1smol_yakov_e_r_metody_resheniya_konfliktnykh_zadach-1
.pdfПример 1.5. Рассмотрим антагонистическую игру на множестве G, представляющем собой треугольник OXY O на плоскости (q1, q2) с координатами его вершин O(0, 0), X(1, 1), Y (−1, 1), изображенный на рис. 1.2 (в ле-
вой системе координат), в которой 1-й игрок максимизирует функцию J1 = −(q1 − q2)2, а 2-й максимизирует функцию J2 = (q1 − q2)2. Поскольку пла- т¼жные функции участников отличаются только знаком, то, учитывая, что минимум произвольной функции (−J) достигается в той же точке, что и мак-
симум фукнкции J, удобнее принять, что 1-й игрок минимизирует функцию J = (q1 − q2)2, которую 2-й игрок максимизирует. В подобном случае игра называется антагонистической и оказывается более простой за сч¼т того, что в ней всего одна плат¼жная функция J, а следовательно, множества A1 è A2 не требуется переносить на плат¼жные функции конкурента при поиске множеств B1 è B2, так что оба эти множества ищутся на одной и той же плат¼жной функции J. Требуется только постоянно помнить, что 1-й игрок минимизирует, а 2-й максимизирует J.
q1
6
1 |
|
|
|
|
|
X |
||
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
qˆ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
O |
|
qr |
|
1- |
q2 |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
@ |
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z @ |
@ |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
@ |
|
|
|
||
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
||
|
|
Ðèñ 1.2. |
|
|
|
Аналитический поиск равновесий удобнее проводить, непосредственно пользуясь определениями этих равновесий. Наибольшие трудности всегда достав-
ляет поиск множеств A1 è A2. Начн¼м с поиска множества A2, поскольку оно находится гораздо проще, чем множество A1. Чтобы поиск был эффективен, необходимо сначала на множество G наложить сетку линий уровня плат¼жной функции, т.е. построить семейство кривых J = (q1 − q2)2 = const. Извлекая корень из этого равенства, получаем линии уровня (q1 − q2) = const, так что прямая OX является линией уровня, наиболее выгодной для 1-го игрока и одновременно наиболее невыгодной для 2-го. Таким образом, если
51
задана некоторая ситуация q G, то 2-й игрок может е¼ улучшить, если (при фиксированной стратегии противника q1) переместится вправо (полу- чая максимально возможный выигрыш, если перемещается на линию XY .) Но, в какую бы ситуацию q (правее q 2-й игрок ни переш¼л, у 1-го всегда имеется возможность наказать 2-го, сместившись из ситуации q (при фиксированной стратегии q2) вверх до линии OX, т.е. переведя игру в состояние, когда J = 0. Таким образом, 2-й игрок не в состоянии улучшить ни одной своей исходной ситуации, поскольку 1-й игрок всегда перевед¼т игру на линию OX. Это означает, что множество A2-экстремальных ситуаций совпадает со множеством G.
Поиск множества A1 значительно более трудо¼мок. Очевидно, любую ситуацию на множестве G вблизи точки Y 1-й игрок может безнаказанно улуч- шить и 2-й игрок не в состоянии помешать ему это сделать, поскольку при переходе 1-го игрока из подобной точки на линию OX у 2-го игрока с целью наказания 1-го имеется только возможность перевести игру в точку на линии XY . Однако от этой точки до линии OX расстояние значительно меньшее, чем от исходной точки в окрестности точки Y до этой же линии нулевого уровня. Следовательно, любые точки в окрестности точки Y могут быть улучшены для 1-го игрока, а следовательно, некоторое подмножество множества G в окрестности точки Y не принадлежит множеству A1. В то же время легко убедиться аналогичным образом, что любые точки вблизи линии OX
не могут быть улучшены для 1-го игрока. Следовательно, существует линия, разделяющая эти две области. Чтобы е¼ найти, поступим следующим образом. Разделяющая линия характеризуется тем, что на ней неравенство (1.1) обращается в равенство. Пусть неизвестная нам точка q на рис. 1.2 принад-
лежит участку границы множества A1, разделяющему указанные области. 1-й игрок пытается улучшить е¼, перейдя из не¼ в точку q (отмеченную на
рис. 1.2), а 2-й, в ответ, переводит игру в ситуацию qˆ, в которой (q1 − q2)2 = (ˆq1 − qˆ2)2, так как точки q è qˆ должны находиться на линии одного и
того же уровня функции J = const. Таким образом, мы нашли первое из некоторой системы уравнений, которая позволит нам найти три точки q , q è qˆ. Поскольку неизвестны три точки, т.е. шесть координат, то, следователь-
но, необходимо располагать пятью уравнениями, из которых можно было бы найти зависимость между координатами q1 è q2, которая как раз и являлась
бы уравнением разыскиваемой нами границы множества A1. Второе уравне- ние мы получим, замечая, что из сравнения пары ситуаций q è q íà ðèñ. 1.2 следует, что q2 = q2. Третье уравнение получаем аналогичным образом,
52
сравнивая точки q è qˆ: q1 = qˆ1. Замечая, что точка q лежит на прямой OX, определяемой уравнением q1 = q2, получаем четв¼ртое уравнение, а замечая, что точка qˆ лежит на прямой XY , задаваемой уравнением qˆ2 = 1, получа-
ем пятое уравнение. Из этой системы пяти уравнений получаем уравнение q1 = 2q2 −1 прямой XZ, задающей границу множества A1 внутри множества
G.
