РАЗДЕЛ 1
.pdf1. Определение перемещений и расчеты на прочность и жесткость статически определимых элементов конструкций
Задание № 12
Выполнил: студент гр. 12-КС-3 Иванов И.И.
Принял: к.т.н., доцент Дербасов А.Н.
Номер схемы |
5 |
33 |
35 |
36 |
15 |
Средний |
|
балл |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подпись |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нижний Новгород 20015 г.
Лист
КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14
Изм. Лист |
№ докум. |
Подпись Дата |
1.1 Расчѐт при растяжении и сжатии бруса 1.1.1 Условие задачи
Для бруса квадратного поперечного сечения (схема 5) и выполненного из стали Ст.3 в общем виде определить перемещения сечений B, C и D и построить эпюру перемещений. Подобрать размеры поперечного сечения бруса из условий прочности и жесткости ( B a /1000 ).
1.1.2 Краткие теоретические сведения Перемещение любого сечения бруса при его растяжении и сжатии определяется методом Мора по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
z |
N |
z |
n |
|
N z N z |
|||||
|
|
|
|
dz |
|
i |
i |
dz , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
EA( z) |
|
i1 |
EAi |
|
|
i |
||||||
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
где N z – продольная сила в грузовом (исходном) состоянии;
N z – продольная сила в единичном состоянии;
Е – модуль упругости материала при растяжении и сжатии; A( z) – площадь поперечного сечения бруса;
n– число участков. 1.1.3 Решение задачи
1) Строим эпюры и аналитические выражения продольной силы в грузовом состоянии по участкам (Рис.1)
Nz qa; |
N z |
2 |
qz2 . |
1 |
|
|
2) Вычисляем перемещения сечений B, C и D в общем виде и строим эпюру продольных перемещений сечений (Рис. 1):
Сечение B
|
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Nz |
|
|
|
|
|
|
Nz |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
N z |
N z |
a |
N z |
|
|
|
N z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
N |
z |
N |
z |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
B |
|
|
|
dz |
|
|
|
1 |
1 |
dz1 |
|
|
|
|
|
dz2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
EA |
|
|
|
|
|
|
E2A |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
EA |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
( z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
a |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
qa |
2 |
|
3 qa |
2 |
|
|||||
|
qa 1 dz1 |
|
qz2 1 dz2 |
|
|
|
qa2 |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
EA |
2 |
|
EA |
4 |
|
4 EA |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знак минус указывает, что сечениеВ перемещается в сторону, противоположную единичной силе P 1 в этом сечении, т.е. влево.
Сечение C
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
N z |
0; |
|
|
|
|
Nz |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qz 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
Nz |
Nz |
a |
Nz |
|
Nz |
|
|
a |
|
qa2 |
|||||||
|
|
N |
z |
N |
z |
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||
C |
|
|
dz |
|
|
1 |
1 |
dz1 |
|
|
|
dz2 |
2 |
dz2 |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
l |
EA( z ) |
0 |
|
|
EA |
0 |
E2A |
0 |
2EA |
|
|
4EA |
Лист
КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14
Изм. Лист |
№ докум. |
Подпись Дата |
Знак плюс говорит о том, что сечение С переместится в направлении единичной силы P 1, т.е. вправо.
Сечение D
Перемещение сечения D равно нулю, т.к. там заделка.
Характерной особенностью эпюры перемещений является отсутствие на ней скачков. Скачок означает либо зазор в этом сечении, либо разрушение.
3) Определяем размеры поперечного сечения из условия прочности в опасном |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сечении, где N max qa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,002 10 |
6 |
Н |
1 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
max |
|
|
|
N z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,535 10 |
|
м 3,6 мм, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
A |
|
b2 |
|
|
|
|
|
160 10 |
6 Н |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где Т |
|
240 |
|
160 МПа – допускаемые напряжения для стали Ст.3. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
240 МПа– предел текучести стали Ст.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) Определяем размеры поперечного сечения из условия жесткости |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
qa2 |
|
a / 200 |
|
|
|
1м |
|
|
0,001м 1мм; |
|
A b2 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
B |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 EA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
Н |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 qa2 |
|
|
|
|
|
3 0,002 10 |
|
|
|
1 |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0,002 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
отсюда b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
5 |
м |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
4 E |
B |
|
|
|
4 2,1 10 |
5 |
10 |
6 |
|
Н |
0,001м |
|
|
|
|
4 2,1 0,001 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,7143 10 5 м 7,143 10 6 м 2,6726 10 3 м 2,7мм
Из двух размеров квадратного сечения выбираем наибольший, как удовлетворяющий условиям прочности и жесткости, т.е. принимаем b=3,6мм.
