Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

Буланов В.Е., Гузачев А.Н. Теория упругости и пластичности

.pdf

Скачиваний:

101

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

516.91 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

z	ν
	A
n
m O	l
m O		x
		x
y
	Рис. 3.2
Пример 3. Для напряженного состояния		в точке тела (рис.	3.1) задано шесть компонентов: σx = −50 МПа ;
σy = 70 МПа ; σz = 100 МПа ; τxy = −80 МПа ;		τyz = −60 МПа ; τzx	=100 МПа. Требуется определить значения главных

напряжений и положения главных площадок. Р е ш е н и е.

1 Определение значений главных напряжений. Согласно (3.2), имеем:

J1 = −50 + 70 +100 = 120; J2 = −50 70 +70 100 −100 50 −802 −602 −1002 = −21 500;

J3 = −50 70 100 +2 80 60 100 +50 602 −70 1002 −100 802 = −550 000 .

По формулам (3.4) получаем:

p = −21 500 − 131202 = −26 300;

q = − 272 1203 − 13120 21 500 +550 000 = −438 000;

r = 26 300/3 = −93,6305 ;

cos ϕ =	−438 000	= 0,266804;	ϕ = 74,5258	o	.
	2 (−93,6305)3

Используя (3,5), находим корни уравнения (3.3):

y1 = −2(−93,6305)cos(74,5258/3)=169,934; y2 = 2(−93,6305)cos(60 −74,5258/3)= −153,098; y3 = 2(−93,6305)cos(60 +74,5258/3)= −16,835 .

Проверка значений корней по (3.6)

169,934 − 153,098 − 16,835 = 0,001 ≈ 0 .

Вычисляем главные напряжения:

σ′ = 169,934 + 120 / 3 = 209,934 ; σ′′ = −153,098 + 120 / 3 = −113,098 ; σ′′′ = −16,835 + 120 / 3 = 23,165 .

Принимаем:

σ1 = 209,934 lo = ; σ2 = 23,165 lo = ; σ3 = −113,098 lo = .

Проверка главных напряжений по (3.8):

209,934 + 23165, − 113,098 = 120,001 ≈ 120 ;

209,934 23,165 −23,165 113,098 −113,098 209,934 = −21 499,9 ≈ −21 500; −209,934 23,165 113,098 = −550 009,3 ≈ −550 000 .

2 Определение положений главных площадок.

Находим положение главной площадки, по которой действует напряжение σ1 = 209,934 lo = . В (3.10) подставляем

σ = 209,934 lo = :

		l1	=			(70,0 −209,934)100,0 −80,0 60,0		= 0,627 ;
	n1					80,02 −(−50,0 −209,934)(70,0 −209,934)

m1		=			(−50,0 − 209,934) (−60,0)+ 100,0 80,0		= −0,78723 .
				80,02 − (− 50,0 − 209,934)(70,0 − 209,934)
n1

Проверка по третьему уравнению системы (3.9):

100,0 0,627 + 60,0 0,78723 + (100,0 − 209,934) = 109,934 − 109,934 = 0 .

Из уравнения (3.11) находим n1 :

0,6272 + 0,787232 + 1 =

или

2,01286 =

= ±0,7048.

Принимаем n1 = 0,7048 .

Получаем:

= 0,7048 (−0,78723)= −0,5548.

l1 = 0,7048 0,627 = 0,4419;

Находим положение главной площадки, по которой действует напряжение

σ2 = 23,165 lo = .

В (3.10) подставляем

σ = 23,165 lo = :

(70,0 −23,165)100,0 −80,0 60,0

= −0,011855 ;

80,02 − (−50,0 −23,165)(70,0 −23,165)

(−50,0 −23,165)(−60,0)+100,0 80,0

=1,26084 .

80,02 −(−50,0 −23,165)(70,0 −23,165)

Проверка по третьему уравнению системы (3.9):

100,0 (−0,011855)−60,0 1,26084 + (100,0 −23,165)= 76,835 −76,836 ≈ 0 .

Из уравнения (3.11) находим n2 :

(− 0,011855)2 + 1,260842 + 1 =

или 2,58986 =

n2 = ±0,6214 .

n22

Принимаем n2 = 0,6214 .