Таким образом, находим, что множество A1 совпадает с треугольником OXZO вместе с его границами. Поскольку A2 = G, òî A = A1. Находить более сильные равновесия значительно проще. Множество B1 представляет собой геометрическое место точек, в которых функция J, рассматриваемая как функция координаты q2 (при любом фиксированном значении q1), äî- стигает максимума в сечениях A1(q). Нетрудно заметить, что множество B1 совпадает с отрезком XZ. Òàê êàê A2 = G, а минимум функции J по координате q1 (при всех фиксированных значениях q2) достигается на отрезке OX, то получаем B2 = OX. Отсюда следует, что B = B1 ∩ B2 = X. Далее, имеем
¯ |
¯ |
¯ |
= X, C2 |
= OX, C = X, D1 = X, D2 = OX, |
D1 |
= X, D2 |
= OX, D = X, C1 |
D = X. Заметим, что ситуация X оказывается также и равновесием по Нэшу.
Следующая игровая задача является гораздо более сложной и поэтому мы привед¼м лишь частичное е¼ решение.
Пример. 1.6. Рассмотрим конфликтную задачу с двумя участниками, в которой не существует классического равновесия по Роусу Нэшу в чистых стратегиях.
Пусть 1-й игрок, выбирающий свою чистую стратегию q1 из множества [-1,1], стремится обеспечить максимум функции
f1(q1, q2) = q1(q1 − q2),
а 2-й игрок выбором чистой стратегии q2 из множества [-1,1] максимизирует функцию
f2(q1, q2) = q2(q1 − q2).
Игра происходит на множестве G, представляющем собой квадрат P NMLQKHF ERP , изображ¼нный на рис. 1.3, прич¼м предполагается, что
она разыгрывается один или несколько раз, а следовательно, искать в ней смешанные (вероятностные) стратегии не имеет смысла, так как случайный выбор стратегий игроками в одной или нескольких партиях вполне может привести к самому нежелательному для участников результату. А поиск решения в чистых стратегиях следует проводить, используя введ¼нные выше базовые понятия равновесий.
53
u2
L |
6Q |
K |
H
M -F u1O
N
P R E
Ðèñ. 1.3
Поскольку семейства уровней функций fi(q1, q2) = const íà G оказываются довольно сложными, то поиск всех равновесий в этой игре довольно затруднителен и теряет свою наглядность. Вследствие этого мы ограничимся только частными результатами.
На рис. 1.3 множество ситуаций A1 представляет собой объединение трапеций LQOP è KERO, а множество A2 объединение треугольников KOF è MOP . Множество ситуаций A-равновесия совпадает со множеством A2. Íà этом множестве 0 ≤ f1 ≤ 1, 0 ≤ f2 ≤ 1/4. Множество равновесий по Роусу
Нэшу пусто, а вот подобное ему множество ˆ1-равновесий состоит из двух
C
ситуаций, N è H, в которых 1-й игрок получает f1 = 1/2, à 2-é f2 = 1/4. Учи- тывая вышеуказанные множества значений плат¼жных функций игроков на
множестве A, их выигрыш в равновесных ситуациях N è H представляется
весьма хорошим.
