Sem_razmyshleniy_na_temy_filosofii_matematiki_pdf
.pdfне следует ни за каким натуральным числом, и т. д.». Та ким образом, они опираются на понятия ‘ноль’ и ‘следо вать за’ (имеется в виду непосредственное следование). Но они не разъясняют, да и не могут разъяснить, что означают эти понятия (т. е. что такое ‘ноль’ и что такое ‘следовать за’), а лишь указывают связи между ними. Причём аксиомы сформулированы таким образом, что если ноль этих аксиом — это обычный Ноль1Натураль ного Ряда, а «следование за» означает непосредственное следование одного числа за другим в Натуральном Ряду (так что за Нолём следует Единица, за Единицей —- Двой ка и т. д.), то все эти связи будут выполнены в Натураль ном Ряду. Иными словами, аксиомы Пеано оказываются верными, истинными утверждениями при естественной их интерпретации на Натуральном Ряду. Но они, разуме ется, будут верны не только на Натуральном Ряду, но и на всякой структуре, изоморфной2 Натуральному Ряду. На пример, если интерпретировать встречающийся в аксио мах Пеано термин «ноль» как наименьшее простое чис ло, а термин «следовать за» — как переход от одного про стого числа к ближайшему за ним следующему, то при такой интерпретации все аксиомы Пеано окажутся вер
1 Названия Членов Натурального Ряда — Ноль, Один (Едини ца), Два (Двойка) и т. д. — мы пишем с прописной буквы, чтобы подчеркнуть уникальность, т. е. абсолютную единственность, этих членов. Слова «Ноль», «Один» (или «Единица»), «Два» (или «Двойка») и т. д. — собственные имена в абсолютном смысле (та кие, как слова «Солнце», «Луна», «Земля»), у каждого из них един ственное значение — количество элементов пустого, одноэлемент ного, двухэлементного и т. д. множества. А «ноль» аксиом Пеано является именем собственным лишь относительно, в пределах дан ного контекста, а точнее, в контексте той структуры, которая опи сывается этими аксиомами. Таких структур много, и в каждой из них свой ноль.
2 По поводу понятий «изоморфизм», «изоморфный» мы отсы лаем читателей ко второй из двух статей «Изоморфизм» в 3-м из дании Большой Советской Энциклопедии [14].
401
ными. Выходит, они, эти аксиомы, не дают даже воз можности отличить Натуральный Ряд от совокупности всех простых чисел. Повторяю, они на это и не претенду ют. Они претендуют на то, чтобы, как говорят, «опреде лить Натуральный Ряд с точностью до изоморфизма»1. Более точно это означает, что аксиомы Пеано определяют не одну, а сразу много математических структур, причём все эти структуры изоморфны Натуральному Ряду и, сле довательно, изоморфны между собой. Ещё более точно, аксиомы Пеано определяют весь класс таких структур. Любую такую структуру будем называть натуральным рядом (с маленькой, или строчной, буквы!). Таким обра зом, Натуральный Ряд есть один из натуральных рядов.
Говоря коротко, изоморфизм двух математических структур — это взаимно-однозначное соответствие между совокупностями элементов первой структуры и второй структуры, сохраняющее определённые на этих структурах операции и отношения. В нашем при мере изоморфизм между структурой N (Натуральный Ряд с операцией «следовать за») и структурой Р (про стые числа с операцией «следовать за») задаёт беско нечная таблица
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 ... |
2 |
3 |
5 |
7 |
11 |
13 |
17 ... |
Операция «следовать за» при этом соответствии дей ствительно сохраняется: 6 следует за 5, и одновременно
1 Хотя обычно говорят «с точностью до изоморфизма», возмож но, более правильным было бы говорить «с точностью до изомор фии». Дело в том, что изоморфизм — это математический объект, а именно такое соответствие между двумя структурами, которое сохраняет свойства этих структур (несколько более точно — сохра няет характерные для этих структур отношения и операции). Изо морфия же двух структур означает факт существования изоморфиз ма между ними.
