Metod 2

2.2. Решение систем линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами с использованием среды MathCad

Также как и первая часть лабораторной работы, вторая часть выполняется в два этапа. На первом этапе по данной системе находим изображения последовательностей, входящих в систему. Этот этап осуществляется дома. На первом этапе определяем особые точки изображений и классифицируем их.

Второй этап выполняется в компьютерном классе. По полученным изображениям определяем, используя MathCad, последовательности – оригиналы. На этом же этапе осуществляем проверку найденных решений. Рассмотрим пример выполнения второй части первой лабораторной работы.

Лабораторная работа 1. Часть 2. Решить систему линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами с использованием z- преобразования

xn 1 4xn yn 2n;yn 1 xn 2yn n

x0 1; y0 1.

Порядок выполнения. Переходим к изображениям по Лорану. Используя таблицу 1, находим

Для ее решения используем метод решения системы в символьном виде, предусмотренный в MathCad. Систему необходимо указать после ключевого слова Given. При задании системы нужно использовать знак равенства из вкладки Boolean панели инструментов. Решение системы мы получим после команды Find(X,Y) .

После решения системы необходимо разложить знаменатели полученных дробей X,Y на множители с помощью команды Symbolics → Factor. Далее определяем особые точки функций X z , Y z и классифицируем их тип. После чего находим последовательности – оригиналы xn, yn по формулам

- 12 -

где суммирование происходит по всем особым точкам функций X z и Y z

соответственно.

Итак, разберем нахождение последовательностей xn, yn в MathCad по действиям.

Действие 1. Решаем систему (2.1) в символьном виде:

Действие 2. Разложим знаменатели полученных дробей на множители:

Действие 3. В результате предыдущих действий мы получили изображения по Лорану X z ,Y z последовательностей xn, yn :

Как легко видеть, функция X z имеет особые точки: z 1 - полюс второго порядка, z 3 - полюс второго порядка. Функция Y z имеет особые точки

z 2 - полюс первого порядка, z 1 - полюс второго порядка, z 3 - полюс второго порядка. Находим последовательности xn и yn :

- 13 -

ция g x непрерывна на отрезке a,b и g a g b 0. Для нахождения коря уравнения (3.1), принадлежащего отрезку a,b , делим этот отрезок пополам.

зок a1,b1 снова делим пополам и проводим то же рассмотрение и т.д. В ре-

зультате получаем на некотором этапе либо точный корень уравнения (3.1) или же бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков

a1,b1 a2,b2 ... an,bn ...

таких, что

Так как левые концы a1,...,an,... образуют монотонную неубывающую огра-

ниченную последовательность, а правые концы b1,...,bn,... - монотонную не-

возрастающую ограниченную последовательность, то существуют пределы

1 nliman, 2 nlimbn .

Всилу (3.2), и следующего неравенства:

1 2 1 an an bn 2 bn ,

стве (3.2) и, учитывая непрерывность функции g , получаем

g 2 0 g 0.

Таким образом, число является корнем уравнения (3.1), причем, очевидно,

Полученное неравенство можно использовать для оценки погрешности найденного приближения. Так, если требуется найти решение уравнения с точностью 0, то процесс деления отрезка заканчиваем, когда выполняется неравенство bn an . В качестве приближенного значения корня можно

взять bn an /2.

3.2. Метод простой итерации решения одного нелинейного уравнения с одним неизвестным

Преобразуем уравнение (3.1) к виду

- 15 -

где f x g x x. Предположим, что функция f удовлетворяет следую-

щим условиям:

f C1 a,b ,

f x k 1.

В этом случае уравнение (3.1) имеет один единственный корень. Действительно, в силу теоремы Лагранжа,

отображение имеет единственную неподвижную точку, значит, уравнение (3.1) имеет единственный корень x. Пусть x0 a,b - произвольная точка.

Тогда последовательность точек

x1 f x0 , x2 f x1 ,...,xn f xn 1 ,...

сходится к точке x. Кроме того, имеет место оценка погрешности:

Итак, для решения уравнения (3.1) выбирается некоторое начальное приближение x0 a,b и последовательно находятся приближенные решения (ите-

рации) уравнения (3.1). Значение итерации xn 1 выражается через известную предыдущую итерацию. Данный метод носит название метода итераций.

3.3. Метод хорд

Предположим, что функция g x в уравнении (3.1) удовлетворяет следую-

щим условиям:

Остальные случаи для знаков производных разбираются аналогично. Обозначим через корень уравнения (3.1).

Метод хорд состоит в следующем. График функции g заменяется его

первое приближение искомого корня.

- 16 -

g c 0. Таким образом, последовательность сходится к корню уравнения

(3.1).

Предположим, что g x m 0, a x b. Тогда, по теореме Лагранжа,

получим

g xn g xn g g cn xn .

Отсюда

Неравенство (3.5) дает оценку погрешности приближенного корня.

3.4. Метод Ньютона

Предположим, что функция g снова удовлетворяет таким же условиям, как и в методе хорд. Проведем касательную к графику функции g в точке

b,g b . Абсцисса x1 точки ее пересечения с осью Ox и считается первым

приближением корня уравнения (3.1). Уравнение касательной имеет вид: y g b x b g b .

Рис. 2. Решение уравнения по методу Ньютона

Обозначим его правую часть через L x . Решение уравнения L x 0 имеет

вид x1 b g b . По предположению, функция y g x строго возрастает и g b

водим касательную через точку x1,g x1 и находим точку пересечения

- 18 -

gx1

x2, x2 x1, x2 x1 g x1 этой касательной с осью Ox. Продолжая опи-

санный процесс, получим последовательность xn , ... xn ... x1 такую,

что

Эта последовательность монотонна и ограничена снизу, поэтому существует

предел c lim xn . Переходя к пределу в равенстве (3.6), получим g c 0.

n

Дадим еще оценку скорости сходимости метода Ньютона. Пусть для рассматриваемой функции на рассматриваемом интервале выполняются неравенства

- 19 -

Если выбрать первоначальное приближение b так, чтобы q M b 1, то

2m

получим

xn 2mq2n . M

Таким образом, скорость сходимости приближенных решений xn к корню x значительно превышает скорость убывания геометрической прогрессии со знаменателем по абсолютной величине, меньшим единицы.

3.5Выполнение первой части лабораторной работы по теме «Численные методы решения нелинейных уравнений и систем»

Вторая лабораторная работа посвящена численным методам решения нелинейных алгебраических уравнений и систем уравнений. Работа состоит из двух частей. В первой части студент одним из предлагаемых ему методов находит приближенное значение корня нелинейного уравнения с использованием среды MathCad.

Пусть дано уравнение x 1cosx 0. Требуется найти приближенное

2

занном отрезке и строго возрастает на нем. Так как f 0 f 0,5 0, то на отрезке 0;0,5 данное уравнение имеет единственный корень. Пример поис-

ка корня уравнения методом дихотомии иллюстрируется листингом 3.1. Найдем теперь корень данного уравнения методом хорд. Для этого за-

метим, что функция f x x 1cosx дважды непрерывно дифференцируе-

2

ближенным значением корня будет элемент последовательности xn , для ко-

торого выполняется неравенство f xn . Пример поиска корня уравнения методом хорд иллюстрируется листингом 3.2.

- 20 -