![](/user_photo/_userpic.png)
zadanie_1
.docxЗадание 1
Даны
координаты вершин пирамиды
.
Найти: 1) длину ребра
;
2) угол между ребрами
и
;
3) угол между ребром
и гранью
;
4) площадь грани
;
5) объём пирамиды; 6) уравнение прямой
;
7)уравнение плоскости
;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины
на грань
.
Сделать чертеж.
15.
Решение:
Для
дальнейшего решения найдем вектора по
координатам точек и длины этих векторов
(модули векторов):
-
Длина ребра
равна длине вектора
, а длину вектора мы уже нашли
-
Угол между ребрами
и
найдем при помощи формулы скалярного произведения векторов:
Найдем скалярное произведение векторов при помощи координат:
Длины векторов уже найдены:
Подставим значения в формулу
-
угол между ребром
и гранью
; Составим каноническое уравнение прямой
:
Направляющий вектор прямой имеет вид
Найдем уравнение плоскости (тем самым выполним пункт 7). Для составления уравнения плоскости используем формулу:
Вектор нормали плоскости имеет вид
Найдем угол между прямой и плоскостью по формуле:
где
(координаты вектора
),
(координаты вектора
)
-
Площадь грани
найдем при помощи векторного произведения векторов
-
Объём пирамиды найдем через смешанное произведение векторов:
-
уравнение прямой
: Составим параметрическое уравнение прямой
где
– направляющий вектор прямой, в качестве которого можно взять вектор
– координаты точки, лежащей на прямой, в качестве которых можно взять координаты точки
Составим каноническое уравнение прямой Составим каноническое уравнение прямой
:
-
Уравнение плоскости (решено в пункте 3)
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
-
уравнение высоты, опущенной из вершины
на грань
нормальный вектор плоскости является направляющим вектором прямой
-
Чертеж: