m6var15
.pdfВариант № 15
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. Исследовать числовой ряд на сходимость: ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
n5 + n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ln n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
||||
Заметим, что |
|
|
< |
|
|
|
|
= |
|
|
< |
|
|
|
= |
|
|
. Ряд |
∑ |
|
|
сходится, так как |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3/ 2 |
|
|
3/ 2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n5 + n |
|
|
|
n5 + n |
n3 +1/ n |
|
|
|
n3 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
||||||||||||
ряд с общим членом V |
|
= |
1 |
сходится при |
|
p > 1 и расходится при |
p ≤ 1.В данном случае |
|||||||||||||||||||||||||||||
n |
np |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
p = 3/ 2 > 1. Следовательно, сходится и ряд с общим членом |
|
|
ln n |
по первому признаку |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
n5 + n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
сравнения. Ответ: Ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
13 ... (2n −1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. Исследовать числовой ряд на сходимость: ∑ |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
3n (n +1)! |
|
|
|
|
|
|
Применим признак д,Аламбера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
13 |
... (2n −1)(2n +1) |
13 ... (2n −1) |
|
= lim |
13 ... (2n −1)(2n |
+1) |
3n (n +1)! |
= |
|||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3n+1(n + 2)! |
|
3n (n +1)! |
|
3n+1(n + 2)! 13 |
... |
(2n −1) |
||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
n→∞ |
|
|||||||||||||||||
= |
|
n!= n (n −1)! |
|
= |
1 |
lim |
2n +1 |
= |
1 |
2 = |
2 |
< 1. Предел равен отношению коэффициентов при |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 n→∞ n + 2 3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
старших степенях, если эти степени одинаковы. Следовательно, данный ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
Исследовать числовой ряд на сходимость: ∑ |
|
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 en |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Имеем |
a |
|
= |
n |
. Функция |
f (x) = |
x |
|
|
удовлетворяет |
условиям интегрального признака |
||||||||||||||||||||||||
n |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
en |
|
|
|
|
|
|
|
ex |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Коши. Действительно, f (n) = an , n = 1, 2, ...; |
f (x) монотонно убывает на [1, ∞) и, следова- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельно, интеграл |
∫ |
dx |
и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
|
1 |
|
∞ |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∫1 |
|
dx = |
x2= t, dt = |
2xdx |
= |
|
|
∫1 e−t dt = − |
|
e−t |
|
= −0 + |
|
e−1 |
= |
|
. Интеграл |
сходится, следо- |
|||||||||||||||||
ex2 |
2 |
2 |
1 |
2 |
2e |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
вательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||
4. |
Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: ∑(−1)n |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n +100 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исходный ряд сходится, так как является знакочередующимся рядом и удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница. Действительно, по абсолютной величине члены ряда монотонно убывают, а общий член ряда по абсолютной величине стремится к нулю. Рассмотрим ряд
∞ |
|
|
n |
|
∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∑ |
(−1)n |
|
= ∑ |
|
. Он расходится по первому признаку сравнения с гармониче- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n=1 |
|
n +100 |
n=1 n +100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||
ским рядом. Действительно: |
|
|
n |
≥ |
1 |
≥ |
1 |
, а ряд с общим членом |
явля- |
|||||||||||
|
|
|
n +100 |
100(n +1) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +100 |
|
|
n +1 |
ется гармоническим рядом без первого члена. Таким образом, абсолютной сходимости исходного ряда нет. Ответ: Ряд сходится условно.
