m1var18
.pdfВариант № 18
1. Найти область определения функции : y = arccos x − 2 . 2x
Область определения данной функции определяется неравенством x − 2 ≤ 1. 2x
Освободимся от знака модуля: −1≤ x − 2 ≤ 1. Если x ≥ 0, то − 2x ≤ x − 2 ≤ 2x . Из левого 2x
неравенства |
находим 2 ≤ 3x |
или x ≥ 2/3. Из правого неравенства − x ≤ 2 |
или x ≥ −2 . |
Если x ≤ 0, |
то − 2x ≥ x − 2 |
и x − 2 ≥ 2x . Из первого неравенства находим |
2 ≥ 3x или |
x ≤ 2/3. Из второго неравенства − x ≥ 2 или x ≤ −2 . Объединяя результаты, получим два
интервала: x ≤ −2 и x ≥ 2/3. Ответ: x (−∞, − 2] [2 ,∞). 3
2. Построить график функции: y = lg x − lg x .
Область определения функции: x (0, ∞) . Преобразуем
0, если x ≥ 1 |
|
функцию: y = |
. Строим по точкам график |
2lg x, если x < 1 |
|
функции y = lg x для x ≥ 1, затем «растягиваем» его по оси ОУ в два раза. Ответ: График представлен на рисунке.
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Построить график функции: y = |
− 4x + 8 . |
|
|
||||
Область |
определения функции: |
x (−∞, 2]. |
Преобразуем |
||||
|
|
|
|
|
|
||
функцию: |
y = − 4x + 8 y2 = −4x + 8 . |
Это |
уравнение |
параболы с вершиной в точке (2, 0) и с ветвями, направленными влево по оси ОХ. Исходная функция определяет лишь часть этой параболы, расположенную в верхней полуплоскости. График функции пересекает ось
ОУ в точке (0, 2 2) . Ответ: График |
представлен на |
|
рисунке. |
|
|
|
x = 1/sint |
|
4. Построить график функции: |
y = |
. |
|
y = sint |
|
Исключим параметр t: |
y = sint = 1/ x . Или xy = 1. |
2
0 1 2
2
4
4
3
2
1
3 |
0 |
3 |
Это уравнение гиперболы, расположенной в первой и третьей четвертях, вершины которой лежат на биссектрисе этих углов, а оси координат являются асимптотами гиперболы. Исходная функция определяет
только |
|
часть |
гиперболы, |
так |
как |
всегда |
|||||||||
|
y |
|
= |
|
sin t |
|
≤ 1 ( |
|
x |
|
≥ 1) |
. Ответ: График |
представлен на |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. Построить график функции: ρ = asin2 ϕ . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Поскольку ρ ≥ 0 , то функция существует |
для |
|||||||||
всех значений φ и a > 0 . В интервале если 0 ≤ ϕ ≤ 2π |
|||||||||||||||
функция |
|
возрастает |
от 0 до a (при ϕ = π / 2 ), затем |
убывает от a до 0, затем вновь возрастает от 0 до a, затем убывает до 0. Вертикальная ось пересекается графиком в точках (π/2, a), (0, 0) и (3π/2, a). График построен для a=2.
1
|
|
1 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
6 |
3 |
0 |
3 |
6 |
|
|
0.5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
90 |
|
|
180 |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
270 |
|
|
Ответ: график представлен на рисунке.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +10)2 |
+ (3n +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Вычислить предел: |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6)3 − (n + |
1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ (n + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Возведём все скобки в степени и приведём подобные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(n +10)2 + (3n +1)2 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
+ |
|
20n +100 + 9n2 |
+ 6n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
(n + 6)3 − (n +1)3 |
|
|
|
|
3 +18n2 +108n + |
216 − n3 − 3n2 − 3n − |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n→∞ n |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
10n2 + 26n +101 |
|
|
|
= lim |
|
|
10 + 26n−1 +101n |
−2 |
|
= |
10 |
= |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+105n + 215 |
|
|
|
|
|
|
|
+105n−1 + 215n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ 15n2 |
|
|
|
|
|
n→∞ 15 |
|
|
|
15 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: lim |
(n +10)2 + (3n + |
1) |
2 |
|
|
= |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ (n + 6)3 − (n +1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. Вычислить предел: lim |
5 + 8x − 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→5 / 2 |
|
|
8x3 −125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители: |
|
lim |
5 + 8x − 4x2 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8x3 −125 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→5 / 2 |
|
||||||||
= − lim |
|
|
|
|
|
|
|
(2x − 5)(2x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − lim |
|
|
|
|
|
|
2x +1 |
|
|
|
= − |
6 |
|
|
= − |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→5 / 2 (2x − 5)(4x2 +10x + |
25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→5 / 2 4x2+10x + 25 |
|
|
75 |
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: lim |
5 + 8x − 4x |
2 |
|
= − |
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8x3 −125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→5 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. Вычислить предел: lim |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
+ 2x − 5 |
|
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→8 |
3 |
|
|
|
|
x2 |
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Умножим |
|
|
|
|
числитель |
|
|
|
|
|
и |
|
|
знаменатель |
|
|
на |
сопряжённое |
|
к |
числителю |
выражение: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
9 |
+ 2x − 5 |
|
= lim |
( |
|
|
9 + 2x − 5)( |
|
|
9 |
+ 2x + 5) |
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x − 8) |
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x→8 |
|
3 x2 |
− 4 |
|
|
|
|
|
x→8 |
|
|
( |
|
|
|
9 + 2x + 5)(3 |
|
x2 − 4) |
|
|
|
x→8 ( |
|
9 + 2x + 5)(3 |
|
x2 − 4) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
(3 |
|
|
x − 2)(3 x2 |
+ |
|
23 x |
+ 4) |
|
= |
1 |
|
|
3 |
|
x2 |
+ 23 |
|
|
x + 4 |
= |
12 |
|
= |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
5 x→8 |
(3 |
|
x − 2)(3 |
|
x + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x→8 |
|
|
3 |
|
x |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
lim |
|
|
9 |
+ 2x − 5 |
= |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x→8 |
|
3 x2 |
− 4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
9. Вычислить предел: lim |
sin 7πx |
|
|
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 sin8πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Сделаем замену переменной и воспользуемся первым замечательным пределом: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
sin x |
= 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 = t, x = t +1, если x → 1, то t → 0. |
Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
sin 7πx |
= lim |
sin(7πt + 7π ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→1 sin8πx |
t→0 sin(8πt + 8π ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin(7πt + 7π ) = −sin(7πt) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(7πt) |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
sin(7πt) |
|
|
|
|
|
|
|
sin(8πt) |
−1 |
7 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
sin(8πt + 8π ) = sin(8πt) |
|
|
|
= −lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7πt |
|
|
8πt |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 sin(8πt) |
|
|
|
|
|
|
8 t→0 |
|
|
|
|
|
|
t→0 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: lim |
sin 7πx |
= − |
7 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 sin8πx |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 +1 |
2n−n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
10. Вычислить предел: |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(неопределённость вида (1∞)). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведём |
|
предел |
|
|
ко |
второму |
|
замечательному |
|
