ДК МСС

Внеся исправления, получаем новую последовательность результатов: 3,35; 3,37; 3,37; 3,37; 3,37; 3,37; 3,36; 3,38; 3,37; 3,37; 3,36; 3,36; 3,37; 3,37; 3,36; 3,38; 3,37; 3,38; 3,38; 3,40.

Определим статистические функции распределения. Результаты (без исключения грубых и систематических погрешностей, после упорядочения и разбиения выборки на интервалы) представлены таблицей 9.

Таблица 9 – Промежуточные значения интервального ряда

Границы интервалов	Середины интервалов	Частота попадания в интервалы	Статистическая вероятность (частость)
3,36 – 3,388	3,374	2	0,10
3,388 – 3,416	3,402	5	0,25
3,416 – 3,444	3,430	8	0,40
3,444 – 3,472	3,458	3	0,15
3,472 – 3,50	3,486	2	0,10
		20	1,0

Представим заданный статистический ряд в виде гистограммы:

Рисунок 3 – Гистограмма результатов измерений

Определенные ранее среднеарифметическое и среднеквадратическое отклонения :

; .

Вычислим дифференциальную функцию распределения для середин интервалов. Для этого вычислим значение нормированного аргумента по формуле для каждого интервала и занесем в таблицу 10:

. (4)

А затем, пользуясь статистической таблицей [1], определим дифференциальную функцию .

Таблица 10 – Вероятностные параметры распределения

Середины интервалов	,
3,374	-1,392;1,392	0,1415	0,1071	0,0823	0,10
3,402	-0,635;0,635	0,3156	0,2388	0,2628	0,35
3,430	0,122	0,3924	0,2970	0,5478	0,75
3,458	0,878	0,2636	0,1995	0,8106	0,90
3,486	1,635	0,1002	0,0758	0,9489	1,0

Используя свойство нормального распределения , находим значения дифференциальной функции в выбранных единицах. В случае использования интервалов применим зависимость:

, (5)

где h – ширина интервала, в нашем случае она равна 0,028.

Значения нормальной функции распределения находятся по таблице [2] или по формуле:

.

Для построения статистической функции распределения воспользуемся формулой для дополнительных вычислений:

. (6)

;

;

;

;

;

.

Графики экспериментальной и теоретической функции интегрального вида показаны на рисунке 4.

По виду статистических кривых можно также сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных, хотя для окончательного заключения требуется проверка по критериям согласия (или приближенная идентификация по точечным числовым характеристикам).

Рисунок 4 – Кривые интегральной функции распределений

При малых объемах выборки для проверки согласия опытного распределения с нормальным применяется составной критерий d. По заданным условиям уровень значимости .

Вычислим выборочное среднее арифметическое X, несмещенную и смещенную оценки СКО:

Ом;

Ом;

Ом.

Проверяим согласие по критерию 1. Для этого определим значение d:

Ом.

При n =20; ; из таблицы 12 находим квантили распределения d (после интерполяции):

; .

Гипотеза о нормальности распределения по критерию 1, при выбранном уровне значимости подтверждается, так как:

;

или

.

Проверка по критерию 2. По таблицам 12, 13 находим значения ; ; , т. е. находим произведение и сравниваем его с максимальным отклонением. Гипотеза о нормальности распределения по критерию 2 справедлива, так как в выборке нет ни одной разницы, превышающей значение:

.

Таким образом, гипотеза о нормальности закона опытного распределения по обоим критериям подтверждается при принятом уровне значимости .

Таблица 11 – Квантили распределения статистики d

11	0,9359	0,9073	0,8899	0,7409	0,7153	0,6675
16	0,9137	0,8884	0,8733	0,7452	0,7236	0,6829
21	0,9001	0,8768	0,8631	0,7495	0,7304	0,6950
26	0,8901	0,8625	0,8570	0,7530	0,7360	0,7040
31	0,8827	0,8625	0,8511	0,7559	0,7404	0,7110
36	0,8769	0,8578	0,8468	0,7583	0,7440	0,7167
41	0,8722	0,8540	0,8436	0,7604	0,7470	0,7216
46	0,8682	0,8508	0,8409	0,7621	0,7496	0,7256
51	0,8648	0,8481	0,8385	0,7636	0,7518	0,7291

Таблица 12 – Квантили интегральной функции Лапласа

Р	0,90	0,95	0,96	0,97	0,98	0,99
	1,65	1,96	2,06	2,17	2,33	2,58

Таблица 13 – Значения и , соответствующие различным и

		при уровне значимости равном
		0,01	0,02	0,05
10	1	0,98	0,98	0,96
11 – 14	1	0,99	0,98	0,97
15 – 20	1	0,99	0,99	0,98
21 – 22	2	0,98	0,97	0,96
23 – 27	2	0,98	0,98	0,97
28 – 32	2	0,99	0,98	0,97
33 – 35	2	0,99	0,98	0,98
36 – 49	2	0,99	0,99	0,98

Проверим с помощью критерия гипотезу о нормальном законе распределения погрешностей в указанном эксперименте.