Привед¼м пример ещ¼ одной задачи подобной же сложности, чтобы продемонстрировать, что аналитический поиск равновесий в конфликтных задачах даже всего лишь на плоскости оказывается весьма трудо¼мким.
Пример 1.7. Найдем наиболее сильные равновесия в игровой задаче с двумя участниками с платежными функциями J1 = q1(q1 − q2) è J2 = q2(q1 − q2), каждый из которых стремится обеспечить максимум своей платежной функции на множестве
G = {(q1, q2) : 1 ≥ |q2| ≥ 1/2, |q2| ≥ |q1|},
представляющем собой пару трапеций, зеркально отображ¼нных относитель- íî îñè q1 íà ðèñ. 1.4.
Прежде всего найд¼м множество A-равновесных ситуаций (см. рис. 1.4):
A1 = MF HL EK M0F 0H0L0 E0K0,
A2 = ENSHLKE EH E0N0S0H0L0K0E0 E0H0,
A = A1 ∩ A2 = SHL EK F H S0H0L0 E0K0 F 0K0,
54
q2
F' |
|
|
|
|
6M' |
N' |
|
E' |
|||
@ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
@ |
|
|
|
S' |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
W' |
|
|
|
|
T' |
|
|
|
|
|
|
I@ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H' |
|
|
L' |
K' |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
q1 |
|
|
|
K |
|
|
L |
-H |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|||||
|
|
|
R@ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
T |
|
|
@ |
|
|
||
|
|
S |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
E |
N |
|
|
M |
|
|
F |
Ðèñ. 1.4.
где кривые NSH è N0S0H0 определяются уравнением J2 = −0, 5 и на рис. 1.4 схематически изображены отрезками прямых.
Множество точных B-равновесий в этой задаче пусто:
B1 = EK [LH) E0K0 [L0H0), B2 = F H F 0H0, B = B1 ∩ B2 = .
Однако в ε-аппроксимации множество B не пусто и задается ε- окрестностью точек H è H0, в то время как равновесие по Роусу Нэшу не существует ни в какой аппроксимации. С точки зрения практических приложений, опирающихся, как правило, на численные методы решения, ε- аппроксимации вполне достаточно. Заметим, что B1-равновесия на первой
итерации уда¼тся найти уже в точном виде (без каких-либо аппроксимаций) и задаются они отрезками [HW ) è [H0W 0), подтверждающими, что наисильней-
шими равновесиями в этой игре действительно оказываются ситуации H è H0, оказавшиеся на нулевой итерации B-равновесными лишь в ε-аппроксимации.
Пример 1.8. Рассмотрим игру с двумя участниками, в которой 1-й игрок выбором стратегии (точки) q1, а 2-й игрок выбором стратегии (точки) q2 стремится максимизировать свою платежную функцию:
|
( J12 |
= −2q1 |
+ 3q2 |
+ 4, |
åñëè |
q1 |
≤ q2 |
, |
|
J1(q1, q2) = |
J11 |
= 2q1 − q2 |
+ 4, |
åñëè |
q1 |
≥ q2 |
, |
||
|
( J22 |
= q1 − 2q2 |
+ 3, |
åñëè |
q1 |
≤ q2 |
, |
||
J2(q1, q2) = |
J21 |
= −3q1 |
+ 2q2 |
+ 3, |
åñëè |
q1 |
≥ q2 |
, |
причем выбранная игроками пара стратегий (q1, q2) должна принадлежать множеству (рис. 1.5):
G = {(q1, q2) : q1 = 1 ïðè q2 [0; 0, 1] |
è q2 [0, 9; 1]; |
q2 = 0 è q2 = 1 ïðè q1 [0; |
0, 1]}. |
55
q1
|
|
|
|
P |
6 |
|
|
|
M |
L |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
J |
|
=6 |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
J21 |
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
=5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
J |
|
|
|
|
J12=5 J22=2 |
J2 =1 |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
2 =2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J1 =7 |
||
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
K |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
q2 |
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
H |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 1.5 |
|
|
|
|
|
Найдем все равновесия в этой игре (рис. 1.5):
A1 = HK P N ML, A2 = EF HK L, A = HK L,
B1 = HK L, B2 = F H, B = H,
C1 = D1 = L, C2 = D2 = H, C = D = ,
¯ |
¯ |
¯ |
D1 |
= H, D2 |
= F, D = , |
D10 = H, D20 = H, D0 = H.