∞ |
3 |
n |
|
|
5. Определить область сходимости функционального ряда: ∑ |
|
(x + 3)n . |
||
2n (n2 +1) |
||||
n=1 |
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
3n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Применим |
признак |
|
д,Аламбера |
|
|
|
|
к |
|
ряду |
|
∑n=1 |
|
|
|
(x + 3)n |
: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
2n (n2 +1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3n+1 |
|
(x + 3)n+1 |
|
2n (n2 +1) |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
x + 3 |
|
lim |
|
|
|
|
|
= |
|
x + 3 |
1 = |
|
|
x + 3 |
. Ряд сходится, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n→∞ 2n+1[(n +1)2 +1]3n |
(x + 3)n |
2 |
|
|
|
n→∞ [(n +1)2 +1] |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
если этот |
предел будет меньше |
единицы: |
|
3 |
|
x + 3 |
|
< 1, |
|
т.е. |
− 2/3 < x + 3 < 2/3. Или |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−11/ 3 < x < −7 / 3. Следовательно, интервал (−11/ 3, − 7 /3) является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При x = −11/3 получим знакочередую-
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
щийся числовой ряд ∑ |
(−1) |
|
|
, который сходится по признаку Лейбница. При x = −7 /3 по- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 n2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
лучим числовой ряд ∑ |
|
|
|
|
, который сходится по признаку сравнения со сходящимся ря- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дом ∑ |
1 |
|
(степень знаменателя больше единицы). Действительно, |
1 |
|
< |
|
1 |
. Ответ: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 +1 n2 |
|||||||||||
Областью сходимости ряда является множество x [−11/ 3, − 7 /3] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. Определить область сходимости функционального ряда: ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
9n (x − |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
1)2n |
|
|
|
||||||||
Применим |
признак |
|
д,Аламбера |
|
к |
|
|
|
данному |
|
|
ряду: |
|||||||||||||||||||||||||
lim |
|
n |
9n (x −1)2n |
|
= |
|
|
|
1 |
lim |
|
n |
= |
|
1 |
|
1 = |
|
1 |
|
. |
Ряд |
сходится, если |
||||||||||||||
|
9n+1(x −1)2(n+1) |
|
9(x −1)2 |
|
|
|
|
−1)2 |
|
|
−1)2 |
||||||||||||||||||||||||||
n→∞ (n +1) |
|
|
n→∞ n |
+1 9(x |
|
|
9(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
этот предел будет меньше единицы: |
1 |
|
|
< 1, т.е. |
x −1 > 1/3 или |
x −1 < −1/3. Следова- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9(x −1)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тельно, ряд сходится при |
|
x (−∞, 2/3) и |
x (4/3, ∞) . Исследуем ряд на концах интервала. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|||
При x = 2/3 и |
x = 4/3получим один и тот же числовой гармонический ряд ∑ |
, который |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
расходится. Ответ: Областью сходимости ряда является множество x (−∞, 2/3) (4/ 3, ∞)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|||||
7. Определить область сходимости функционального ряда: ∑ |
|
|
|
|
|
sin2n (2x) . |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3n − 5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2n+1 sin2(n+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Применим признак д,Аламбера: lim |
(2x) 3n − 5 |
|
= 2sin2 (2x) . Ряд сходится, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2n sin2n (2x) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n→∞ 3(n +1) − 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
если |
этот предел будет |
меньше |
единицы: 2sin2 (2x) < 1, т.е. − |
1 |
|
< sin(2x) < |
1 |
|
или |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||
− π + nπ < 2x < π + nπ − π + |
nπ |
< x < π + |
nπ |
. |
Следовательно, |
|
|
ряд |
|
сходится |
|
при |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4 |
4 |
8 |
2 |
8 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (− π + nπ , π + nπ ) . Исследуем ряд на концах интервала. При x = ± π + nπ получим
8 |
2 |
8 |
2 |
|
|
8 |
2 |
||
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
||
один и тот же числовой ряд ∑ |
|
|
, который расходится по признаку сравнения с рядом |
||||||
|
|
|
|||||||
3n − 5 |
|||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
2
∞ |
|
1 |
|
|
∑ |
|
|
(последний расходится, так как степень в знаменателе меньше единицы.. Ответ: |
|
|
|
|
||
|
||||
n=1 |
|
3n |
Областью сходимости ряда является множество x (− π + nπ , π + nπ ) , где n = ±0,1, 2, ....