Получаем:

l2 = 0,6214(−0,01185)= −0,007364 ; m2 = 0,6214 1,26084 = 0,7835.

Находим положение главной площадки, по которой действует напряжение σ3 = −113,098 lo = .

В (3.10) подставляем

σ = −113,098 lo = :

(70,0 −(−113,098))100,0 −80,0 60,0

= −2,6216 ;

80,02 −(−50,0 −(−113,098))(70,0 −(−113,098))

(−50,0 −(−113,098))(−60,0)+100,0 80,0

= −0,81777 .

80,02 −(−50,0 −(−113,098))(70,0 −(−113,098))

Проверка по третьему уравнению системы (3.9):

100,0 (−2,6216)−60,0 (−0,81777)+(100,0 −(−113,098))=262,16 −262,16 = 0 .

Из уравнения (3.11) находим n3 :

(− 2,6216)2 + (− 0,81777)2 + 1 =

или 8,5415 =

= ±0,3422 .

Принимаем n3 = 0,3422 .

Получаем:

l3 = 0,3422 (−2,6216)= −0,897 ;

m3 = 0,3422 (− 0,81777)

= −0,2798 .

Проверка направляющих косинусов согласно условиям (3.12):

0,4419(−0,007364)+(−0,5548)0,7835 +0,7048 0,6214 = 0,4379 −0,4379 = 0;

−0,007364(−0,897)+0,7835(−0,2798)+0,6214 0,3422 = 0,2192 −0,2192 = 0;

−0,89702 0,4419 + (−0,2798)(−0,5548)

+ 0,3422 0,7048 = 0,3964 − 0,3964 = 0 .

На рис. 3.3 изображены нормали к главным площадкамν1 , ν2 , ν3 ; главные площадки ОBEC, BEFD, OADB; главные напряжения σ1 , σ2 , σ3 .

		F	z
				D
	σ2
E					A
E
				ν1
-0,2798	C		σ3		0,7048
-0,2798	C
	ν	B	ν 2
	ν	3	ν 2
0,3422					-0,5548
	-0,89702 0,6214			0,4419	x
	-0,89702 0,6214
σ1	-0,007364		0,7835
	-0,007364		y


			Рис. 3.3

З а д а ч а 4

ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК З а д а н и е. Пластинка (рис. 4.1) изгибается под действием поперечной нагрузки. Задано уравнение упругой

yповерхности пластинки w(x, y). Требуется: 1) установить, каким граничным условиям удовлетворяет предложенное уравнение упругой поверхности w(x, y); 2) определить

постоянный коэффициент С, используя дифференциальное уравнение изогнутой срединной

поверхности пластинки; 3) составить выражения моментов и поперечных сил; 4) построить

эпюры моментов и поперечных сил в сечениях xc , yc . Числовые данные взять из табл. 4.1.

Таблица 4.1

№

Поверхность

Поперечная

xс

yс

Рис. 4.1

строки

пластинки w(x, y)

нагрузка q(x, y)

C sin

πx

cos

πy

q0 sin

πx

cos

πy

0,1

0,25

πx

πy

C cos

q0 cos

πx

πy

sin

0,2

0,30

C sin

2πx

cos

πy

q0 sin

2πx

cos

πy

0,1

0,35

C cos

πx

2πy

q0 cos

πx

2πy

sin

0,2

0,25

C sin

πx

πy

q0 sin

πx

πy

cos

0,1

0,30

C cos

3πx

sin

πy

q0 cos

3πx

sin

πy

0,2

0,35

C sin

πx

cos

3πy

q0 sin

πx

cos

3πy

0,1

0,25

C cos

πx

sin

πy

q0 cos

πx

sin

πy

0,2

0,30

C sin

3πx

cos

πy

q0 sin

3πx cos

πy

0,1

0,35

C cos

πx

sin

3πy

q0 cos

πx sin

3πy

0,2

0,25

Методические указания

Уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки

∂

+ 2

∂

= q(x, y) .