402
17 следует за 13, и вообщеу следует зах в верхнем ряду тогда и только тогда, когда соответствующие им члены нижнего рядар у ир х (именно в этом порядке!) следуют один за другим (следуют всмысле, определённом для Р).
Иногда говорят, что Натуральный Ряд — это есть ряд
ноль, один, два, три, ..., сто двадцать шесть, ...
(его членами являются выражения, составленные из русских букв и пробелов между словами); или ряд
0, 1, 2, 3, . . . , 126, . . .
(его членами являются выражения, составленные из арабских цифр); или ряд
0 , 1, I I ,..., CXXVI,...
(его членами являются выражения, составленные из римских цифр с добавлением придуманного нами сим вола 0 — «римский ноль»1).
Разумеется, любой из этих рядов не есть Натуральный Ряд (который состоит из абстрактных количественных категорий и не может быть изображён), а есть всего лишь ряд имён, обозначений для его членов, т. е. для натураль ных чисел. Вместе с тем каждый из этих рядов имён мо жет рассматриваться как один из натуральных рядов с ма ленькой буквы.
Ситуация с Натуральным Рядом имеет универсаль ный характер. Аналогичным образом обстоит, например, дело с тем трёхмерным евклидовым пространством,
' Не отсутствием ли «римского ноля» в традиционном наборе символов объясняется упорное исключение ноля из натурального ряда? Короче говоря, не находимся ли мы в этом вопросе в плену у латыни?
403
в котором мы живём. Отвлечёмся от того, что мы, скорее всего, живём в неевклидовом пространстве, да и вообще живём в пространстве не математическом, а физиче ском1, а это разные вещи. Вообразим, отвлекаясь от ре альности, что мы живём в совершенно конкретном трёх мерном Евклидовом Пространстве (мы опять употребля ем прописные буквы, чтобы подчеркнуть уникальность этого пространства). Конечно, его нельзя определить ни каким числом аксиом, а можно только «указать паль цем». С другой стороны, существуют многочисленные системы аксиом (наиболее известная из них принадле жит Гильберту [3]), определяющих это пространство «с точностью до изоморфизма». Взятое в кавычки выраже ние означает, что система аксиом определяет целый класс изоморфных между собой пространств, а наше «реальное» Евклидово Пространство — одно из них.
Вообще, никакая система математических аксиом ни когда не определяет какую-либо структуру однозначным образом, в лучшем случае — с точностью до изоморфиз ма. (Мы говорим «в лучшем случае», поскольку бывают
ивесьма важные системы аксиом, определяющие класс неизоморфных структур. Например, аксиомы теории групп определяют математические структуры, называе мые группами, но не все они изоморфны между собой.)
Подведём итоги. Определить аксиоматически Нату ральный Ряд невозможно. Можно пытаться определить аксиоматически понятие натурального ряда, т. е. поня тие произвольной структуры, изоморфной Натурально му Ряду. Обсуждению этих попыток мы посвящаем наше следующее размышление.
1Заметим в связи с этим, что «физический» Натуральный Ряд, скорее всего, отличается от своей математической модели — «ма тематического» Натурального Ряда. См. по этому поводу глубокую
инедостаточно оценённую статью П. К. Рашевского [16], вошед
шую в настоящее издание как приложение II (см. с. 537-547).
404
4. Можно ли аксиоматически определить понятие натурального ряда
(со строчной буквы)?
Итак, приступим к попыткам определить аксиомати чески понятие натурального ряда — структуры, изо морфной Натуральному Ряду. Как только произносится слово «изоморфизм», тем самым предполагается, что указано, какие отношения и операции должны сохра няться при этом изоморфизме. Следовательно, мы долж ны прежде всего точно указать, какие отношения и опе рации мы желаем рассматривать на Натуральном Ряду и изоморфных ему натуральных рядах. В число этих операций могут быть включены нольместные операции (т. е. индивидные константы; например, индивидную константу «ноль» можно рассматривать как нольместную операцию) и одноместные отношения (т. е. свой ства). Указание этих выделенных операций и отношений в значительной мере произвольно. Например, можно рассматривать Натуральный Ряд (а значит, и любой изо морфный ему натуральный ряд): 1) как структуру лишь с отношением порядка «<», или 2) как структуру с выде ленным элементом «ноль» и операцией «переход к сле дующему», или 3) как структуру, в шторой помимо уже названных отношений и операций выделены ещё опера ции сложения и умножения.
