действий над двоичными числами. Для сложения и умножения двоичных чисел используются следующие простые таблицы

+	0	1
0	0	1
1	1	10

	0	1
0	0	0
1	0	1

Когда вы складываете 1 +1, происходит перенос единицы в старший разряд, как это бывает с десятичными числами.

4. Преобразование чисел

Для преобразования из двоичной системы в десятичную и обратно используют следующую таблицу

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1.

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1 называется двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичные

1-й способ

Допустим, вам дано двоичное число 110011. Какому числу оно эквивалентно? Чтобы ответить на этот вопрос, прежде всего запишите данное число следующим образом:

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1.
				1	1	0	0	1	1
				32	+16			+2	+1

Затем, начиная с двоичной точки, двигайтесь влево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа. Таким образом, двоичное число 110011 равнозначно 51.

2-й способ

Любое двоичное число, как и десятичное число, можно записывать в виде сумм степеней основания, например,

(110110) ₂ = 1х2⁵ + 1х2⁴ + 0х2³ + 1х2² + 1х2¹ + 0x1=32+16+4+2=(54)₁₀

Этому числу отвечает десятичное число 54. Таким образом, запись числа в двоичной системе существенно длиннее, чем в десятичной системе счисления. Так для числа 54 достаточно всего двух десятичных разрядов, а в двоичной системе меньше чем шестью разрядами не обойтись.

Преобразование десятичных чисел в двоичные

1-й способ

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой:

19 /2 = 9 с остатком 1

9 /2 = 4 с остатком 1

4 /2 = 2 с остатком 0

2 /2 = 1 с остатком 0

1 /2 = 0 с остатком 1

Ставим числа из остатка друг за другом, начиная с конца. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

2-й способ

Например, нам нужно перевести число 28 в двоичное. Можно воспользоваться следующей процедурой:

(28)₁₀=1 х 2⁴ + 1 х 2³ + 1 х 2² + 0 х 2¹ + 0 х 2⁰=(11100)₂