∂x2∂y2

∂y4

∂x4

Изгибающие моменты:

∂2w

M x

= −D

;

∂y 2

∂x2

∂2w

M y

= −D

∂y

+ µ

∂x

Крутящий момент

Mxy = −D(1− µ)

∂2w

∂x∂y

Поперечные силы:

∂3w

= −D

;

∂x∂y 2

∂x3

∂3w

= −D

∂y

∂y∂x

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

Пример 4. Прямоугольная пластинка (рис. 4.1) изгибается под действием поперечной нагрузки интенсивности q(x, y) :

πx

πy

πx

πy

q(x, y) = q0

cos

;

q0 = const .

Задано уравнение упругой поверхности пластинки

πx

πy

πx

πy

w(x, y) = C

cos

;

С = const ;

a =2 м; b =1м;

µ = 0,3 .

Жесткость пластинки D = const . Требуется:

установить,

каким граничным

условиям удовлетворяет предложенное

уравнение упругой поверхности w(x, y); определить постоянный коэффициент С; составить выражения моментов и поперечных сил; построить эпюры моментов и поперечных сил в сечении yc = b/6 .

Р е ш е н и е.

1. Определяем условия на контуре пластинки (граничные условия):

при	x = ±a	w = 0;
при	y = ±b	w = 0.

Следовательно, пластинка оперта по всем четырем краям. Выясним, как она оперта: шарнирно или жестко. Уравнение углов поворота в направлении, параллельном Ox,

∂w

= −C

πx

+ cos

πy

sin

∂x

При

x = ±a

∂w

= 0 . Это значит, что левый и правый края защемлены.

∂x

Уравнение углов поворота в направлении, параллельном Oy,

∂w

= −C

πy

+ cos

πx

sin

∂y

При

y = ±b

∂w

= 0 . Получаем, что верхний и нижний края тоже защемлены. Итак, пластинка жестко защемлена по всем

∂y

четырем краям.

2 Определяем постоянную С. Для этого воспользуемся уравнением (4.1) и составим соответствующие производные:

∂2w

πy

π 2

πx

∂x 2

= −C 1+cos

cos

;

∂3w

πy

π 3

πx

∂x 3

=C 1

+cos

sin

;

∂4w

πy

π 4

πx

∂x 4

= C 1

+ cos

cos

;

∂3w

πx

πy

= C

cos

sin

;

∂y∂x2

a b

∂4w

πx

πy

cos

;

∂y2∂x 2

∂2w

πx π

πy

∂y2

= −C 1+cos

cos

;

∂3w

πx

π 3

πy

∂y3

=C 1+cos

sin

;

∂4w

+cos

πx

π 4

πy

∂y4

cos

;

∂2w

= C

π2

sin

πx

sin

πy

;

∂x∂y

∂3w

π 2

πx

πy

sin

cos

;

∂x∂y2

∂3w

π 2

πy

πx

sin

cos

∂y∂x 2

Левая часть уравнения (4.1) принимает следующий вид

DCπ4

cos

πx

cos

πy

cos

πx

cos

πy

+ 2

cos

πx

cos

πy

a2b2

a b4

b b4

× cos

πx

πy

DCπ

πx

πy

πx

πy

cos

Подставив в уравнение (4.1) левую и правую (см. заданное выражение для нагрузки) части, после сокращений получаем

C = Dqπ0 4 .

3 Составляем выражения для внутренних усилий по формулам (4.2), (4.3), (4,4):

πy π

πx

πy

M x

= DC 1

+ cos

cos

+ µ 1

+ cos

cos

;

b a

a b

πx π

πy

πx

M y

= DC 1

+ cos

cos

+ µ 1

+ cos

cos

;

a b

b a

= −DC

π2

1 − µ

)

sin

πx

sin

πy

;

(

πy

πx

π π

πx

πy

= −DC

+ cos

sin

cos

;

a b

πx π

πy

π π

πy

πx

+ cos

sin

cos

= −DC 1

b a

Выражения для внутренних усилий с учетом найденного значения С имеют вид

πy

πx

πy

;

M x

1 + cos

cos

+ cos

cos

π2

πx

πy

πx

;

M y

1 + cos

cos

+ cos

cos

π2

M xy

= −

(1 − µ)sin

πx

sin

πy

;

π2ab

= −

πx

πy

πx

;

sin

cos

sin

πa

πy

πx

πy

= −

sin

cos

sin

πb

Подставив в полученные уравнения заданные

числовые

значения,

находим для усилий в требуемом сечении

y = yc =1/ 6 м следующие выражения:

Mx =

πx

0,7265cos

+ 0,26

;

π2

My =

πx

1006,cos

+ 0,866

;

π2

Mxy

= −0,175

sin

πx

;

π2

Qx = −0,666

sin

πx

;

b/6

a/2	a/2	a/2		a/2
0,467				0,467			π2
					Mx		π2
					Mx		q0
	0,26		0,26				q0
	0,26		0,26
-0,14		0,99		-0,14			π	2
-0,14				-0,14	M y			2
					M y
							q0
	0,87		0,87
		1,87	-0,175				π2
0			-0,175	0	Mxy		π2
		0			Mxy		q0
	+0,175	0					q0
	+0,175
	0,67
0		0		0 Qx		π
						q0
			0,67
0,125				0,125	Qy		π
					Qy		π
						q0
	0,5		0,5
		1,125

Рис. 4.2

Qy = − qπ0 0,625cos πax + 0,5 .

По последним уравнениям строим эпюры усилий для сечения y = b / 6 , изменяя x от –a до +a (табл. 4.2 и рис. 4.2).

Таблица 4.2

x	Mx		My	Mxy	Qx	Qy
x		Множитель q0/			Множитель q0/
		Множитель q0/			Множитель q0/

–a	–0,467	–0,14	0	0	0,125
–0,5a	0,26	0,87	0,175	0,666	–0,5
0	0,99	1,87	0	0	–1,125
0,5a	0,26	0,87	–0,175	–0,666	–0,5
a	–0,467	–0,14	0	0	0,125

З а д а ч а 5

ИЗГИБ КУГЛЫХ ПЛАСТИНОК

За д а н и е. Круглая пластинка, опертая по контуру, находится под действием внешней нагрузки (рис. 5.1). Требуется:

1)найти уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки w(r), воспользовшись общим решением основного

дифференциального уравнения изгиба пластинки; 2) составить выражения для изгибающих моментов Mr и M и для поперечной силы Qr; 3) построить эпюры Mr, M , Qr для диаметрального сечения пластинки. Числовые данные взять из табл. 5.1.

1	2	3	4
O	O	O	O
a	a	a	a
q		q
		P	P
2a	2a	2a	2a

Рис. 5.1

Таблица 5.1

№	№	a,	h,
строки	схемы	м	м
строки	схемы	м	м
1	1	3	0,1	0,25
2	2	4	0,2	0,30
3	3	5	0,1	0,35
4	4	6	0,2	0,25
5	1	3	0,1	0,30
	е	а	б	в

№	№	a,	h,
строки	схемы	м	м
строки	схемы	м	м
6	2	4	0,2	0,35
7	3	5	0,1	0,25
8	4	6	0,2	0,30
9	1	3	0,1	0,35
0	2	4	0,2	0,25
	е	а	б	в

Методические указания

Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности круглой пластинки (осесимметричная задача)

2 d 3w

1 d 2w

1 dw

−

= q(r) .

Изгибающие моменты:

d 2w

µ dw

= −D

;

1 dw

d 2w

= −D

+µ

Поперечная сила

r dr

d 3w

1 d 2w

= −D

−

Решение дифференциального уравнения (5.1) имеет вид

(5.1)

(5.2)

(5.3)

		w(r) = C1 lnr + C2r2 lnr + C3 + C4r2 + w* ,	(5.4)
Здесь w* – частное решение, зависящее от функции нагрузки q(r). При равномерно распределенной нагрузке			q(r) = q из
(5.1) получаем
w* =	qr4	.
w* =		.
	64D

Пример 5. Круглая пластинка радиусом а, жестко защемленная по контуру, находится под действием внешней нагрузки q(r) = qr / a . Жесткость пластинки D = const . Найти уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки,

составить выражения и построить эпюры для Mr, M , Qr. Р е ш е н и е.

1 Находим уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки.

Для этого интегрируем последовательно четыре раза уравнение (5.1). Таким образом,

	2		2		1			1
						1
w =C1 ln r +C2r		ln r +C3 +C4r		+		∫	∫ r∫		∫q(r)rdr dr dr dr ,
					D
						r		r

или

w = C1 lnr + C2r2 lnr + C3 + C4r2 + w* .