5) Для проверки правильности вычислений подсчитаем напряжение и перемещение для принятого размера квадратного сечения и сравниваем их с допускаемыми:
|
|
|
|
0,002 |
МН |
1 м |
|
||
|
|
qa |
|
|
154 МПа < ; |
||||
max |
|
|
|
м |
|
||||
условие прочности z |
|
|
|
|
|
|
|
||
b2 |
(3,6)2 |
10 6 |
м2 |
||||||
|
|
|
|
Лист
КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14
Изм. Лист |
№ докум. |
Подпись Дата |
условие жесткости
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
Н |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 qa2 |
|
3 0,002 10 |
|
|
|
1 м |
|
|
|
|
|
|
м 0,55 мм B |
||||||||
B |
|
|
|
м |
|
|
|
|
5,511 10 |
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 EA |
4 2,1 10 |
5 |
10 |
6 Н |
(3,6) |
2 |
10 |
6 |
м |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
м2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание. Предполагается, что данная расчетная схема моделирует, очевидно, ползунковое или поршневое устройство, где потеря устойчивости бруса в сжатой зоне исключена направляющими стенками устройства.
Рисунок 1. К расчѐту бруса на растяжение и сжатие
Лист
КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14
Изм. Лист |
№ докум. |
Подпись Дата |
1.2 Расчет бруса при кручении 1.2.1 Условие задачи
Для бруса (схема 33) круглого сплошного поперечного сечения, выполненного из алюминиевого сплава Д-16, подсчитать в общем виде углы поворота характерных сечений, построить эпюру углов закручивания относительно сечения С и подобрать диаметр бруса из условий прочности и жесткости ([ ] =0,005 рад/м).
1.2.2 Краткие теоретические сведения.
Углы поворота сечений (углы закручивания) при кручении определяются методом Мора по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
M z |
M z |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
M M |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
z |
dz |
i |
|
i |
dzi , |
||||
|
|
|
|
|
|
GJK |
|
GJk |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
i 1l |
i |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|||
где M z – крутящий момент в грузовом (исходном) состоянии бруса; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
M z –крутящий момент в единичном состоянии бруса; |
||||||||||||||||
|
|
|
E |
|
0,75 105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
G |
|
|
|
|
0,29 105 МПа – модуль упругости алюминиевого |
||||||||||||
|
) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
2(1 |
|
2 (1 0,31) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сплава Д-16 при сдвиге; µ=0,31 МПа‒ коэффициент Пуассона алюминиевого сплава Д-16;
Е = 0,75·105Мпа ‒ модуль Юнга алюминиевого сплава Д-16; n ‒ число участков.
1.2.3 Решение задачи 1) Строим эпюры и аналитические выражения крутящего момента в грузовом
состоянии по участкам (Рис. 2)
M |
z |
|
4qa2 ; M |
z |
4qa2 |
8qa2 |
12qa2 ; |
|||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M |
z |
|
4qa2 8qa2 16qa2 4qa2 ; |
M |
z |
0. |
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Вычисляем углы закручивания сечений А, В, D, Е относительно сечения С, принятого условно за неподвижное, в общем виде и строим эпюру углов закручивания (Рис. 2):
Так как в пределах каждого участка M z const , а |
|
|
1, то |
i |
M zi |
li |
|
|||||
M z |
|
. |
||||||||||
|
GJk |
|
||||||||||
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
СечениеА: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC |
M z a |
|
4qa3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
‒ угол поворота сеченияА относительно сечения С. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
GJk |
|
GJk |
|
|
|
|
|
|
|
|
СечениеВ:
Лист
КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14
Изм. Лист |
№ докум. |
Подпись Дата |
BC AC |
|
|
M z a |
|
|
4qa3 |
|
|
12qa3 |
|
16qa3 |
‒ |
|
угол |
поворота |
сечения |
В |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
GJk |
|
|
|
GJk |
|
|
|
|
GJk |
|
|
|
GJk |
|
|
|
|
|
|
||||||
относительно сечения С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Сечение D: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DC BC |
|
|
|
M z a |
|
|
16qa3 |
|
|
4qa3 |
|
|
12qa3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‒угол |
поворота |
сечения |
D |
||||||||||
|
|
GJk |
|
|
GJk |
|
|
GJk |
|
|
GJk |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
относительно сечения С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Сечение Е: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EC DC |
|
|
|
M z a |
|
|
12qa3 |
|
|
0 |
12qa3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‒ угол поворота сечения Е относительно |
|||||||||||||||||
|
|
GJk |
|
|
GJk |
|
|
|
GJk |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
сечения С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Определяем диаметр бруса из условия прочности при кручении |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
M zmax |
|
|
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wk |
|
|
|
||||||||
где W |
d |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
‒ момент сопротивления круглого бруса сплошного сечения при |
||||||||||||||||||||||||||
k |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кручении;
0,5 0,5 тт 0,5 3301,5 110 МПа ‒допускаемые касательные напряжения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МН |
|
|
|
|
||||||
|
|
16M zmax |
|
|
16 12 0,002 |
|
|
|
|
|
12 м2 |
|
|
|
|
|||||
d 3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
м |
|
3 |
|
м 0,104 м. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,001112 |
||||||
|
|
3,14 |
110 |
|
МН |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
м2 |
|
|
|
|
||||||||||
4) Находим диаметр бруса из условия жесткости при кручении |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
M zmax |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GJk |
|
|
|
|
где z ‒ относительный угол закручивания, т.е. угол закручивания на единицу длины бруса;
M max 3m 12qa2 |
, J |
|
|
d 4 |
|
k |
‒ момент инерции поперечного круглого |
||||
z |
1 |
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
сплошного сечения бруса.
