22. Производные и дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы второго дифференциала.

Производные высших порядков.

Пусть функция y=f(x) дифференцируемая на некотором промежутке. Производная у'=f '(х) называется производной 1-го порядка и представляет собой так же функцию от х.

Производная от производной 1-го порядка – называется производной 2-го порядка от функции у=f(x) и обозначается у'', или f ''(х), или d ²y/dx², (d/dx)*(dy/dx), dy'/dx. Таким образом, у''=(у')'. Аналогично от производной 2-го порядка, если она существует, называется производной третьего порядка от функции у=f(x). Обобщив скажем, что производная n-го порядка от заданной функции у=f(х), если она существует, называется производной от производной (n-1)-го порядка.

Примечания: Что бы найти производную n-го порядка, надо найти все предшествующие производные до (n-1)-го порядка включительно.

Производные выше 1-го порядка называются производными высших порядков. Начиная с производной 4-го порядка, производные обозначаются римскими цифрами или числами в скобках.

Формула Лейбница.

Пусть у=U*V, U=U(x), V=V(x) – некоторые функции имеющие производные любого порядка. Формула Лейбница имеет вид:

Как видно, коэффициент в формуле Лейбница то же, что и в разложении Бинома-Ньютона

Дифференциалы высших порядков.

Пусть функция у=f(x) –дифференцируемая функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Согласно определению дифференциала функции(dy=f '(х)*dx), есть так же функция от х, можно найти дифференциал от этой функции.

Определение: Дифференциал от дифференциала dy называется дифференциалом второго порядка функции у=f(x) и обозначается(d²y). Таким образом, по определению имеем d²y=d(dy)=(dy')*dx=(f ’(x)*dx)'*dx=f ''(x)*(dx)².

Определение: Аналогично дифференциал от дифференциала второго порядка называется дифференциалом третьего порядка(d³y).

Обобщим, получим что дифференциал n-го порядка функции у=f(х) определяется, как дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка этой функции(обозначение). Отсюда можно найти .

Замечание: Дифференциалы высших порядков (начиная со второго) свойством инвариантности не обладают, т.е. выражение для дифференциала различных порядков справедливы только в том случае, когда есть независимая переменная величина.

2) dy=y’(x)∙dx

y”(x)=

d⁽ⁿ⁾(y)=y⁽ⁿ⁾(x)∙dxⁿ

y(x(t))

dy=y’(t)∙dt, y’(t)=y’(x)∙x’(t), y”(t)=y”(x)∙x’(t)∙x’(t)+y’(x)∙x”(t)

d²y=y”(t)∙dt²=[y”(x)(x’(t))²+y’(x)∙x”(t)]dt²=y”(x)∙[x’(t)∙dt]²+y’(x)∙x”(t)∙dt²

dx d²x

d²y=y”(x)∙dx²+y’(x)∙d²x

Форма 2-го диф-ла не инвариантна отн-но зависимости аргумента.

23. Производные функций, заданных параметрически.

Часто зависимость между переменными х и у задается параметрическими уравнениями:

х=(t)

y=g(t), где t – вспомогательная переменная называемая параметром.

Если функция (t) и g(t) дифференцировались и '(t)0, то производная dy/dx от функции у по аргументу х может быть найдена, как отношение дифференциалов dy и dx, т.к. dy=g'(t)*dt, и dy/dx=(g'(t)*dt)/('(t)*dt)=(dy/dt)/(dx/dt)=Yt'/Xt', то есть dy/dx=Yt'/Xt'

Пример 1:

возьмем t=1, тогда x=2, y=3; y’(2)=7/3

Пример 2: