Теплоемкость кристаллов

Расположение частиц в узлах кристаллической решетки отве­чает минимуму их взаимной потенциальной энергии, т.е. частица находится в положении равновесия. При смещении частиц из положения равновесия в любом направлении появляется сила, стремящаяся вернуть частицу в первоначальное положение, вследствие чего возникают колебания частицы. Колебание вдоль произвольного направления можно представить как наложение колебаний вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений. Поэтому каждой частице в кристалле следует приписывать три колебательные степени свободы.

Из молекулярно-кинетической теории известно, что на каждую колебательную степень свободы в среднем приходится энергия, равная kT ( k – постоянная Больцмана). Следовательно, на каждую частицу—атом в атомной ре­шетке, ион в ионной или металлической решетке — приходится в среднем энергия, равная 3kT.

Ограничившись рассмотрением химически простых веществ, образующих атомные или металлические кристаллы, для внутрен­ней энергии моля вещества в кристаллическом состоянии можно написать выражение

,

где - число Авогадро, R – универсальная газовая постоянная.

Приращение внутренней энергии, соответствующее повышению температуры па один кельвин, равно теплоемкости при постоянном объеме. Следовательно,

Поскольку объем твердых тел при нагревании меняется мало, их теплоемкость при постоянном давлении незначительно отличается от теплоемкости при постоянном объеме, так что можно положить и говорить просто о теплоемкости твердого тела.

И, так согласно теплоемкость моля химически простых тел в кристаллическом состоянии одинакова и равна . Это утвер­ждение составляет содержание закона Дюлонга и Пти, установленного опытным путем. Закон выполняется с довольно хорошим приближением для мно­гих веществ при комнатной тем­пературе. Однако, например, ал­маз имеет при комнатной темпе­ратуре теплоемкость, равную всего, примерно 0,7R.

Рис. 1.

Более того, вопреки (1) теплоемкость кристаллов зависит от температуры, причем зависи­мость имеет характер, показан­ный на рис. 1. При достаточно высокой, характерной для каждого вещества температуре начинает выполняться равен­ство (1). У большинства тел это достигается уже при комнатной температуре, у алмаза же теплоемкость достигает значения 3R лишь при температуре порядка 1000°С,

Строгая теория, теплоемкости твердых тел, созданная Эйнштей­ном и Дебаем, учитывает, во-первых, квантование энергии колеба­тельного движения. Во-вторых, теория учитывает, что колебания частиц в кристаллической решетке не являются незави­симыми. Эта теория) находится в хорошем согласии с опытными данными. В частности, для высоких температур она приводит к вы­ражению (1).

Эффект Холла

Если металлическую пластинку, вдоль которой течет постоянный электрический ток, поместить в перпендикулярное к ней магнитное поле, то между гранями, параллельными направлениям тока и по­ля, возникает разность потенциалов (рис. 1). Это явление было обнаружено Холлом в 1879 г. и называется эффек­том Холла или гальваномагнитным явлением.

Холловская разность потенциалов определяется выражением

(1)

Здесь — ширина пластинки, — плотность тока, В — магнит­ная индукция поля, R — коэффициент пропорциональности, полу­чивший название постоянной Холла.

Эффект Холла очень просто объясняется электронной теорией. В отсутствие магнитного поля ток в пластинке обусловливается электрическим полем (рис. 2). Эквипотенциальные, поверхности этого поля. образуют систему перпендикулярных к вектору плоскостей. Две из них изображены на рисунке сплошными прямы­ми линиями. Потенциал во всех точках каждой поверхности, а сле­довательно, и в точках / и 2 одинаков. Носители тока—электроны — имеют отрицательный заряд, поэтому скорость их упорядоченного) движения и направлена противоположно вектору плотности тока .

При включении магнитного поля каждый носитель оказывается под действием магнитной силы F, направленной вдоль стороны Ь пластинки и равной по модулю

(2)

В результате у электронов появляется составляющая скорости, направленная к верхней (на рисунке) грани пластинки. У этой у грани образуется избыток отрицательных, соответственно у нижней грани — избыток положительных зарядов. Следовательно, возникает дополнительное поперечное электрическое поле . Когда напряженность этого поля достигает такого значения, что его действие на заряды будет уравновешивать силу (2), устано­вится стационарное распределение зарядов в поперечном направ­лении. Соответствующее значение определяется условием: . Отсюда

Поле складывается с полем в результирующее поле Е, Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны к вектору на­пряженности поля. Следовательно, они повернутся и займут поло­жение, изображенное на рис. 2 пунктиром. Точки / и 2, которые

прежде лежали на одной и той же эквипотенциальной поверх­ности, теперь имеют разные потенциалы. Чтобы найти напряжение, возникающее между этими точками, нужно умножить расстояние между ними на напряженность Ев.

Выразим и через , п и е в соответствии с формулой . В ре­зультате получим

(3)

Последнее выражение совпадает с (1), если положить

(4)

Из (4) следует, что, измерив постоянную Холла, можно найти концентрацию носителей тока в данном металле (т. е. число носителей в единице объема).

Важной характеристикой вещества является подвижность в нем носителей тока. Подвижностью носителей тока называется средняя скорость, приобретаемая носителями при напряженности электрического поля, равной единице. Если в поле напряженности Е носители приобретают скорость и, то подвижность их равна

(5)

Подвижность можно связать с проводимостью и концентрацией носителей п. Для этого разделим соотношение на напряженность поля Е. Приняв во внимание, что отношение к Е дает , а отношение и к Е— подвижность, получим

(6)

Измерив постоянную Холла и проводимость , можно по формулам (4) и (6) найти концентрацию и подвижность но­сителей тока в соответствующем образце.

Эффект Холла наблюдается не только в металлах, но и в полу­проводниках, причем по знаку эффекта можно судить о принадлеж­ности полупроводника к п- или р-типу. На рис. 3 сопоставлен

эффект Холла для образцов с положительными и отрицательными носителями. Направление магнитной силы изменяется на противоположное как при изменении направления движения заряда, так) и при изменении его знака. Следовательно, при одинаковом направлении тока и поля магнитная сила, действующая на положительные и отрицательные носители, имеет одинаковое направление. Поэтому в случае положительных носителей потенциал верхней (на рисунке) грани выше, чем нижней, а в случае отрицательных носителей—ниже. Таким образом, определив знак холловской разности потенциалов, можно установить знак носителей тока.

Любопытно, что у некоторых металлов знак соответствует положительным носителям тока. Объяснение этой аномалии дает квантовая теория.