Лист
КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14
Изм. Лист |
№ докум. |
Подпись Дата |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 12 0,002 |
MH |
12 м2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
d 4 32M zmax |
4 |
|
м |
|
|
4 168,68 10 5 м4 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
G |
|
3,14 0,29 10 |
5 |
МН |
0,005 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м2 |
|
м |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
4 16,868 10 4 м 0,203 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Из двух диаметров выбираем наибольший, как удовлетворяющий условиям |
||||||||||||||||||||||||
прочности и жесткости, т.е. принимаем d=0,203 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5) |
Для проверки |
правильности |
вычислений |
подсчитаем |
напряжение |
и |
||||||||||||||||||
относительный угол закручивания для принятого диаметра |
и сравниваем их с |
|||||||||||||||||||||||
допускаемыми: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
условие прочности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
12 0,002 |
MH |
12 м2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
max |
|
M zmax |
|
м |
14,6 МПа 100 МПа; |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
W |
|
|
3,14 (0,203)3 |
м3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
условие жесткости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
0,002 |
МН |
12 м2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
max |
|
M zmax |
|
|
м |
|
|
496,6 10 |
5 |
рад |
|
|
|
||||||||||
z |
|
GJ |
|
|
|
МН |
|
3,14 (0,203) |
4 |
|
м |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
k |
|
0,29 |
105 |
|
м4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
м2 |
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,00497 рад |
0,005 |
рад. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лист |
Изм. Лист |
№ докум. |
Подпись Дата |
|
КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 2. К расчету статически определимого бруса на кручение
1.3 Определение перемещений и расчеты на прочность и жесткость статически определимой балки при изгибе.
1.3.1 Условие задачи Для двухопорной балки (схема 35), выполненной из стали Ст.3, имеющей
постоянное по длине прямоугольное сечение (h/b=2), в общем виде определить методом Мора прогиб в сечении С, способом Верещагина прогибы в сечениях C и
D и угол поворота на правой опоре. Из условий прочности и жесткости ( D 200a )
определить размеры поперечного сечения балки. Используя вид эпюры Mх и вычисленные значения прогибов и угла поворота при найденных размерах поперечного сечения, показать для балки характер изогнутой оси с указанием перемещений сечений C и D и угла поворота на правой опоре.
1.3.2 Краткие теоретические сведения При изгибе балки возникают два типа перемещений - линейное перемещение
(прогиб) и угловое перемещение (угол поворота сечения). Для определения перемещений балки при изгибе применяем метод Мора
k |
|
|
|
|
Mx Mx |
||||
|
i i |
dzi -выражение для определения перемещения методом Мора |
||
|
||||
i 1 l |
EJ x |
|||
(интеграл Мора); |
||||
|
|
|
|
Лист |
|
|
|
|
КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14 |
Изм. Лист |
№ докум. Подпись Дата |
n |
ωΜΧ M xс |
|
||
|
- выражение для вычисления интеграла Мора способом |
|||
|
||||
i 1 |
ΕJ |
x |
||
|
|
Верещагина, где - перемещение балки при изгибе;
k- количество силовых участков;
M xi -выражение изгибающих моментов по участкам балки в грузовом
M xi - выражение изгибающих моментов по участкам балки в единичном
состоянии;
Е J x - жесткость балки при изгибе;
n – количество элементов площади грузовой эпюры Мх; ωΜΧ - площадь элемента площади грузовой эпюры Мх;
M x C - ордината единичной эпюры M x , взятая под центром тяжести элемента
площади грузовой эпюры Мх. 1.3.3 Решение задачи
1)Зададим единичные состояния: I ед. с. в сечении С (Р=1), II ед. с. в сечении D (Р=1), III ед. с. на правой опоре B (M=1), (рис.3 ).