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
2 |
8 |
2 |
||
8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням |
|
(x +1). Указать область |
|||||||||||
сходимости: ln(x + 5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Воспользуемся известным разложением функции ln(1+ t) : |
|
|
|
||||||||||
|
t2 |
|
t3 |
|
t4 |
|
n−1 |
tn |
|
|
|
|
|
ln(1+ t) = t − |
|
+ |
|
− |
|
+ ...+ (−1) |
|
|
+ .... Этот ряд сходится при |
t (−1,1] . Преобразуем |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
n! |
|
|
|
|
исходную функцию: ln(x + 5) = ln[4 (x + 5)] = ln 4 + ln (x + 5) = ln 4 + ln(1+ x +1) . В записан-
4 |
4 |
4 |
ном выше разложении логарифмической |
функции положим |
t = (x +1) / 4 , получим: |
|
x +1 |
(x |
+1) |
|
(x +1) |
2 |
|
(x +1) |
3 |
|
|
|
(x +1) |
4 |
|
n−1 |
(x +1)n |
|
|
|||||
ln(1+ |
|
) = |
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ ...+ (−1) |
|
|
+ ... |
Или |
|
4 |
|
2 |
2 42 |
|
|
3 43 |
|
|
4 44 |
|
|
n 4n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
(x +1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ln(x + 5) = ln 4 + ∑(−1)n−1 |
|
|
. Ряд сходится при − 4 < x +1 ≤ 4 или x (−5, 3]. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
n 4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
(x + |
1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: ln(x + 5) = ln 4 + ∑(−1)n−1 |
|
, x (−5, 3]. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n 4n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций ex , sin x, cos x, ln(1+ x), (1+ x)m , указать область сходимости: 327 − x3 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 3 1− |
|
x3 |
= 3(1− |
x3 |
)1/3 . Воспользуемся раз- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Преобразуем данную функцию: 3 27 − x3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ложением функции (1− t)1/3 в ряд Маклорена: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1− t)1/3 |
= 1− |
1 |
t − |
1 2 |
t2 − |
|
1 2 5 |
t3 − |
|
1 2 5 7 |
|
|
t4 − .... Этот ряд сходится при условии |
|
t |
|
≤ 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 6 |
|
|
|
|
|
3 6 9 |
3 6 912 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = x3 / 27 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В |
|
|
|
|
этот |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд |
|
|
|
|
|
|
подставим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1− |
x3 |
)1/3 = 1− |
1 |
|
|
|
x3 |
|
− |
12 |
|
|
x6 |
− |
12 5 |
|
x9 |
− |
|
12 5 7 |
|
|
x12 |
|
− ... = 1− ∑ |
1 2 5 ... (3n − 4) |
x3n . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27 |
|
|
|
|
|
3 33 |
|
|
|
3 6 36 |
|
3 6 9 39 |
|
|
|
36 912 312 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
34n n! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3(1− |
x3 |
)1/3 |
= 3(1− ∑ |
1 2 5 ... (3n − 4) |
x3n ) = 3 − ∑ |
12 5 ... (3n − 4) |
x3n . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
3 27 − x3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
34n n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
34n−1 n! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Областью |
|
|
|
|
|
|
|
|
сходимости |
|
|
|
|
ряда |
|
|
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
< 1 |
|
x |
|
< 3 . |
|
Ответ: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 5 ... (3n − 4) |
x3n , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
27 − x3 |
= 3 − ∑ |
|
|
x |
|
< 3. (Ошибка в ответе в знаке!) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
34n−1 n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
10. Вычислить приближённо с точностью до 10-4: |
∫ |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Воспользуемся |
|
|
|
|
формулой |
|
|
|
|
|
|
sin x = x − |
1 |
x3 + |
|
1 |
x5 − |
1 |
|
x7 + .... |
Получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
120 |
|
|
|
|
5040 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
sin x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
= 1− |
x2 + |
|
x4 − |
|
x6 + .... Тогда ∫ |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5040 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
6 |
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= ∫[1− |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
6 |
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
7 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x |
|
+ |
|
|
x |
|
|
− |
|
|
x |
|
+ ...]dx = x − |
|
x |
|
+ |
|
|
x |
|
− |
|
|
x |
|
+ ... |
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
|
6 |
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
5040 |
|
|
|
6 3 |
|
|
120 5 |
|
|
|
5040 |
7 |
|
|
|
|
0 |
|||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= 1− |
|
|
+ |
|
− |
|
|
|
|
+ .... В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность бу- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5040 7 |
||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
3 120 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине мень-
ше, |
чем |
ε = 10−4 . В |
данном |
|
|
случае |
|
u |
0 |
= 1, u |
= −0,055556, u |
2 |
= 0,001667 . Очевидно, |
что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
u |
3 |
|
< 10−4 . |
|
Следовательно, |
|
|
|
достаточно |
|
взять |
|
три |
первых |
|
|
|
|
|
|
слагаемых: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∫ |
dx ≈ 1− 0,055556 + 0,001667 ≈ 0,9461. Ответ: ∫ |
dx ≈ 0,9461. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
11. |
Вычислить |
предел, |
|
|
|
|
используя |
|
|
разложение |
функций в |
|
|
|
|
ряд |
|
|
|
|
Тейлора: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
xsin x + cos |
|
|
|
2x −1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cost = 1− |
t2 |
|
|
+ |
t4 |
|
− |
t6 |
|
+ |
|
|
|
t8 |
|
|
− ..., |
|
|
|
|
|
x = 1− x2 + |
|
x4 |
|
|
− |
x6 |
|
+ |
|
x8 |
− ... |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Так |
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
cos |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
720 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
24 |
|
720 |
|
|
|
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
90 |
|
|
|
|
2520 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Кроме того, sin x = x − |
x3 |
|
+ |
|
x5 |
|
|
− |
x7 |
|
|
+ .... Следовательно, lim |
xsin x + cos |
|
2x −1 |
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
120 5040 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= lim |
1 |
[(x2 |
− |
x4 |
|
+ |
|
x6 |
|
|
− |
|
|
x8 |
+ ...) + (1− x2 + |
x4 |
|
− |
x6 |
+ |
|
x8 |
− ...) −1] = lim |
|
|
1 |
|
|
|
(− |
x6 |
|
− |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 x6 |
|
|
6 |
|
120 |
|
|
|
|
|
5040 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
90 |
2520 |
|
|
|
|
|
|
x→0 x6 |
|
|
360 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x8 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xsin x + cos |
2x −1 |
= − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
+ ...) = lim(− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ...) = − |
|
|
. Ответ: lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5040 |
|
|
|
x→0 |
|
|
360 |
|
|
5040 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
360 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
360 |
|
|
|
|
|
12. Найти сумму ряда: ∑∞ n2 +1 xn . n=2 2n n!
Обозначим сумму ряда
∞ |
n |
2 |
+1 |
|
∞ |
[n(n −1) + n +1] |
|
x |
n |
|
x |
2 |
∑ |
|
|
xn = ∑ |
|
|
= |
|
|||||
2n n! |
|
|
|
|
|
|||||||
n=2 |
n=2 |
n! |
2n |
22 |
|
через |
S(x) . |
||||
∞ |
n(n −1) |
|
n−2 |
|
|
∞ |
∑ |
|
x |
+ |
x |
∑ |
|
|
n−2 |
|
||||
n=2 |
n! |
2 |
|
2 n=2 |
|
|
|
Преобразуем |
ряд: |
||||||
|
|
|
n−1 |
∞ |
|
n |
|
|||
n |
|
|
x |
+ ∑ |
1 |
|
|
x |
= |
|
n! |
n−1 |
|
n |
|
||||||
2 |
n=2 n! |
2 |
|
|
|
|
|
d |
2 |
|
∞ |
|
x |
n |
|
|
x |
|
∞ |
|
|
|
x |
n−1 |
∞ |
|
|
x |
n |
|
|
|
∞ |
|
n |
|
|||||||
= x2 |
|
|
|
∑ |
1 |
|
|
|
+ |
|
|
∑ |
1 |
|
|
|
+ ∑ |
1 |
|
|
. |
Так |
как |
∑ |
x |
|
= ex/ 2 , |
то |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n −1)! |
2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
dx2 |
n=2 n! |
|
2n |
|
|
2 n=2 |
|
n=2 n! |
2n |
|
|
|
n=0 |
2n n! |
|
||||||||||||||||||||
∞ |
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
x |
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
∑ |
|
|
|
|
= ex / 2 −1− |
, |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
= ex / 2 −1. |
|
|
Следовательно, |
|||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n=2 |
2 |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
2 |
|
|
(n −1)! |
|
|
|
|
|
|
S(x) = x2 |
d 2 |
(ex/ 2 −1− |
x |
) + |
x |
(ex/ 2 −1)+ ex/ 2 −1− |
x |
= |
|
x2 |
ex/ 2 + |
x |
(ex / 2 −1) + ex/ 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
x |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
2 |
+1 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
= ( |
|
|
+ |
+1)ex / 2 |
− x −1. Ответ: ∑ |
|
xn |
= ( |
|
|
|
+ |
+1)ex / 2 − x −1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
2n n! |
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
(−1) |
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
13. Найти сумму ряда:∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n(n +1)xn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
Обозначим |
сумму |
|
|
|
|
|
ряда |
|
|
|
через |
|
|
|
S(x). |
Тогда |
S(x) = ∑ |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
∞ |
|
|
|
n−1 |
∞ |
(−1) |
n−1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n−1 ∞ |
(−1) |
n−1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= ∑ |
(−1) |
− ∑ |
|
|
= |
|
1 |
∑ |
|
(−1) |
|
|
− ∑ |
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||
n+1 |
(n +1)x |
n+1 |
|
n |
|
|
(n +1)x |
n+1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
nx |
n=1 |
|
|
|
|
|
x n=1 |
|
nx |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1− x =
2
(−1)n−1 = n(n +1)xn+1
4
|
|
1 |
x ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= − |
∫∑(−1)n−1 x |
−n−1dx +∫∑(−1)n−1 x |
−n−2dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ x |
2 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∑(−1)n−1 x−n−1 = |
|
|
|
|
, ∑(−1)n−1 x−n−2 |
= |
|
|
|
|
есть |
|
суммы бесконечно |
убывающих |
гео- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+1/ x |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+1/ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
метрических |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прогрессий |
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
|
x |
|
> 1. |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
1/ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1/ x3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
1 |
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
S(x) = − |
∫ |
|
|
dx + |
∫ |
|
|
dx = − |
|
∫ |
|
dx + ∫ |
|
|
|
|
|
dx = − |
|
[∫ |
dx − ∫ |
|
|
dx]+ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x(1+ x) |
x |
2 |
(1+ x) |
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1+1/ x |
|
|
|
|
|
0 |
1+1/ x |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
0 |
+ x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||
+ ∫ |
|
|
dx − ∫ |
|
dx + |
∫ |
|
|
|
|
dx = − |
ln x + |
|
ln(1+ x) − |
|
− ln x + ln(1+ x) = |
ln(1+ |
) + ln(1+ |
) − |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
0 |
+ x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n−1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= (1+ |