Расположим экспериментальные данные в порядке возрастания: 3,36; 3,38; 3,39; 3,39; 3,40; 3,40; 3,40; 3,42; 3,42; 3,42; 3,42; 3,42; 3,44; 3,44; 3,44; 3,46; 3,46; 3,47; 3,48; 3,50.

Вычисляем значение величины :

.

Вычисляем значение величины :

, (7)

где значения коэффициентов берутся из таблицы 14.

Т. к. формула 7 примет следующий вид:

.

Коэффициенты , взятые из таблицы 14, имеют следующие значения:

; ; ; ; ; ; ; ; .

.

Находим расчетное значение критерия:

.

При определенном уровне значимости q (q=0,05) проверяем выполнение условия:

, (8)

где критическое значение критерия, взятое из таблицы 15.

.

По критерию условие (8) выполнено. Следовательно, гипотеза о нормальном распределении подтвердилась.

Таблица 14 – Значение коэффициентов

	3	4		5		6		7		8		9		10		11
k k-1 k-2 k-3 k-4	0,7071	0,6872 0,1677		0,6646 0,2413		0,6431 0,2806 0,0875		0,6233 0,3031 0,1401		0,6052 0,3164 0,1743 0,0561		0,5888 0,3244 0,1976 0,0947		0,5739 0,3291 0,2141 0,1224 0,0399		0,5601 0,3315 0,2260 0,1429 0,0695
	12		13		14		15		16		17		18		19		20
k k-1 k-2 k-3 k-4 k-5 k-6 k-7 k-8 k-9	0,5475 0,3325 0,2347 0,1586 0,0922 0,0303		0,5359 0,3325 0,2412 0,1707 0,1099 0,0539		0,5251 0,3318 0,2460 0,1802 0,1240 0,0727 0,0240		0,5150 0,3306 0,2495 0,1878 0,1353 0,0880 0,0433		0,5056 0,3290 0,2521 0,1939 0,1447 0,1005 0,0593 0,0196		0,4996 0,3234 0,2498 0,1902 0,1402 0,0987 0,0545 0,0182		0,4982 0,3206 0,2456 0,1876 0,1378 0,0954 0,0516 0,0174 0,0054		0,4964 0,3178 0,2412 0,1851 0,1336 0,0911 0,0476 0,0168 0,0034		0,4942 0,3154 0,2387 0,1828 0,1304 0,0876 0,0436 0,0152 0,0022 0,0008

Таблица 15 – Критические значения критерия

	Уровень значимости
	0,01	0,02	0,05
3	0,753	0,756	0,767
4	0,687	0,707	0,748
5	0,686	0,715	0,762
6	0,713	0,743	0,788
7	0,730	0,760	0,803
8	0,749	0,778	0,818
9	0,764	0,791	0,829
10	0,781	0,806	0,842
11	0,792	0,817	0.850
12	0,805	0,828	0,859
13	0,814	0.837	0,866
14	0,825	0,846	0,874
15	0.835	0,855	0,881
16	0,844	0,863	0,887
17	0,853	0,870	0,893
18	0,862	0,878	0,899
19	0,874	0,885	0,906
20	0,881	0,894	0,911

3.Список используемой литературы:

1. Третьяк, Л. Н. Обработка результатов наблюдений : учеб. пособие / Л.Н. Третьяк. – Оренбург : ГОУ ОГУ, 2004. – 171 с.

2. Третьяк, Л. Н. Обработка прямых измерений с многократными наблюдениями : учеб. пособие / Л. Н. Третьяк. – Оренбург: ИПК ОГУ, 2002. – 60 с.

3. Сергеев, А. Г. Метрология, стандартизация, сертификация : учебник для студентов вузов / А. Г. Сергеев, В. В. Терегеря. – М. : Юрайт, 2010. – 820 с.