Таким образом, единственным наисильнейшим равновесием в этой игре является D0-равновесная ситуация H
2. Несимметричные базовые равновесия
Введенных выше понятий симметричных базовых равновесий, как показывает практика, оказывается все же недостаточно для того, чтобы в любой игровой задаче (некооперативной игре или задаче принятия или отказа игроков от сделанного им предложения) найти единственное решение. Приблизить эту цель в ряде случаев помогают введенные в этом разделе понятия несимметричных равновесий, каждое из которых является некоторым расширением аналогичных им понятий симметричного равновесия, рассмотренных в первом разделе. Определение наиболее слабого несимметричного An-равновесия, обобщающего понятие A-равновесия, опирается на понятие
Ai-экстремальности, даваемое определением 1.1.
Для определения (несимметричного) An-равновесия нам потребуется сна-
чала выделить на Ai-ом множестве (i = 1, 2) наихудшую для i-го игрока
ситуацию, т.е. вычислить величину |
min |
4 |
, |
|
. |
||||
|
|
|
|
Ji |
|
(Ai) = inf Ji(q) |
|
i = 1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
q Ai |
|
, |
|
Определение 2.1. Ai-экстремальную ситуацию q |
|
i = 1, 2, назовем |
|||||||
An-равновесием, если J |
(q ) |
≥ |
Jmin(A |
), j = i. |
|
|
|
||
j |
|
j |
j |
|
6 |
|
|
|
С точки зрения любых приложений множество всех несимметричных An- равновесий целесообразно задавать в виде суммы An = An1 An2 , где через
56
Ani обозначено подмножество множества An-равновесий, задаваемое опреде- лением 2.1 при фиксированном i.
Согласно определению 2.1 каждая ситуация из множества Ani - несимметричных равновесий устойчива к отклонениям от нее i-го игрока в
смысле определения Ai-экстремальных ситуаций (определение 1.1), т.е. на любое отклонение i-го игрока от этой ситуации у другого игрока найдется стратегия наказания, обеспечивающая неравенство (1.1). В то же время для j-го игрока (j 6= i) эта ситуация относительно выгодна в том смысле, что в ней он получает не меньше, чем в самой худшей для него ситуации из множества Aj, от которой он отклониться не пожелал бы вследствие нали- чия угроз (согласно определению 1.1) со стороны i-го игрока. В указанном
Ani , i = 1, 2, оказывается устойчивой к отклонениям от нее любого игрока, а объединение этих множеств дает множество An всех несимметричных An-равновесий.
Множество An-равновесных ситуаций никогда не бывает пустым, как это
показывается в следующей теореме, а следовательно, это множество может рассматриваться как множество наислабейших всегда существующих равновесий, что позволяет строить на его основе понятия более сильных равновесий и при этом не интересоваться тем, когда эти более сильные равновесия существуют.
Теорема 2.1.В любой игровой задаче существует An-равновесие с любой заданной точностью ε.
Эта теорема по существу является следствием теоремы 1.2, если учесть, что, согласно нижеследующему предложению 2.1, множество всех
An-равновесий не меньше (а следовательно, не |
сильнее) |
множества A- |
|||||||
равновесий. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предложение 2.1. Åñëè |
q A1 |
∩ A2 |
4 |
, òî |
n |
|
n |
4 |
n. |
|
= A |
|
q A1 |
A2 |
= A |
|
Доказательство. Действительно, если q A, то, очевидно, значения
функционалов Ji в точке q удовлетворяют неравенствам Ji(q ) ≥ Jimin(Ai), i = 1, 2. А следовательно, q Ani даже при любом i, хотя для включения q An достаточно, чтобы ситуация q содержалась хотя бы в одном из
множеств Ani .
Для приложений An-равновесие едва ли представляет интерес, так как более сильное A-равновесие никогда не пусто и выделяет на множестве G подмножество G \ A, не представляющее интереса для всех игроков с точки зрения A-равновесий вследствие того, что для любой ситуации q G\A íàé-
57
дется хотя бы один игрок, который может уйти из этой ситуации, улучшив значение своей платежной функции, и остальные ему не в силах помешать это сделать. Однако представляют практический интерес такие более силь- íûå (÷åì An) несимметричные равновесия (построенные по той же методике,
÷òî è An-равновесие), соответствующие которым симметричные равновесия оказываются пустыми. Первое усиление An-равновесия дается следующим
определением.