)ln(1+ |
) − |
. Ответ: ∑ |
|
|
|
= |
(1+ |
)ln(1+ |
) − |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
n=1 n(n +1)xn+1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора: y′ = xy3 −1, y(0) = 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
(n) |
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Будем искать решение уравнения в виде y = ∑an xn , где an |
= |
|
|
. Будем последова- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тельно |
вычислять |
|
|
производные |
|
|
y(n) (0) : |
|
|
y′(0) = −1, |
y′′ = y3 |
+ 3xy2 y′, |
|
y′′(0) = 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
y′′′ = 6y2 y′ + 6xyy′2 + 3xy2 y′′, y′′′(0) = 0, |
|
yIV = 18yy′2 + 9y2 y′′ + 6xy′3 +18xyy′y′′ + 3xy2 y′′′, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
yIV (0) = 0, yV = 24y′3 + 72yy′y′′ +12y2 y′′′ + 36xy′2 y′′ + 24xyy′y′′′ + 3xy2 yIV , yV (0) = −24, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
yVI |
= 180y′2 y′′ + 72yy′′2 +120yy′y′′′ +15y2 yIV + 72xy′y′′2 + 60xy′2 y′′′ + 24xyy′′y′′′ + |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ 30xyy′yIV + 3xy2 yV , yVI (0) = 0, |
yVII = 504y′y′′2 + 360y′2 y′′′ + 288yy′′y′′′ +180yy′yIV |
+ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+18y2 yV |
+ 72xy′′3 + 288xy′y′′y′′′ + 90xy′2 yIV |
+ 24xyy′′′2 + 54xyy′′yIV |
+ 36xyy′yV + 3xy2 yVI , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
yVII (0) = 0, y(8) |
= 576y′′3 + 2304y′y′′y′′′ + 630y′2 yIV + 312yy′′′2 + 522yy′′yIV |
+ 252yy′yV + |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ 21y2 yIV |
+ 504xy′′2 y′′′ + 522xy′y′′yIV |
+126y′2 yV |
+ 24xy′y′′′2 +102xyy′′′yIV |
+ 90xyy′′yV |
+ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ 42xyy′yVI + 3xy2 yVII , |
y(8) (0) = 0, y(9) |
= 252y′2 yV +126y′2 yV |
+ ..., y(9) (0) = −378 24 |
|
( ос- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тальные |
слагаемые |
|
в |
|
y(9) |
|
|
в |
точке |
|
x = 0 |
|
|
равны |
|
|
нулю).. |
|
|
Следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
= |
0, a |
= −1, a |
|
= a |
|
= a |
|
= 0, a |
|
= − |
24 |
= − |
1 |
= |
1 |
, a |
|
|
= a |
|
|
= a |
|
= 0, a |
|
= − |
378 24 |
= − |
1 |
.... |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
5! |
|
5 |
|
20 |
|
6 |
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
9 |
|
9! |
|
|
40 |
|
|||||||||
Таким образом, |
y = −x − |
x5 |
− |
x9 |
|
+ .... Ответ: y = −x − |
x5 |
− |
x9 |
|
+ .... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
15. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде сте- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
пенного ряда или ряда Тейлора: y′′ = exy , y(0) = 1, y′(0) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
(n) |
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Будем искать решение уравнения в виде y = ∑an xn , где an = |
|
. Будем последова- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тельно вычислять производные y(n) (0) : y′′(0) = 1, y′′′ = exy (y + xy′) = |
y′′(y + xy′), |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y′′′(0) = 1, yIV = |
yy′′′ + 2y′y′′ + xy′′2 + xy′y′′′, |
yIV (0) = 1, |
|
yV |
= 4y′y′′′ + yyIV |
+ 3y′′2 + xy′yIV |
+ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ 3xy′′y′′′, |
yV (0) = 4, yVI = 13y′′y′′′ + 6y′yIV + yyV |
+ 4xy′′yIV |
+ xy′yV |
+ 3xy′′′2 , |
|
yVI (0) = 17, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y(7) |
= 16y′′′2 + 23y′′yIV |
+ 8y′yV + yyVI |
+10xy′′′yIV |
+ 5xy′′yV |
+ xy′yVI , |
y(7) (0) = 56 . Следователь- |
5
но, a |
|
= 1, |
a = 0, a |
|
|
= |
1 |
|
, a |
|
= |
1 |
|
, a |
|
= |
1 |
|
, a |
|
= |
4 |
= |
1 |
, |
a |
|
= |
17 |
, a |
|
= |
56 |
= |
1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
24 |
|
|
|
5 |
5! |
30 |
|
|
