Svetlov_Filosofia_matematiki

в формуле (ф::::> гр) подформулу Ф принято называть антецеден­ том (лат. antecedens - предшествующий), подформулу гр - консе­ квентом (лат. consequens - следствие).

В естественном языке союз «если ... , то», кроме причинной связи, может выражать временную последовательность событий, связь условия и средства ее достижения, условие какого-либо дого­ вора или соглашения. Однако в логике высказываний данному сою­ зу придается только то значение, которое зафиксировано таблицей: антецедент есть только достаточное условие истинности консе­ квента, консеквент есть только необходимое условие истинности антецедента. Из-за такой асимметрии перестановка местами чле­ нов импликации в общем случае неправомерна.

Определениеэквивапентности

Эквивалентностью формул фи rp называется формула (ф == 'Р), кото­ рая истинна тогда, когда формулы Ф и rp обе истинны или ложны одно­

временно, и ложна во всех во всех остальных случаях.

Таблица истинности эквивалентности двух произвольных фор­ мул Ф и гр имеет следующий вид:

Правильно построенная таблица истинности должна содержать

все возможные интерпретации истинности и ложности рассмат­

риваемой формулы. Анализ таблицы показывает, что исследуемая формула ложна только в той интерпретации, которую указывает вторая строка - атомарные формулы А, В истинны, атомарная формула С ложна. Во всех остальных интерпретациях указанная сложная формула истинна. Самую интересную интерпретацию представляет восьмая строка: все три атомарные формулы ложны, но формула в целом, тем не менее, истинна. Поскольку других ин­ терпретаций нет и быть не может, мы получаем исчерпывающую информацию о логических свойствах исследуемой формулы.

Лоrически истинные, лоrически ложные и лоrически нейтральные формулы

Все формулы ЛВ делятся на два взаимно исключающих и со­

вместно исчерпывающих класса - выполнимые иневыполнимые.

Выполнимые формулы делятся далее на логически истинные и ло­ гически нейтральные.

Формулы логики высказываний

Формула ЛВ считается выполнимой, если существует хотя бы одна интерпретация (набор значений истинности атомарных фор­ мул), в которой она истинна, и невыполнимой в противном случае.

Формула называется логически истинной, если она истинна во всех своих интерпретациях, т. е. при любых наборах значений ис­ тинности своих атомарных формул. Такие формулы также часто называют тавтологиями (от греч. tauto - то же самое и /ogos - высказывание), законами логики, логическими истинами, обще­ значимыми, тождественно истинными. Все тавтологии сводимы к виду (фv -,ф), где на место Ф может подставляться любая фор­

мула ЛВ.

Формула называется логически ложной (невыnолнuмой, проти­ воречивой, тождественно ложной), если не существует ни одной интерпретации, т. е. набора значений истинности ее атомарных формул, в которой она была бы истинна. Такие формула выражают логические противоречия. Все логически ложные формулы своди­ мы к виду (ф& -,ф), где на место Ф может подставляться любая формулаЛВ.

Формула называется логически нейтрШlЬНОЙ, если существует хотя бы одна интерпретация, в которой она истинна, и хотя бы одна интерпретация, в которой она ложна. Это означает, что такие фор­ мулы не могут быть логически истинными и логически ложными. Они лишь относительно истинны и относительно ложны.

Отношение лоrическоrо слеАоваНИR в лоrике высказывании

Отношение логического следования лежит в основании всей де­ дуктивной логики. Сказанное относится и к логике высказываний.

Пусть а и f3 обозначают соответственно множества формул, об­ разующих посылки и заключение доказательства в ЛВ. Тогда спра­

ведливо следующее определение.

Заключение р логически следует из посылок а, если и только если 8 каждой интерпретации (8 каждой строке таблицы истинности формулы (а::> /l)), в которой истинно а, также истинно заключение р.

Основные законы лоrики высказывании

Одним из важных свойств логических истин является то, что

они выражают законы логики - принципы сохранения истины.

Хотя логических истин и, тем самым, логических законов сущест­ вует бесконечное число, обычно выделяют некоторое конечное подмножество в качестве правил, позволяющих преобразовывать формулы.

Закон снятия АВОЙНОГО отрицания:

Законы ИАемпотентности (сохранения степени):

(ф&ф)==ф;

(фУф)==ф.

