Задачи Матюнин / 2018-12-02 ЗАДАНИЕ 2 ред МВП
.docМинистерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Факультет: |
Аэрокосмический |
Специальность: |
24.05.02 Проектирование авиационных |
|
и ракетных двигателей |
Специализация: |
Проектирование авиационных двигателей |
|
и энергетических установок |
Кафедра: |
Авиационные двигатели |
Дисциплина «Уравнения математической физики»
Отчёт о решении задачи №2
На тему |
Градиент от скалярного произведения |
двух векторов |
Студенты |
Гамов Антон Сергеевич |
( |
|
) |
|
Петров Кирилл Олегович |
( |
|
) |
|
Похлебаев Георгий Юрьевич |
( |
|
) |
Группа |
АД-16-2с |
|
|
|
Принял
|
( |
доц. каф. АД Матюнин В.П. |
) |
Дата: |
|
|
|
Пермь 2018 г.
ЗАДАНИЕ
Вывести формулу для нахождения градиента скалярного произведения двух векторов.
ВВЕДЕНИЕ
Определимся с понятиями скалярное произведение и градиент. Скалярным произведением двух векторов A и B называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
. (1)
Или, выражая в проекциях на оси:
(2)
Градиент - вектор, указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой, а по величине равный скорости роста этой величины в этом направлении. Математически выражается следующей записью:
(3)
Целью дальнейшей работы станет объединений двух этих понятий в единую формулу.
1. ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Скалярное произведение двух векторов часто используется в физике для вычисления какой-либо величины. Поэтому построение модели можно осуществить на основе вычисления механической работы, которая в общем случае равна произведению вектора силы на вектор перемещения:
(4)
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Рассмотренную физическую модель можно применить для создания математической модели. Следует учесть, что работа не является векторной величиной, поэтому не имеет направления. Она лишь может оцениваться как полезная, отрицательная и нулевая. Градиент этой величины всегда будет указывать наибольшую скорость возрастания функции. То есть задача сводится в частном случае, рассматриваемом в данном задании, к вычислению .
3. РЕШЕНИЕ
Решение данной задачи рассмотрим на конкретном примере: градиент механической работы. Работа находится как скалярное произведение векторов силы и перемещения:
, (5)
где R=Rxi+ Ryj+ Rzk, S=Sxi+ Syj+ Szk.
Тогда градиент от их произведения будет иметь вид:
(6)
Для уменьшения объёма записей выполняются вычисления по орту i:
Следует заметить, что при группировке слагаемых выявляются части ротора, поэтому следующие действия:
Выделенные в скобки части являются угловыми скоростями вращения, так есть угловая скорость вращения вектора S вокруг оси, то есть . Аналогично с остальными скобками.
В итоге после перегруппировки получается:
Аналогично для ортов j и k:
Объединяя три компонента:
Учитывая, что , , , , получается окончательное выражение:
. (7)
4. ОЦЕНКА ДОСТОВЕРНОСТИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Данное решение описано для частного случая скалярного произведения векторов. Для использования в других подобных задачах следует учитывать, что оба вектора должны отличаться от нуля и не должны быть перпендикулярны, чтобы решение существовало. В общем случае решение применимо и имеет конкретный результат. Последовательность действий, приведших к формуле (7), доказывает верность решения.
Доказательством достоверности формулы (7) является формула (8).
(8)
Где C – вектор скорости частиц в стационарном потоке. Частицы имеют компоненты линейных и угловых скоростей, а кинетическая энергия частицы возрастает от нижней стенки к верхней. Соответственно, решение данной задачи верно и адекватно.
ВЫВОДЫ
Решение такого типа задач в развёрнутом виде без использования сложных математических функций является громоздким и неудобным. При сворачивании появляются математические функции, сокращающие запись и время на реализацию решения. Также формула (7) не имеет больших требований к исходным данным, поэтому её применимость не ограничена.