пределу: |
|
|
|
|
+ |
1 |
z |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
= e: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→∞ |
|
|
z |
|
||
|
|
|
+1 |
2n−n |
3 |
|
|
|
−1+ 2 |
2n−n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n−n3 |
|
|
|
|
|
|
n3−1 |
|
4n−2n3 |
|
|
|||||||||||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
3 |
−1 |
|
|
||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||
lim |
|
3 |
−1 |
|
|
|
|
|
= lim |
n |
3 |
−1 |
|
|
|
= lim 1+ |
3 |
−1 |
|
|
= lim 1+ |
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
n→∞ |
n |
|
|
|
|
n→∞ |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
4n−2n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3−1 4n−2n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3−1 n→∞ n3−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
+ |
|
|
2 |
2 n3−1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
= e |
−2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
||||||||
= lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n→∞ |
|
n |
3 |
−1 |
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
n |
3 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
+1 |
|
2n−n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= e−2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. Вычислить предел: lim 1− cos x |
|
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 (e3x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Воспользуемся эквивалентными величинами:. Тогда lim 1− cos x |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 (e3x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= et -1 ~ t, 1− cost ~ t2 / 2 |
при t → |
|
|
|
|
|
x |
2 / 2 |
|
= |
1 |
|. |
Ответ: lim |
1− cos x |
= |
1 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
0 = lim |
|
|
|
|
|
|
|
−1)2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 (3x)2 |
|
|
18 |
|
|
|
|
x→0 (e3x |
|
|
|
18 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: y = 4 x2 (x+1) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Область |
|
определения: |
x (−∞, −1) (−1, 0) (0, ∞). |
В |
области |
|
определения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
функция является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции |
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
граничных |
|
|
|
точках |
|
|
|
области |
|
|
|
определения: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
4x2 (x+1) |
= 4−∞ = 0, |
lim 4x2 (x+1) |
= 4∞ |
= ∞, lim 4x2 (x+1) = lim 4x2 (x+1) |
|
= 4∞ |
= ∞. |
|
|
Таким |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x→−1−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−1+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0−0 |
|
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
образом, в точках x=−1 и x=0 |
функция имеет разрывы второго рода. Прямые x=−1 и x=0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
являются |
|
вертикальными |
|
асимптотами. |
Для |
|
|
построения |
эскиза |
|
графика |
|
функции |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рассмотрим |
поведение |
|
функции |
|
в |
|
бесконечности: |
lim 4x2 (x+1) |
= 4±0 = 1. Прямая y=1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является горизонтальной асимптотой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0.75 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
0.25 |
|
|
0 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|||
|
Ответ: В точке и x=−4 |
функция имеет разрыв второго рода, в остальных точках она |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
непре рывна. Эскиз графика представлен на рисунках (первый график представляет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функцию в интервале от -1 до 0, на втором рисунке этого участок не виден). |
|
|
|
|
|
|
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
, |
x ≤ 1, |
||
13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: y = |
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x, |
x > 1. |
|||
Область |
определения |
функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x (−∞,∞) . Ось |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОХ |
разбивается на два |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
интервала, на каждом из которых функция f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
совпадает с одной из указанных непрерывных |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
функций. Поэтому точкой разрыва может быть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
только |
точка, |
разделяющая |
интервалы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислим односторонние пределы: |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim f (x) = lim x2 |
= 1, |
lim f (x) = lim 2x = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→1−0 |
x→1−0 |
|
x→1+0 |
x→1+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, в точке x=1 функция терпит |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
разрыв первого рода. Величина скачка функции |
|
|
4 |
|
2 |
0 |
2 |
|
4 |
|||||||||
|
|
|
|
в точке x=1 равна 1.
Ответ: В точке x=1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.
14. Исходя из определения производной, найти f ′(0):
|
f (x) = arctg x sin(1/ x), x ≠ 0, |
f (0) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
По определению f ′(x0) =lim |
f (x0 + x) − f (x0 ) |
. Заменим x на x-x0: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
f ′(x |
|
) |
= lim |
|
|
f (x) − f (x0 ) |
. |
Но |
x |
|
= 0, f (x |
|
) = 0, поэтому |
f ′(0) = lim |
f (x) |
. В |
данном |
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→x0 |
x − x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
случае |
f ′(0) = lim |
arctg x sin(1/ x) |
= |
|
arctg t ~ t при t → 0 |
|
= lim |
x sin(1/ x) |
= limsin(1/ x) , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
x→0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
следовательно производной не существует. Ответ: f ′(0) не существует. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
15. |
|
|
Найти |
производную |
|
показательно-степенной |
функции: |
|
y = (x2 |
+1)cos x . |
|||||||||||||||||||||||
Прологарифмируем функцию: |
|
ln y = cos x ln(x2 +1). |
Берём |
производную, как |
|||||||||||||||||||||||||||||
производную неявной функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
y′ |
= −sin x ln(x2 +1) + |
2xcos x |
. Подставляем сюда y: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y′ = [ |
2xcos x |
− sin x ln(x2+1)](x2+1)cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = [ |
2xcos x |
− sin x ln(x2+1)](x2+1)cos x . |
|
|
||
|
|
|
||||
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить y′′ |
: |
|||||
|
|
|
|
|
xx |
|
x |
= ln(1+ t2 ) |
|
|
|
||
|
|
|
t = 1. |
|
|
|
y |
= t − arctg t |
|
|
|
||
|
|
Уравнения касательной |
и нормали к кривой |
y = f (x) имеют вид |
||
y = y0 + y′x (x0 ) (x − x0 ) и y = y0 |
− (1/ y′x (x0 )) (x − x0 ) , |
|
|
где x0 и y0 - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:
4
0.5 |
|
|
0 |
0.5 |
1 |
0.5 |
|
|
x |
0 |
= x(1) = ln 2, y |
0 |
= y(1) = 1− π |
. Найдём производные y′ |
и |
y′′ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yt′ |
|
1− |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y′x )′t |
|
|
|
( |
t |
|
)′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1+ t2 |
|
= |
1+ t2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1+ t2 |
|
|
t |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y′ |
|
= |
|
= |
|
= |
.Тогда |
y′ |
(1) = |
. Далее, |
y′′ |
= |
|
= |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
xt′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ln(1+ t2 ))′ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
xt′ |
|
|
2 2t |
|
|
4t |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
, следовательно, |
|
y′′ |
(1) = |
1 |
. Таким образом, уравнение касательной |
|
|
y = 1− π + |
1 |
(x − ln 2) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
уравнение нормали y = 1− π − 2 (x − ln 2) . Или 2x − 4y + 4 − π − 2ln 2 = 0 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8x + 2y − 4 + π − 8ln 2 = 0 . Ответ: (x0 , y |
0 ) = |
|
|
|
|
− |
π |
|
y′x (x0 ) = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln 2, 1 |
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
′′(x |
|
) = |
1 |
|
|
|
2x − 4y + 4 − π − 2ln 2 = 0 |
|
касательная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
8x + 2y − 4 + π − 8ln 2 = 0 |
|
нормаль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
17. |
Функция |
|
y(x), заданная |
неявно уравнением |
|
xey |
+ ycos x = 1, принимает в |
точке |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
0 |
|
= 0 значение y |
0 |
|
= 1. Найти |
y′ |
, y′′ , y |
′ |
(x |
0 |
), y′′ |
(x |
0 |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
xx |
x |
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Дифференцируем |
|
уравнение |
|
по |
|
x, |
|
|
|
|
предполагая, |
|
|
|
|
что |
|
|
|
|
y= |
y(x): |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ey |
|
+ xey y′ + y′cos x − ysin x = 0 . Из этого равенства находим: |
y′ = |
ysin x − ey |
|
. Находим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xey |
+ cos x |
|
|
|
|
|
|||||||
вторую |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
производную: |
|||||||||||||||
y′′ = |
(y′sin x + ycos x − ey y′)(xey |
+ cos x) − (ey |
+ xey y′ − sin x)(ysin x − ey ) |
. |
|
|
|
|
Вычислим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xey + cos x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
производные |
|
в |
|
|
точке |
x |
|
= 0 : |
y′(0) = −e, |
y′′(0) = 2e2 |
+1. |
Ответ: |
|
y′ = |
ysin x − ey |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
xey + cos x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y′′ = |
(y′sin x + ycos x − ey y′)(xey |
+ cos x) − (ey |
+ xey y′ − sin x)(ysin x − ey ) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xey + cos x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′(0) = −e, y′′(0) = 2e2 +1.