Согласно данным законам значение истинности сложных вы­ сказываний с многократным вхождением одного и того же конъ­ юнкта (дизъюнкта) полностью определяется значением истинности одного конъюнкта (дизъюнкта).

Законы УАаления::::>, :: и ;f=:

(ф::::> ер) == (-,фу ер).

(ф== ер) == «ф::::> ер) & (ер::::> ф);

==«-,фу ер) & (ФУ -,ер»;

==«ф& ер) у (-,ф& -,ер».

(ф"$ ер) == «ф::::> -,ер) & (-,ер::::> ф);

==«-,фу -,ер) & (ФУ ер»;

==«ф& -,ер) у (-,ф& ер».

Согласно приведенным законам формулы, содержащие логиче­

ские союзы ::::>, == И "$, могут равносильно заменяться на формулы, содержащие только логические союзы -', & и У.

Законы Ае MopraHa (отрицанияконъюнкциии АИЭЪЮНКЦИИ):

-, (ф& ер) == (-,фу -,ер);

-, (ФУ ер) == (-,ф& -,ер).

Согласно законам де Моргана высказывание «Неверно, что се­ годня ясно и (или) тепло» эквивалентно высказыванию «Сегодня не ясно или (и) не тепло».

Законы поrлощения:

(ф& (ФУ tp» == ф; (ФУ (ф& ер» == ф.

Согласно первому закону поглощения, конъюнктивная форму­ ла, в которой один конъюнкт Ф логически более силен, чем другой (ф у rp), эквивалентна логически более сильному конъюнкту - ф. Согласно второму закону поглощения, дизъюнктивная формула, в которой один дизъюнкт Ф логически слабее, чем другой (ф & rp), эквивалентна логически более слабому дизъюнкту - ф. Значит, всякая формула эквивалентна дизъюнкции своих самых слабых до­ пущений и одновременно эквивалентна конъюнкции своих самых сильных следствий.

Законы исключения (противоречащих конъюнктов и дизъюнктов):

«ф& rp) у (ф& -,rp)) == ф;

«фУ rp) & (фУ -,rp)) == ф.

Согласно законам исключения, формула, чьи дизъюнкты (конъ­ юнкты) имеют общий член Ф и отличаются друг от друга только одной парой противоречащих подформул rp и -,rp, эквивалентна об­ щей для них подформуле ф.

Перечисленные законы логики создают базис для развития бо­ лее эффективного, чем таблицы истинности, метода решения логи­ ческих задач логики высказываний. Этот метод развивает далее

технику анализа, применявшуюся при решении силлогизмов тра­ диционной логики.

Логика преАикатов

Основные понятия и допущения

лоrики предикатов

Согласно одному из допущений ЛВ внутренняя структура про­ стых высказываний не учитывается. Если это ограничение снять, мы получим важное обобщение логики высказываний, названное логикой предикатов.

Логика предикатов - логика, созданная для анализа умозаключений, в которых истинность заключения зависит не только от истинности по­ сылок, но таюке и от их внутренней логической структуры.

Для анализа внутренней структуры высказываний в логике предикатов дополнительно к основным понятиям ЛВ были введены понятия универсума, имени собственного, предметной константы, предметной переменной, предиката, терма, предметной функции, квантора. Кроме того, использование ЛП требует принятия особых допущений.

Как и в традиционной логике, в логике предикатов все вычис­

ления привязаны к понятию универсума.

Универсум и логики предикатов - класс вещей с заданными свойст­

вами и отношениями.

Универсум задает предметную область интерпретации анали­

зируемого рассуждения, позволяет вычислить его логическое зна­

чение. Чтобы обсуждать вещи универсума, необходимо для каждой из них иметь имя собственное - имя, которое обозначает эту и

только эту вещь.

Имя собственное в логике предикатов - термин, обозначающий от­

дельную вещь универсума.

Логика предикатов, как и традиционная логика, связана с до­

пущением невозможности существования пустых имен, т. е. таких

терминов, которым в рассматриваемом универсуме ничего не соот­

ветствует (которые не обозначают ни одной вещи универсума).

Допущение непустоты универсума. Каждому имени собственному должна соответствовать некоторая вещь универсума.

в логике предикатов неважно, каким именем обозначается та или иная вещь, важно, какая вещь обозначается. Поэтому если два

и более различных имени обозначают одну и ту же вещь, то незави-