Здесь С1, С2, С3, С4 – постоянные интегрирования, определяемые из условий нагрузки и закрепления пластинки;

∫ r

∫

q(r)rdr dr dr dr

– частное решение уравнения (5.1).

При q(r) = qr / a

получаем

w* = qr5 . 225aD

Находим постоянные интегрирования С1, С2, С3, С4 . В заданной пластинке нет отверстия в середине, следовательно, прогиб в центре должен иметь определенное конечное значение. Это возможно при C1 = 0 , так как иначе в центре пластинки прогиб получится равным бесконечности.

Далее, в центре пластинки нет сосредоточенной силы, следовательно, не должны возникать бесконечно большие внутренние усилия. Для этого принимаем С2 = 0.

Остальные постоянные интегрирования С3 и С4 находим из граничных условий на контуре пластинки.

В данном случае контур жестко защемлен, т.е. при r = a прогиб и угол наклона срединной плоскости должны обращаться в ноль. Выражения для прогиба и угла поворота

w =C3 +C4r2 +

qr5

= 2C4r +

qr4

225aD

45aD

При r = a имеем

C3 + C4a2 +

qa4

= 0;

225D

(5.5)

qa3

2C4a +

= 0.

45D

Из (5.5) получаем:

C3 =

qa4

;

= −

qa2

150D

90D

Уравнение изогнутой срединной поверхности в окончательном виде

w =

−

450D

Составляем выражения для изгибающих моментов Mr , M и поперечной силы Qr:

−

;

45D

−

;

dr2

45D

d 3w

4qr

;

dr3

15Da

d 2w

µ dw

qa2

r 3

M r = −D

r dr

1+ µ −(4 + µ)

;

dr2

1 dw

d 2w

qa2

M θ = −D

+µ

+ µ

− (1+ 4µ)

;

dr2

r dr

d 3w

1 d 2w

qa r

= −D

−

r dr

3 a

По последним выражениям строим эпюры усилий для радиального сечения, изменяя r от 0 до +a (табл. 5.2 и рис. 5.2).

Таблица 5.2

r	Mr			M		Qr
r	Множитель qa2/45					Множитель qa/3
	Множитель qa2/45					Множитель qa/3
0	1,3000			1,3000		0,0000
a/2	0,7625			1,0250		–0,2500
a	–3,0000			–0,9000		–1,0000
	q					q
	a/2		a/2	a/2	a/2
	3,0					3,0
						Mr	45
							qa2
		0,7625		1,3	0,7625
	-0,9			1,3		-0,9
	-0,9					-0,9	45
						Mθ	45
		1,025		1,3	1,025		qa2
		1,025		1,3	1,025		3
				0		Qr	3
	1,0	0,25		0	0,25	1,0	qa
							qa

Рис. 5.2

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М., 1968.

2Варданян Г. С., Андреев В. И., Атаров Н. М., Горшков А. А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М., 1995.

3Колкунов Н. В. Основы расчета упругих оболочек. М., 1987.

4Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М., 1975.

5Рекач В. Г. Руководство к решению задач прикладной теории упругости. М., 1984.

6Самуль В. И. Основы теории упругости и пластичности. М., 1982.

7Теребушко О. И. Основы теории упругости и пластичности. М., 1984.

8Терегулов И. Г. Сопротивление материалов и основы теории упругости и пластичности. М., 1984.

9Тимошенко С. П. и Гудьер Дж. Теория упругости. М., 1979.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете Сопротивление материалов

#
02.05.20141.65 Mб98Билеты по сопромату.doc
#
02.05.2014516.91 Кб101Буланов В.Е., Гузачев А.Н. Теория упругости и пластичности.pdf
#
02.05.20141.89 Mб114Гафаров Р.Х. Сопротивление материалов [раздел 2].doc
#
02.05.20142.13 Mб48Зозуля В.В., Мартыненко А.В., Лукин А.Н. Механика материалов.djvu
#
02.05.2014220.67 Кб34Контрольная работа.doc
#
02.05.20143.07 Mб418Курсовая работа - Расчет на прочность и жесткость при растяжении-сжатии.doc
#
02.05.20149.9 Mб194Курсовая работа - Расчет на прочность.doc