18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью
|
|
|
|
дифференциала: |
y = 3 x, x = 0,982 . |
||
По определению дифференциала y(x0 + x) = y(x0 ) + dy(x0 ) + o( x) или, в других |
|||
обозначениях, |
y(x) = y(x0 ) + dy(x0 ) + o((x − x0 )), x = dx = x − x0 . Отсюда получаем |
формулу для приближённых вычислений: y(x) ≈ y(x0 ) + y′(x0 )(x − x0 ). В данном случае
x |
0 |
= 1, |
y(x |
0 |
) = y(1) = 1, |
y′ = x−2 / 3 /3, |
y′(x |
0 |
) = y′(1) = 1/3, |
x = −0,018. |
Тогда |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y(1) ≈ 1− 0,018/3 = 0,994 . Ответ: y ≈ 0,994 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: lim(cos x)1/ x2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это неопределённость вида (1∞). Преобразуем предел: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
lim(cos x)1/ x2 |
|
|
|
|
|
lim [(1/ x2 ) ln(cos x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= lime(1/ x2 ) ln(cos x) = ex→0 |
|
|
. Найдём |
предел в |
показателе |
степени: |
|||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ln(cos x) |
|
|
0 |
|
(ln(cos x))′ |
|
|
sin x |
|
1 |
|
|
sin x |
|
1 |
|
|
|||||
lim |
|
|
|
|
= |
|
|
= lim |
|
|
= − lim |
|
= − |
|
lim |
|
= − |
|
. Следовательно, |
||||||
|
x2 |
|
|
|
(x2 )′ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
0 |
x→∞ |
|
|
x→∞ 2xcos x |
|
2 x→∞ |
x |
|
2 |
|
|
||||||||||
lim(cos x)1/ x2 |
= e−1/ 2 . Ответ: lim(cos x)1/ x2 = e−1/ 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: lim ln x .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ 10 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
(ln x)′ |
|
|
|
10x9 /10 |
|
|
||||||||||
Это неопределённость вида (∞/∞): |
lim |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ 10 x |
x→+∞ (10 x)′ |
|
x→+∞ |
x |
|
|
||||||||||||||||
= lim |
10 |
= 0 . Ответ: lim |
ln |
x |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→+∞ 10 |
x |
|
|
|
|
x→+∞ |
10 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
21. Многочлен |
по |
|
степеням |
x представить в |
виде многочлена |
по |
степеням |
(x − x0 ) : |
||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = x4 − x + 3, x |
0 |
= 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем |
формулу |
|
|
|
Тейлора |
|
|
для |
многочлена |
|
|
четвёртой |
|
степени: |
||||||||||||||||||||||||
f (x) = f (x |
|
) + f ′(x |
|
)(x − x |
|
) + |
|
|
f ′′(x0 ) |
(x − x |
|
)2 + |
f ′′′(x0 ) |
(x − x |
|
)3 |
+ |
|
f (4) (x0 ) |
(x − x |
|
)4 . |
||||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдём все производные: |
f ′(x) = 4x3 −1, f ′′(x) = 12x2 , f ′′′(x) = 24x , |
f (4) (x) = 24 . Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (3) = 81, |
f ′(3) = 107, f ′′(3) = 108, f ′′′(3) = 72, f (4) (3) = 24. |
|
Подставив это в |
|
формулу, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
получим: f (x) = 81+107(x − 3) + 54(x − 3)2 +12(x − 3)3 + (x − 3)4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: f (x) = 81+107(x − 3) + 54(x − 3)2 |
+12(x − 3)3 + (x − 3)4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию f (x) в окрестности точки x0 с
точностью до o((x − x |
0 |
)3 ) : |
f (x) = earctg x , |
x |
0 |
= −1. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Применяем формулу Тейлора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
f (x) = f (x |
|
) + f ′(x |
|
)(x − x |
|
) + |
f ′′(x0 ) |
(x − x |
|
|
)2 + |
f ′′′(x0 ) |
(x − x |
|
)3 + o((x − x |
|
)3 ) . |
|||||||||
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычисляем последовательно: f (−1) = e−π / 4 , |
|
f ′(x) = earctg x (1+ x2 )−1, |
f ′(−1) = e−π / 4 / 2, |
|||||||||||||||||||||||
f ′′(x) = earctg x (1+ x2 )−2 |
− earctg x (1+ x2 )−2 2x = earctg x (1+ x2 )−2 (1− 2x), |
