6. Основные типы уравнений срп. Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типа.
Для простейшего случая пространственной
распределённости по одной координате
х, изменяющейся на отрезке
(одномерная задача), уравнение (1)
записывается в виде:
(4)
где А, В, С – заданные функции могут быть равны CONST/
В зависимости от значения, дискриминанты Δ, равные (АВВ2), различают уравнения:
- гиперболического типа (Δ<0),
- параболического типа (Δ=0),
- эллиптического типа (Δ>0),
- смешанного типа (Δ меняет знак в области допустимых изменений x и t).
Уравнения гиперболического типа
Уравнения содержат две производные функции состояния, как по t, так и по x, они описывают колебательные процессы различной природы (механические, электромагнитные, звуковые и т.д.), связанные с конечной скоростью V, распространения волновых явлений.
1)
(5)
Уравнение (5) моделирует распространение
свободных колебаний (при распространении
со скоростью звука
пульсации расхода газа в длинном
трубопроводе).
При
,
уравнение (5) записывается в виде:
- описывает вынужденные
колебания под влиянием внешнего
воздействия
.
2) Уравнение гиперболического типа:
(7)
Описывает распределение напряжения тока вдоль длинной электрической линии.
- скорость распределения электромагнитных
волн вдоль линии.
При
уравнение (7) сводится к волновому
уравнению, при
и
уравнение (7) моделирует процессы
механических колебаний в среде
сопротивления.
Уравнение параболического типа
Они содержат первую производную
и вторую производную по координате t.
Описывает задачи, связанные с процессами теплопроводности, диффузии с распространением электромагнитных волн, с движением вязкой жидкости и т.д.
Уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)
(8)
Уравнение (8) – однородное уравнение теплопроводности, описывает температурные поля не стационарной теплопроводности, тепло массы перевода и т.д.
(9)
Уравнение (9) – неоднородное уравнение теплопроводности, учитывающее внешнее воздействие от внутренних источников вещества и энергии.
Включив в правой части уравнений (8) и
(9) дополнительный член
,
получим уравнение теплопроводности в
цилиндрической системе пространственных
координат.
Уравнения эллиптического типа
В уравнениях этого типа отсутствует
производная от
по времени t и
описывают стохастическое состояние
ОРП.
1) Гельмгольца
(10)
2) Пуассона
(11)
при
в уравнении (10)
3) Лапласа (эллиптического типа)
При
(12)
Уравнения (11) и (12) моделируют в распространении температуры потенциала скоростей при стационарном течении несжимаемой жидкости потенциал электрического поля в задачах электрической статики и т.д. при отсутствии или наличии внешних воздействий соответственно.
Уравнение (10) описывает многие физические процессы теплопроводности, диффузии в движущихся средах, напряженности поля и т.д.