тензор
.docx5. Понятие тензора
Тензор – то, что отвечает трем пунктам:
1) это математическое представление некоторого объекта (геометрического или физического), существующего в пространстве, в виде таблицы величин – компонент тензора;
2) значения компонент тензора зависят от принятой системы координат и изменяются
(преобразуются) при переходе к другим координатам;
3) преобразование компонент таково, что оставляет, тем не менее, неизменными некоторые особые величины – инварианты(не зависят от выбора системы координат).
Классификация тензоров:
1.Тензоры, ранг которых являются скалярами. В связи с этим поле тензоров нулевого ранга называют скалярным полем.
2.Тензоры первого ранга – векторы – образуют векторные поля.
3. Для задания поля тензора ранга каждой точке М области G необходимо поставить в соответствие тензор второго ранга(матрица 3*3).
Ранг тензора- число элементов матриц прямого, обатного преобразований в законе преобразования его компонент.(на практике ранг считают по числу свободных индексов.)
Тензором ранга r в n-мерном пространстве называют математический объект с числом компонент N=nr инвариантных относительно НОП, компоненты которого при этих преобразованиях изменяются по закону:
T’ m…sijk.=(альфа)αxi αyj … αzk *βlm βfs *Txyzl...f
4. Тензор, компоненты которого удовлетворяют условию Тik= Тki, называется симметричным. Если компоненты обладают свойством Тik= -Тki, то тензор называется антисимметричным.
В случае тензора n-го ранга можно говорить о симметрии или антисимметрии его компонент относительно определенной пары индексов.
Тензоры, построенные по правилу прямого произведения называются мультипликативными или полиадными.
Теорема: всякий тензор представим в виде суммы мультиликативных тензоров соответствующего ранга и строения.
Обобщение законов преобразования:
ϕ’=ϕ a’ =a
a {a1,a2, a3} {a1,a2,a3} b{b1,b2,b3}{b1,b2,b3}
прямое произведение: под прямым произведением множества А на множество В понимают множество С, элементами которого являются все упорядоченные пары, состоящие из одного элемента множества А и одного элемента множества В.
6.Единичный тензор
Полезным понятием является единичный тензор, обозначаемый символом Кронекера δik
Он определяется так: δikxi= xk (1.8)
– для любого вектора х. Единичный тензор как бы выделяет желаемую (k-ю) компо-
ненту вектора.
Слева записана сумма – раскроем ее: δikxi=δ1kx1 +δ2kx2 +δ3kx3 = xk
Для выполнения равенства нужно, чтобы равнялась единице только та компонента δik, для которого i = k . А остальные должны быть нулевыми. Значит, единичный тензор выглядит точно как (1.7)
Перейдем к другой системе координат, компоненты вектора изменятся. И единичного
тензора тоже… Но то, что мы разъяснили относительно (1.8), остается, тем не менее, в силе!
Получается, что тензор δik обладает редким свойством: его компоненты одинаковы в любой системе координат, не изменяются.
Символ Кронекера (или дельта Кронекера) — индикатор равенства элементов, формально: функция двух целых переменных, которая равна 1, если они равны, и 0 в противном случае.
В тензорном исчислении символ Кронекера обычно трактуется как тензор. В частности, могут использоваться различные написания для подчеркивания его принадлежности к определённому типу тензоров; соответственно дважды ковариантным, один раз ковариантным и один контравариантным и дважды контравариантным. При этом важно отметить, что обычная практика обозначать той же буквой тензор после поднятия или опускания индекса не распространяется на дельту Кронекера! Иначе говоря, в общем случае - не представляют один и тот же тензор (за исключением представления в ортонормированных базисах, что, собственно говоря, является признаком, выделяющим ортонормированные базисы из всех)
Основное значение δ-символа Кронекера-это переобозначить буквенное обозначение свободного индекса
Свойства:
дельта-символ симметричен относительно перестановки индексов: δij = δji . (4)
Другое важное свойство дельта-символа δij заключается в том, что он снимает суммирование в выражениях вида
В частности,
В этих обозначениях формула принимает вид