6 |
6! |
|
7 |
7! |
90 |
|
||||||||||||||
зом, |
y = 1+ |
x2 |
+ |
|
x3 |
|
+ |
|
x4 |
+ |
|
x5 |
+ |
17 |
|
|
x6 + |
x7 |
+ .... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
24 |
|
|
30 |
|
|
|
|
6! |
|
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ответ: y =1+ |
x2 |
|
+ |
x3 |
|
+ |
x4 |
|
+ |
x5 |
+ |
17 |
x6 + |
x7 |
|
+.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
6 |
|
24 |
|
|
30 |
|
|
6! |
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
16. Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
По графику определяем y = |
|
x |
|
−1, x [−1,1]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Функция |
f (x) является чётной. Поэтому в её разложении |
|
|
|
|
. Таким обра-
x
|
a0 |
∞ |
|
|
0 1 |
|
в ряд Фурье f (x) = |
+ ∑ak coskπx + bk sin kπx |
все коэффи- |
-1 |
2 |
||
|
|
|
|
|||
2 |
k=1 |
|
|
-1 |
|
|
циенты bk = 0 . Вычислим коэффициенты ak , |
k = 0,1, 2, ...: |
|
|
|||
|
|
|
1
ak = 2∫(x
0
k ≠ 0; a0
−1)coskπxdx = 2( |
|
1 |
coskπx + |
x |
sin kπx) |
|
1 |
2 |
|
sin kπx |
|
1 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
− |
|
|
= |
[(−1)k −1], |
||||||||||||
k2π 2 |
kπ |
kπ |
k2π 2 |
|||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= 2∫(x −1)dx = 2( |
|
− x) |
= −1. |
Следовательно, |
ak = 0 , |
если k чётное и |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
0 |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
= − |
|
|
|
|
4 |
|
|
, если |
k |
|
|
нечётное. Положим k = 2n −1. Тогда |
для |
|
нечётных |
k |
|
получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k |
|
k2π 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n = 1, 2, 3, ... |
|
|
|
|
Таким |
|
|
|
|
|
образом, |
|
f (x) = − |
1 |
|
− |
|
4 |
∑ |
cos(2n −1)πx |
. |
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
π 2 |
|
n=1 |
(2n −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
∞ |
cos(2n −1)πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y = − |
|
− |
|
|
∑ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
π 2 |
|
n=1 |
|
(2n −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
17. |
|
|
Разложить функцию в ряд Фурье на (−L, L]: |
|
y = ea |
|
x |
|
|
, x (−π ,π ]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляем коэффициенты разложения |
|
f (x) = |
|
+ ∑ak coskx + bk sin kx данной функ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ции в ряд Фурье. Так как функция чётная, то все bk = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
π |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
π |
|
|
2 |
|
(eaπ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ak |
= |
|
|
|
∫ f (x)coskx dx = |
|
∫eax coskx dx a0 = |
|
|
∫eaxdx = |
|
|
eax |
|
|
= |
|
|
−1) . Из таблиц |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
π |
π |
|
π |
aπ |
0 |
aπ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
π |
|
0 |
|
|
|
|
|
2eax |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
2a(eaπ (−1)k −1) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
находим (при k > 0 ): |
|
|
∫eax |
coskx dx = |
|
|
|
|
|
(acoskx + k sin kx) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
π |
π (a |
2 |
+ k |
2 |
) |
|
|
|
π (a |
2 |
+ k |
2 |
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
aπ |
−1 |
|
|
2a |
∞ |
(−1) |
k+1 |
e |
aπ |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
aπ |
−1 |
|
|
|
2a |
∞ |
(−1) |
k+1 |
e |
aπ |
−1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
f (x) = |
|
|
+ |
|
∑ |
|
|
|
|
|
coskx. Ответ: y = |
|
+ |
∑ |
|
|
|
|
coskx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aπ |
|
|
|
|
π |
k=1 |
|
|
|
a2 + k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aπ |
π |
k=1 |
|
|
a2 + k2 |
|
|
|
|
|
18. Найти разложение функции ряд Фурье в комплексной форме на (−L, L]:
y= eπx , x (−2, 2].
