Шуми оптичного каналу
Шуми оптичного каналу мають дві складові: шум дробу, пов’язаний із квантовою природою світла як несучого коливання, і теплий шум. Типове значення шуму дробу складає 25 нА, що дає 625∙10-18 Вт при температурі 298 0 К. Тепловий шум при смузі в 10 Мгц і температурі 2980 К дорівнює 18 нА, що дає 324∙10-18 Вт. Отже загальна потужність шуму дорівнює біля 10-15 Вт.
Приклад
Розрахуємо
потужність шумів
для
точки приймання (на вході антени базової
станції) системи мобільного зв’язку
GSM із частотою 890-960 МГц і шириною смуги
пропускання базової станції
КГц при
температурі 3000
К ≈ 270
С.
Будемо
вважати, що довжина вхідних ланцюгів
цього приймача
= 4 м, а завада є адитивною і потужність
завади на вході приймача:
.
Для цих умов:
при
Дж/К значення потужності теплового
шуму:
Вт
– є знехтувано малим;
значення потужності атмосферного шуму:
=
(0,05∙10-6)2
=
25∙10-16
Вт
(див. рис. 4) – для заданих частот є знехтувано малою;
рівень напруги
індустріальної завади на вході приймача
(див.
рис. 5) дорівнює:
мкВ
=2∙10-6
В,
а значення потужності індустріальної завади
=
(2∙10-6)2
= 4∙10-12
Вт.
Тоді, виходячи із уже відомого стосовно того, що потужність завади є її дисперсією:
(Вт),
а співвідношення сигнал/завада із врахуванням відомостей, одержаних раніше, щодо потужності прийнятого сигналу складе:
-
Д(км)
1
2
4
5
10
Рпр (Вт)
56∙10-12
14∙10-12
3,5∙10-12
2,24∙10-12
0,56∙10-12
h2 = Рпр /Рз
14
3,5
0,875
0,56
0,14
Таким чином, одержані результати надають змогу визначити:
по значенню потужності передавача Рп та величині сумарного ослаблення (загасання) сигналу в середовищі розповсюдження – рівні сигналів (Рпр ) на вході приймального пристрою;
по рівню кожної
із складових завад – їх сумарну потужність
(Рз
) на
вході приймального пристрою та параметри
закону розподілу (щільності
розподілу імовірності миттєвих значень)
– дисперсію
та математичне сподівання
;
співвідношення сигнал/завада (h2).
Це, в свою чергу, дозволяє визначити ймовірності настання тих чи інших подій, наприклад, ймовірності перевищення завадою деякого установленого порогового значення Х0:
.
Характеристики імовірності виявлення сигналу на фоні завад
У задачах виявлення сигналу на фоні завад аналізується реалізація вхідного сигналу
у(t)= s(t)+ п(t),
на предмет наявності або відсутності в ньому корисної складової, яка несе інформацію, де s(t) – корисна складова (сигнал), n(t) – завада.
Позначимо скорочено реалізацію у(t) через у і вважатимемо, що на приймальному боці корисний сигнал вважається наявним, коли рівень вхідного сигналу у(t) перевищує наперед визначений мінімальний рівень чи порогове значення у(t) ≥ Е, а у зв’язку із безальтернативною наявністю завад імовірність відсутності сигналу є імовірністю того, що завада не перевищує цієї ж величини, яка вважається мінімальним рівнем сигналу у(t) < Е.
Отже, сигнал присутній, якщо y(t) ≥ Е, тобто перевищує деякий рівень чи поріг Е, і що сигнал відсутній в протилежному випадку − y(t) < Е.
Причому, знов таки із-за впливу завад, ухвалення будь-якого із цих рішень супроводжується помилками. Помилкова відповідь щодо наявності сигналу в даний момент може бути даною в двох несумісних між собою випадках:
1) коли сигнал відсутній, s(t) = 0, але напруга шуму перевищує пороговий рівень Е (цю помилку називають помилковою тривогою − подія А = “помилкова тривога” − пт);
2) Коли сигнал присутній, s(t) > 0, але сума сигналу і шуму не перевищує порогового рівня y(t) < Е (цю помилку називають помилкою пропуску сигналу − подія Б = “пропуск сигналу” − прп).
Якщо порогове
значення Е
якимось чином визначено, то ймовірність
помилкової тривоги (події А),
тобто апріорну ймовірність перевищення
шумом рівня Е
легко одержати по одновимірній функції
розподілу шуму w(x)
(див. рис. 6), параметри якої (дисперсія
та математичне сподівання
визначені вище):
Одновимірна функція розподілу шуму (x) − w(x)
Аналогічно (див. рис. 7) ймовірність пропуску сигналу − апостеріорну ймовірність не перевищення сумішшю сигнала і шуму рівня Е можна одержати по одновимірній функції розподілу суміші сигналу та шуму w1(x, s):
.
Одновимірні функції розподілу шуму (x) − w(x) та суміші сигналу (s) та шуму w1(x, s)
Отже, ймовірності появи помилок першого (рішення щодо наявності сигналу при його відсутності) і другого (рішення щодо відсутності сигналу при його наявності) типів можна позначити як Pпт і Pпрп. Тоді:
1. Для визначення апостеріорної ймовірність того, що будуть суміщені дві події − відсутність сигналу і перевищення шумом рівня Е (за відсутності сигналу – це ймовірність помилкової тривоги), задамося апріорною ймовірністю q відсутності сигналу.
Тоді апостеріорна ймовірність визначеної сумісної події дорівнює апріорній ймовірності відсутності сигналу, помноженої на апостеріорну ймовірність перевищення рівня Е, за умови, що сигнал відсутній:
Рпт
= P(0)·
=
q·
.
Рпт
=
,
(7)
де Рпт – умовна ймовірність помилкової тривоги;
2. Ймовірність суміщення ще двох подій − присутності сигналу і не перевищення сумарною напругою рівня Е (ймовірність пропуску сигналу) дорівнює:
Pпрп
=
,
(8)
де Pпрп – умовна ймовірність пропуску сигналу;
3. Оскільки
P(s/y)+ P(0/y)= 1,
то умовну ймовірність правильного виявлення можна визначити як:
Рпв
=1
– Pпрп
=
,
(9)
а умовну ймовірність правильного невиявлення:
Pпн
= 1
– Рпт
=
.
(10)