Для наших целей нагляднее всего не задавать ника ких операций, а задать лишь отношение порядка «<» . Итак, мы рассматриваем каждый натуральный ряд как множество, на котором определено бинарное отношение порядка «<» . Именно свойства такой математической структуры мы и будем исследовать.
Перейдём к перечислению этих свойств. Каждое свойство отношения «<» в произвольном натуральном ряду должно (в силу наличия изоморфизма) иметь место
405
и в обычном Натуральном Ряду, когда отношение «<» понимается как обычное отношение порядка между на туральными числами. После этого замечания сформули руем несколько таких свойств.
1. Отношение «<» транзитивно. В символах:
VxVyVz(x < у Л у < z =>х < z).
2. Отношение «<» антирефлексивно. В символах:
Vx—|(х<х).
3. Отношение «<» связно. В символах:
VxVy(x < у V у < х V х =у).
Эти три свойства в своей совокупности утверждают просто-напросто, что «<» есть отношение строгого ли нейного порядка.
Прежде чем двигаться дальше, остановимся и задума емся: а зачем, собственно, мы перечисляем эти свойства? А вот зачем. Мы надеемся, что, перечислив некоторое число свойств, мы сумеем дать аксиоматическое определе ние натурального ряда. Более подробно наш план таков. Сперва мы выписываем некоторое число характерных для Натурального Ряда свойств. Затем мы объявляем эти свой ства аксиомами и определяем натуральный ряд как произ вольную математическую структуру, удовлетворяющую выписанным аксиомам. Мы не претендуем на то, что ров но одно определённое множество с заданным на нём би нарным отношением «<» будет удовлетворять нашим ак сиомам (такая претензия была бы совершенно нереальна), но претендуем на то, что все такие множества (с задан ным на них отношением) окажутся изоморфными между собой. А поскольку наши аксиомы будут выполняться на
406
Натуральном Ряду (так мы будем выбирать аксиомы), то Натуральный Ряд будет одной из попарно изоморфных структур, удовлетворяющих аксиомам, и значит, все эти изоморфные между собой структуры будут изоморфны и Натуральному Ряду. Если нам удастся достичь изложен ной только что цели, мы и будем считать, что сумели ак сиоматически определить натуральный ряд.
Можем ли мы, имея в виду поставленную цель, до вольствоваться тремя выписанными свойствами — акси омами? Разумеется, нет. Этим аксиомам удовлетворяют все линейно упорядоченные множества, среди которых много неизоморфных и, следовательно, заведомо неизо морфных Натуральному Ряду N. Например, множество R всех действительных чисел с обычным отношением по рядка будет удовлетворять выписанным трём аксиомам. Наблюдая совместно N и R, мы замечаем, что N имеет по крайней мере два свойства, которых нет в R. Вот они.
4. В N есть наименьший элемент. В символах:
3 xVy(x=y V х < у ) .
5. В N за каждым элементом х непосредственно сле дует некоторый у. («Непосредственно» — это значит, что между х и у нет третьего элемента.) В символах:
Vx3y(x <уЛ —I3z(x < zAz <у)).
Эти пять аксиом уже значительно сужают круг удо влетворяющих им линейно упорядоченных множеств. Этим аксиомам удовлетворяет Натуральный Ряд, а так же, например, такое множество действительных чисел (рассматриваемое с обычным порядком):
n i l |
3 |
4 |
5 |
6 |
‘ |
к } |
V |
V 4’ |
5’ |
6 ’ |
7’ |
407
Наличие этой, отличной от N, структуры (*), удовлет воряющей аксиомам 1-5, ещё не служит препятствием к тому, чтобы считать эти аксиомы аксиоматическим определением натурального ряда, ведь эта структура изоморфна N (и, таким образом, может признаваться на туральным рядом). Графическое изображение порядка на
(*) (и на N) приведено на рис. 1.