f ′′(−1) = 3e−π / 4 / 4 |
||||||||||||||||||||||||
f ′′′(x) = earctg x (1+ x2 )−3 (1− 2x) + earctg x (1+ x2 )−4[−2(1+ x2 )2 |
− 2(1+ x2 )2x(1− 2x)], |
|||||||||||||||||||||||||
f ′′′(−1) = 11e−π / 4 /8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: f (x) = e−π / 4 |
+ |
e−π / 4 |
(x +1) + |
3e−π / 4 |
(x +1)2+ |
11e−π / 4 |
(x +1)3+ o((x +1)3 ) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
8 |
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора:
f (x) = |
1 |
− x2 − x, x |
|
= −1. |
|
|
0 |
|
|||
|
x + 2 |
|
|
||
|
|
|
|
||
Найдём значения функции и её первых трёх производных в заданной точке: |
|||||
f (−1) = 1, f ′(x) = −(x + 2)−2 − 2x −1, f ′(−1) = 0, |
f ′′(x) = 2(x + 2)−3 − 2, f ′′(2) = 0, |
||||
f ′′′(x) = −6(x + 2)−4 , f ′′′(−1) = −6. По формуле |
Тейлора f (x) = 1− (x +1)3 + o((x +1)3 ) . |
Ответ: В окрестности точки (2, -2) функция ведёт себя как степенная функция третьей степени. Точка (-1, 1) является точкой перегиба: слева - интервал вогнутости, справа - интервал выпуклости.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x − (x |
−1)ex−1 |
|
|||||||||
24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
2(x −1)3 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|||||||||
Преобразуем предел: lim |
ln x − (x −1)ex−1 |
= |
|
x −1 = t, x = t +1 |
|
= lim |
ln(t +1) − tet |
. По |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
x→1 |
2(x −1)3 |
|
|
x → 1 t → 0 |
|
|
|
t→0 |
|
2t3 |
|
|||||||||
формуле Тейлора ln(1+ t) = t − |
t2 |
+ |
t3 |
+ o(t3 ) . Далее, et = 1+ t + |
t2 |
|
+ |
t3 |
|
+ o(t3 ) . Подставим |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
3 |
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(t +1) |
− tet |
|
1 |
1 |
(t |
− |
|
t |
2 |
t3 |
|
t3 |
+ |
t4 |
+ o(t3 )) = |
|
|
||||||||
это в предел: lim |
|
2t3 |
|
= |
|
lim |
3 |
|
|
+ |
− t − t2 − |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
t→0 |
|
|
|
|
2 t→0 t |
|
|
|
2 3 |
|
|
2 6 |
|
|
|
|
|
|||||||||
= 1 lim 1 |
(− 3t2 |
− t3 |
+ t4 |
+ o(t3 )) = 1 lim(− 3 − 1 + t |
+ o(t3 )) = 1 lim(− 3 ) = −∞ . |
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 t→0 t3 |
|
2 |
|
6 6 |
|
|
|
|
2 t→0 |
|
2t |
6 6 |
t3 |
|
|
|
2 t→0 |
2t |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
ln x − (x −1)ex−1 |
= −∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: lim |
2(x −1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: y = |
|
4x3 |
+ 9x +1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
4x |
2 −1 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Область определения функции: x (−∞, −1/ 2) (−1/ 2, 1/ 2) (1/ 2, |
∞) . Функция |
|
||||||||||||||||||||||||||||
непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
граничных точках области определения: |
|
lim |
4x3 |
+ 9x +1 |
= −∞, |
|
lim |
4x3 + 9x +1 |
= ∞ , |
|||||||||||||||||||||
|
4x2 −1 |
|
|
4x2 |
−1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−1/ 2−0 |
|
|
|
|
|
x→−1/ 2+0 |
|
||||||||
4x3 |
+ 9x +1 |
= −∞, |
|
lim |
|
4x3 + 9x +1 |
= ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
4x2 −1 |
|
|
|
|
4x2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→1/ 2−0 |
|
|
|
x→−1/ 2+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|||||||||
Отсюда следует, что прямые x = −1/ 2 и x = 1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
являются вертикальными асимптотами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||
Исследуем функцию при x → ±∞ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4x3 |
+ 9x +1 |
= −∞, lim |
4x3 |
+ 9x +1 |
= ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
|
|
−1 |
|
|
|
|
−1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
|
2 |
||||||||||
x→−∞ 4x2 |
|
|
|
x→∞ |