2)Определяем реактивные усилия на опорах из уравнений статического равновесия в грузовом состоянии и единичных состояниях (рис.3 ).
Грузовое состояние:
momA |
0; |
2qa 6qa 1,5a RB 2a qa 2 |
0; |
RB |
|
2qa 2 9qa 2 qa 2 |
6qa; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
momB |
0; |
RA 2a 2qa a 6qa 0,5a qa 2 |
0; |
RA |
2qa 2 |
3qa 2 qa 2 |
2qa; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Y (Pi ) 0; 2qa 2qa 6qa 6qa 0; 0 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
II - е единичное состояние |
|
|
|
|
|
|
|
|
III - е единичное состояние |
|
||||||||||||||||||||||||||
momA 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
momA |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 3a R |
|
2a 0; R |
|
|
3qa |
|
|
3 |
; |
|
|
|
1 RB 2a 0; RB |
1 |
|
; |
|
|||||||||||||||||||
B |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
momB |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
momB 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
R |
|
2a 1 a 0; R |
|
|
1 a |
|
1 |
; |
|
|
|
RA 2a 1 0; RA |
1 |
; |
|
|||||||||||||||||||||
A |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Y (Pi ) 0; |
1 |
|
3 |
1 0; 0 0. |
|
|
|
Y (Pi ) 0; |
1 |
|
1 |
0; 0 0. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
Лист
КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14
Изм. Лист |
№ докум. |
Подпись Дата |
3)Запишем выражения для изгибающих моментов в грузовом и единичных состояниях (таблица 1);
4)Построим эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов в грузовом состоянии и эпюры изгибающих моментов в единичных состояниях (рис.).
5)Определим прогиб в сечении C методом Мора.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yCM |
M x M x |
dz 0a |
Mx1Mx1 |
dz1 |
0a |
Mx2 Mx2 |
dz2 0a |
Mx3 Mx3 |
dz3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
EJ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a qa2 6qaz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
a |
2qaz |
|
1 |
z dz 0 |
|
|
3qz2 |
1 |
z dz |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
EJ x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
a z 2dz |
qa |
2 |
|
a z dz 3qa |
|
a z2dz |
|
3q |
a z3dz |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
qa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
EJ x |
|
0 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
0 |
|
3 3 |
|
|
|
|
0 |
3 3 |
|
|
2 |
|
0 3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
z3 |
|
|
qa2 z2 |
|
|
|
|
|
z3 |
3q z4 |
|
qa4 1 |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
17 qa4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
qa |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3qa |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
EJ x |
|
3 |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
24 EJ x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ x 3 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6) Определим прогибы в сечениях C и D, а также угол поворота на опоре B |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
способом Верещагина. Для этого разобьем |
|
|
|
грузовую эпюру изгибающих |
моментов на элементы ωΜΧ , а на единичных эпюрах определим ординаты M x , Mx ,
Mx (см. рис. 3 и таблица 2.).
Т а б л и ц а 1
Выражения для изгибающих моментов в грузовом и единичных состояниях
|
Грузовое состояние |
|
I-е единич. |
|
II-е единичное |
|
III-е единичное |
||||||||||||||||||||||
|
|
состояние |
|
состояние |
|
состояние |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
I участок: 0 z1 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Q y1 2qa const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
a |
|
1 |
|
|
|
|
a |
|
Mx1 |
1 |
|
|
|
a |
л.з |
|||||||
|
Mx1 2qaz1 / 0a л.з. |
|
Mx1 |
2 |
z1 |
|
/ 0 л.з. |
|
Mx1 |
2 |
z1 |
|
/ |
0 л.з |
|
2a |
z1 |
/ 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mx1 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Mx1 0 0 |
|
|
|
Mx 0 0 |
|
|
|
0 0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Mx |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Mx a 2qa 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Mx1 a |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
a |
|
Mx1 a |
|
|
|
a |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
a |
|
Mx |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
II участок: 0 z2 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лист
КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14
Изм. Лист |
№ докум. |
Подпись Дата |