Определение 2.2. Ситуацию q Bi, i = 1, 2, назовем Bn-равновесной,
åñëè |
|
(q ) |
≥ |
|
min |
|
|
, |
|
, ãäå |
|
min |
|
4 |
|
|
|
, |
. |
|
|
J |
J |
|
(B |
) |
|
j = i |
|
J |
|
(B |
) = inf J |
(q) |
i = 1, 2 |
|
|||||
|
j |
|
|
j |
j |
|
|
6 |
|
|
i |
i |
|
q |
|
Bi i |
|
|
- |
|
Êàê |
и в случае определения |
2.1 |
удобно |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
представлять множество Bn |
|
экстремальных ситуаций в виде суммы Bn =B1n B2n.
Предложение 2.2.Множество Bn является подмножеством множе-
ñòâà An. |
|
|
4 n |
|
|
4 |
Доказательство. Согласно определениям 2.1 и 2.2 |
A |
n |
n |
n |
||
|
|
= A1 |
A2 è B |
|
= |
B1n B2n, а следовательно, достаточно показать, что Bkn Ank при любом k = 1, 2. Пусть q Bkn, а следовательно, Ji(q ) ≥ Jimin(Bi) äëÿ i 6= k. Поскольку
согласно определению 1.2 Bk Ak при любом k = 1, 2, то следствием этих
включений являются неравенства Jkmin(Bk) ≥ Jkmin(Ak), k = 1, 2. Но тогда тем более выполняются неравенства Ji(q ) ≥ Jimin(Ai), i = 1, 2
Одним из усилений Bn-равновесия является нижеследующее Cn-
равновесие.
Определение 2.3. Ситуацию q Ci, i = 1, 2, назовем Cn-равновесной,
åñëè |
|
(q ) |
≥ |
|
min |
|
|
, |
|
|
, ãäå |
|
min |
|
4 |
|
, |
. |
|
J |
J |
j |
(C |
) |
|
j = i |
|
J |
i |
(C |
) = inf J |
(q) |
|
i = 1, 2 |
|||
|
j |
|
|
j |
|
|
6 |
|
|
|
i |
q Ci i |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нижеследующее ¯ n- |
|
Другим |
усилением |
B |
n-равновесия |
является |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
равновесие.
¯ ¯ n-равновесной, Определение 2.4. Ситуацию q Di, i = 1, 2, назовем D
åñëè |
|
(q ) |
≥ |
|
min |
¯ |
|
|
, |
|
, ãäå |
|
min |
¯ |
|
4 |
|
|
, |
|
. |
|
J |
J |
|
(D |
) |
|
j = i |
|
J |
|
(D |
) = inf J |
(q) |
|
i = 1, 2 |
|
|||||
|
j |
|
|
j |
|
j |
|
|
6 |
|
|
i |
|
i |
q D¯i |
i |
|
|
|
|
По аналогии с определениями 2.1 2.4 определяются несимметричные ана- ëîãè D- è D0-равновесий. Прич¼м наибольший интерес представляют наи-
сильнейшие несимметричные равновесия, симметричные аналоги которых пусты.
В любой задаче желательно нахождение единственного наисильнейшего из существующих симметричного равновесия. В случае, если наисильнейшее из существующих симметричных равновесий не единственно, следует искать также и все непустые несимметричные равновесия (каждое из которых не меньше соответствующего ему симметричного) и применять итерационную
58
схему генерирования новых понятий равновесия, даваемую теоремой 1.7. Однако, если все это не позволяет выделить единственное наисильнейшее равновесие, то это означает, что известная базовая система равновесий даже с помощью итерационной схемы генерирования новых понятий равновесия недостаточна для нахождения единственного решения или же то, что задача обладает какой-то симметрией, при которой неединственность решения оказывается естественным внутренним свойством этой задачи. На следующих примерах показывается, как можно с помощью всех перечисленных способов выделения единственного наисильнейшего равновесия (всех известных понятий симметричных и несимметричных равновесий и с помощью итерационной схемы построения новых понятий равновесия) найти в игровой задаче единственное наисильнейшее равновесие (решение).