4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ищем наклонные асимптоты в виде y = kx + b : |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = lim |
f (x) |
= |
lim |
4x3 |
+ 9x +1 |
= 1, b |
= lim[ f (x) − kx] = lim[ |
4x3 + 9x +1 |
− x)] = |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 −12 |
|
|
|||||||||||||||||||
x→±∞ |
x |
|
x→±∞ (4x2 −1) |
x |
|
|
|
x→±∞ |
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
= |
lim |
4x3 |
+ 9x +1− 4x3 |
+ x |
= |
lim |
10x +1 |
|
= 0. |
|
|
4x2 −1 |
|
|
−1 |
||||||
|
x→±∞ |
|
|
x→±∞ 4x2 |
|
|||||
Следовательно, прямая |
y = x является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика |
представлен на рисунке.
26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график:
y= x31− x .
1.Область определения: x (−∞, ∞) . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. 3. Функция не имеет разрывов. Вертикальных асимптот нет.
4. lim x3 1− x = −∞, lim x3 1− x = −∞ . Ищем наклонные асимптоты в виде y = kx + b :
x→−∞ |
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f (x) |
= lim (x3 |
|
/ x)= lim 3 |
|
|
= M∞, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
k = lim |
1− x |
1− x |
. Следовательно, наклонных асимптот |
||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
x→±∞ |
x |
x→±∞ |
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Первая производная y′ = [x 3 |
|
]′ = 3 |
|
− |
x |
(1− x)−2 / 3 = |
3 − |
3x − x |
|
= |
1 |
|
|
3 − 4x |
|
. |
|||||||
1− x |
1− x |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
3 3 (1− x)2 |
3 |
|
3 (1− x)2 |
Производная обращается в нуль в точке x = 3/ 4 . Слева от точки производная положительна, справа отрицательна. Следовательно, в точке x = 3/ 4 имеет место
максимум функции, причём f (3) = 3 . В точке x = 1 производная не существует. В
443 4
интервале (−∞, 3/ 4) функция монотонно возрастает, в интервале (3/ 4,1) функция монотонно убывает, в интервале (1, ∞) функция также монотонно убывает.
7
6. Вторая производная: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y′′ = |
|
1 |
|
|
3 − 4x |
′ |
= − |
4 |
(1− x)−2 / 3 |
+ |
1 |
|
2 |
(3 − 4x)(1− x)−5 / 3 |
= −12 +12x + 6 − 8x = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
3 (1− x)2 |
3 |
|
3 |
3 |
|
9 3 (1− x)5 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
2 |
|
|
|
2x − 3 |
|
. Вторая производная обращается в нуль в точке x = 3/ 2 и не существует в |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
93 (1− x)5
точке x = 1. Имеем три интервала. В интервале
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−∞,1) вторая производная отрицательна, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
следовательно, график функции выпуклый, в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интервале (1, 3/ 2) вторая производная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
положительна, следовательно, график функции |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вогнутый, в интервале (3/ 2, ∞) вторая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
производная отрицательна, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
график функции выпуклый. Точки x = 1 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = 3/ 2 являются точками перегиба. 7. График |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
функции пересекает оси координат в точках |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = 0 и x = 1. Ответ: График функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представлен на рисунке, экстремум – максимум – в точке ( |
3 |
, |
3 |
|
|
|
) . Точки перегиба - |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
4 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1, 0) и (3 , − 3 ). Асимптот нет.
223 2
8