Рис. 1
Легко заметить, однако, что аксиомам 1-5 удовлетворя ет и такая структура (т. е. множество плюс отношение порядка):
О — — — — — — |
1 0 1 0 — 1 0 — 1 0 — |
/ * * \ |
V 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ • |
• ’ Ш’ 2’ 3’ 4’ •• |
С ) |
Графический образ этой порядковой структуры приве дён на рис. 2.
( К К К К Н -
Рис. 2
В этой структуре у двух элементов (у 0 и у 10) нет непо средственных предшественников. Запретим эту ситуа цию следующей аксиомой 6.
6. Если у двух элементов х, и х2 нет непосредствен ных предшественников, то они равны. В символах:
Vx1Vx2{[-3 y 1(y1< x1A - 3 z 1(у, <z,Az, <х,))]А д [^3у2(у2<х2 A - 3 z 2(y2<z2Az2 <х2))] =>х, =х2}.
Аксиома 6 исключает структуру (**), но не исключа ет такой структуры:
408
Структура (***), очевидно, не изоморфна натураль ному ряду. Её графический образ приведён на рис. 3.
о -о о -о о * ....
Рис. 3
Наша цель, подобно горизонту, отодвигается всё дальше и дальше... Оказывается, она вообще недостижима. Оказы вается, имеет место следующий замечательный факт: сколько бы мы ни выписывали аксиом, использующих ло гические знаки, знак отношения «<» и переменные, пробе гающие по элементам определяемой структуры, у совокуп ности выписанных аксиом всегда будет модель, не изо морфная натуральному ряду. Ввиду фундаментальной важности этого факта (означающего невозможность аксио матического определения натурального ряда с использова нием указанных средств) изложим его подробнее.
Будем записывать аксиомы на формализованном символическом языке, в алфавит которого входят сле дующие знаки:
1) знаки препинания: левая скобка «(» и правая скоб ка «)»;
2) логические знаки «-•», « Л » , « V », «=»>, « V »,
«3 », «=»;
3)индивидные переменные х,у, z, и, v, w, x{,y v z p uv
4)знак «<».
С помощью этих букв по естественным и легко фор мулируемым синтаксическим правилам составляются формулы. Простейшие примеры формул:
x < y V y < x ; |
Vx(x<x); |
3x 3 y (y < x =>у < x); |
|
3y(x<y); |
Vx3y(x <y). |
Возьмём теперь какое-либо множество с каким-либо определённым на нём бинарным отношением (не обяза тельно отношением строгого порядка), обозначаемым че рез «<» . Всякое такое множество с отношением «<» бу дем называть структурой сигнатуры <. Таким образом, структура сигнатуры < состоит из множества (называе мого носителем структуры) и отношения «<». Назначим для каждой индивидной переменной носитель структуры в качестве области изменения этой переменной. Тогда каждая формула становится либо высказыванием, как вторая, третья и пятая формула из приведённого только что списка, либо высказывательной формой, как первая и четвёртая формулы. Формулы, превращающиеся в вы сказывания, называются закрытыми1, только их мы и бу дем впредь рассматривать. Про (закрытую) формулу, ста новящуюся — при рассмотрении на данной структуре — истинным высказыванием, говорят, что она истинна на данной структуре или выполняется на данной структу ре, а про структуру — что она удовлетворяет данной
формуле.
Среди структур сигнатуры < выделена структура N — наш обычный Натуральный Ряд с обычным отношением порядка. Будем называть аксиомой любую закрытую фор мулу, превращающуюся в истинное высказывание при интерпретации на структуре N. Так вот, какое бы — ко нечное или бесконечное — количество аксиом мы ни вы
1 Нетрудно заметить, что свойство закрытости формулы не за висит от того, применительно к какой структуре мы рассматриваем эту формулу; это свойство может быть определено чисто синтак сически по внешнему виду формулы. (Все переменные должны быть связаны кванторами; в этом и состоит закрытость.)
410