Вкомплексной форме ряд Фурье функции f (x) периода T = 2L имеет вид:
∞ |
− |
iπ k x |
|
|
1 |
L |
iπ k x |
|
|
1 |
2 |
ikπ x |
|
f (x) = ∑Ck e |
L |
, где Ck |
= |
∫ f (x)e |
L |
dx. В данном случае Ck |
= |
∫eπxe |
2 dx = |
||||
|
|
2L |
|
|
|||||||||
k=−∞ |
|
|
|
|
−L |
|
|
4 |
−2 |
|
|
6
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(π + |
ikπ |
)x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e |
(2π +ikπ ) |
− e |
−(2π +ikπ ) |
) = |
|
|
|
|
|
|
|
sh(2π + ikπ ) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
π + ikπ / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
4 |
π + ikπ / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2π + ikπ ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)k sh 2π |
|
|
(−1)k |
(2 − ik) sh 2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
[sh2π ch(ikπ ) |
|
+ sh(ikπ ) ch2π ] = |
|
= |
|
|
. Таким обра- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π (2 + ik) |
|
|
|
|
|
|
|
π (4 + k2 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π (2 + ik) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh2π |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − ik |
|
|
|
− |
|
ikπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh |
2π |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
2 − ik |
|
|
− |
ikπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зом, |
|
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ (−1)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
2 . Ответ: y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
(−1)k |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
π |
|
4 + k2 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
4 + k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
19. |
|
Функцию y = f (x) представить интегралом Фурье в действительной форме: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = η(x) e−2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Представление функции интегралом Фурье в действительной форме имеет вид |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
f (x) = ∫[a(ω)cos(ωx) + b(ω)sin(ωx)]dω , где a(ω) = |
|
|
∫ |
f (t)cosωt dt, b(ω) = |
|
|
∫ f (t)sinωt dt . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
π |
|
|
π |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Найдём функции a(ω) и b(ω): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
a(ω) = |
|
|
∫ f (t)sinωt dt = |
|
|
∫e−2t |
cosωt dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−2cosωt + ω sinωt) |
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
) |
|
|
|
|
π (4 + ω |
2 |
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π (4 + ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
b(ω) = |
|
|
∫ f (t)sinωt dt = |
|
|
∫e−2t |
sinωt dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−2sinωt − ω cosωt) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
. Та- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
) |
|
|
π (4 + ω |
2 |
) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π (4 + ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ким образом, |
|
f (x) = |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
(2cosωx + ω sinωx)dω = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
4 + ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
1 |
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
( |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosωx + |
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
sinωx)dω = |
1 |
|
∞ |
cos( |
ωx −ϕ |
ω ) |
dω, tgϕω |
|
= ω . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫0 4 + ω 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
4 + ω 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 + ω 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
∫0 |
|
|
|
|
4 + ω 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: y = |
1 |
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
(2cosωx + ω sinωx)dω = |
|
1 |
∞ |
cos( |
ωx −ϕ |
ω ) |
dω, tgϕω = ω . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫0 4 + ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
∫0 |
|
|
|
|
|
4 + ω 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
20. |
|
Функцию y = f (x) представить интегралом Фурье в комплексной форме: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = η(x) e−2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Представление функции интегралом Фурье в комплексной форме имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f (x) = ∫с(ω)e−iωxdω , где c(ω) = |
|
|
|
∫ f (t)eiωt |
dt . Вычислим c(ω) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
c(ω) = |
|
|
∫ f |
(t)eiωt dt = |
|
|
|
|
∫e−2t |
eiωt dt = |
|
|
∫e−(2−iω)t dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2π |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2π |
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
e−(2−iω)t |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + iω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
|
2 + iω |
e−iωxdω . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= − |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Таким образом, |
|
f (x) = |
|
∫ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 − iω |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
− iω |
2π (4 + ω |
2 |
) |
|
|
2π |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
4 + ω |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
|
2 + iω |
e−iωxdω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: y = |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2π |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
4 + ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7