Пример 2.1. Рассмотрим некооперативную игру с двумя участниками, каждый из которых максимизирует свою (матричную) платежную функцию
|
|
1 |
5 |
11 |
4 |
|
|
|
|
7 |
12 |
3 |
10 |
|
J1(q1, q2) = |
|
3· |
·· |
· |
12 |
|
, |
J2(q1, q2) = |
|
9· |
·· |
· |
6 |
. |
|
|
8 |
10 6 |
2 |
|
|
|
|
2 |
5 11 |
8 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оба игрока располагают четырьмя стратегиями: первый игрок выбирает одну из четырех строк, а 2-й один из четырех столбцов. Игровое множество
G в этой задаче состоит из тех 12 ситуаций aij в вышеприведенных матри- цах, в элементах которых вписаны значения платежных функций. Сначала найдем множества A1, A2 и их пересечение:
|
|
· |
+ + + |
|
|
|
+ + |
+· |
+· |
|
|
· |
+ |
+· |
+· |
|
|||||
|
|
|
|
|
+ + |
|
|
|
|
|
|
|
|
+· |
|
|
. |
||||
A1 |
= |
+· |
·· |
· + |
, A2 |
= |
+· |
·· |
· |
+ |
, A = |
·· |
· |
+ |
|||||||
|
|
|
+ + + |
|
|
|
|
|
|
+ + + |
|
|
|
+ + |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
· |
|
|
· |
|
Затем определяем наисильнейшее из существующих симметричное равновесие, поскольку, как правило, именно симметричные равновесия представляют наибольший интерес. С этой целью находим все базовые симметричные
59
равновесия:
B1 = (a12, a24, a31, a43), B2 = (a31, a42, a23, a34), B = (a31); C1 = (a12, a24, a31, a43), C2 = (a23, a34, a42), C = ;
D1 = (a43), |
D2 = (a34), |
D = , |
|||||
D0 = (a |
43 |
), |
D0 = (a |
31 |
), |
D0 = |
|
¯1 |
|
¯2 |
|
¯ |
|||
D1 = (a43), |
D2 = (a31), |
D = |
. |
B-равновесие (наиболее сильное из непустых равновесий) указало предва-
рительно на единственную равновесную ситуацию a31. Однако, поскольку B- равновесие довольно слабое, то следует искать и другие равновесия. Прежде чем искать итерации этой игры с помощью теоремы 1.7, посмотрим, в какой мере полезным окажется использование несимметричных равновесий.
Так как несимметричные равновесия включают в себя аналогичные им симметричные, то искать несимметричные равновесия для тех типов равновесий, которые являются непустыми, не имеет практического значения, а
искать их целесообразно только в отношении пустых наиболее сильных рав-
¯ 0-равновесий. Получаем: новесий, т.е. в данном случае для D-, D- D
J1min(D1) = 6, J2min(D2) = 6; |
|
|
|
||||
Dn = (a43), Dn = (a34), Dn = Dn |
Dn = (a34, a43); |
||||||
J1min(D10 ) = J1min(D¯ |
1) = 6, J2min(DS20 ) = J2min(D¯ |
2) = 9, |
|||||
1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
0n |
0n |
, D |
0n |
¯ n |
= (a43). |
|
|
D1 |
= (a43), D2 = |
|
= D |
|
Таким образом, несимметричные равновесия указывают на наиболее сильную равновесную ситуацию a43.
Обратимся теперь к помощи теоремы 1.7. Для этого необходимо рассмотреть новую игру, в которой множество G заменяется на множество A. Подоб-
ный подход (с целью получения наиболее сильного и наиболее приемлемого равновесия в исходной игре) вполне законен, если учесть, что, какова бы ни была ситуация из множества G \ A, всегда найдется игрок, который может
ее улучшить для себя, и остальные игроки не в состоянии помешать ему это сделать. А следовательно, наиболее сильные и одновременно наивыгодней-
шие ситуации в игре игрокам следует искать именно на множестве A. Так что рассмотрим дополнительно новую игру, определенную на множестве A,
называя ее первой итерацией исходной игры.
Поскольку в играх с двумя участниками в первой итерации исходной игры каждое из множеств симметричных базовых равновесий, более сильных,
÷åì A-равновесие, оказывается не уже, чем аналогичное им множество равновесий в исходной игре на множестве G, то можно ожидать, что какие-то из
60