Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач-Пономаренко ВН

.pdf

Скачиваний:

253

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 142 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

1)	y =sin2 x ;	2)	y = cos x3 ;
3)	y =1 −sin x ;	4)	y = 2x2 .

2.9. Исследовать на возрастание и убывание функции:

1)	y = x +arctg x ;					2)				3x	−	π	;
							y = sin
												6
3)	y =		1	, x ≠1	;	4)	y =		1			.
		x3	−1					1	+cos2 x

2.10.Выяснить, какие из нижеследующих функций ограничены, а какие не ограничены на указанных промежутках. Для ограниченных сверху (снизу) функций найти точную верхнюю (нижнюю) грань:

1)	f (x)= x2 + 2 на		[−1;3]				;
3)	f (x)= tg2 x	на	–	π	;	π		;
				4		4

2.11.Найти f (x), если:

1)f (x +1)= x2 −3x +2 ;

3)		1	= x +	1 + x	2	;
	f
	x

2)	y = tg x на			–	π	;	π	;
					2		2
4)	y = x +	1	на		1	;2 .
		x
					2

		1		2		1		(	x	≥ 2);

2)	f x +		= x		+
						x	2
		x

4) f x x+1 = x2 .

§3. Построение графиков функций

Основными элементарными функциями считаются: константа y = c , где c , степенная функция y = xα , показательная функция y = ax , a >0, a ≠1,

логарифмическая функция y = loga x, a > 0, a ≠1, тригонометрические функции y =sin x , y = cos x , y = tg x , y =ctg x , обратные тригонометрические функции

y = arcsin x , y = arccos x , y = arctg x и y = arcctg x .

Элементарной называется функция, полученная из основных элементарных функций конечным числом их композиций и арифметических операций.

Построение графика функции		b	+ D	в общем случае сводит-
Построение графика функции	y = Cf a x +		+ D	в общем случае сводит-
		a

ся к ряду преобразований (сдвиг, сжатие, отображение и т.д.) графика функции y = f (x).

Функция

Преобразование, которое следует провести с графиком

y = f (x) на плоскости хОу

Сдвиг вверх по оси Oy графика функции y = f (x) на А

f (x)+ A,

A ≠ 0

единиц, если А > 0, и сдвиг вниз на

единиц, если А < 0

Сдвиг вправо по оси Oх на а единиц, если а > 0, и сдвиг

f (x −a),

a ≠ 0

вниз на

единиц, если а < 0

Растяжение вдоль оси Oy относительно оси Ох в k раз,

kf (x), k > 0 ,

k ≠1

если k > 1, сжатие вдоль оси Оу в 1 k раз, если 0 < k <1

Сжатие вдоль оси Oх относительно оси Оу в k раз, если

f (kx), k > 0 ,

k ≠1

k > 1, и ратяжение вдоль оси Ох в 1 k раз, если 0 < k <1

−f (x)

Симметричное отображение графика относительно оси Ох

Часть графика, расположенная ниже оси Ох, симметрично

f (x)

отражается относительно этой оси, остальная часть остает-

ся без изменения

f (−x)

Симметричное отображение графика относительно оси Оу

Стереть часть графика функции y = f (x), лежащую слева

f (

)

от оси Оу; часть графика лежащего справа от оси Оу сим-

метрично отобразить относительно оси Оу, в область x < 0

3.1.Используя правило построения графика функции y = Af (x) по графику функции y = f (x) , построить эскизы графиков следующих функций:

1)	y = −x2 ;			2)	y = −cos x ;
3)	y =	1	tg x ;	4)	y =	1	log	x .
	4					2	1/ 3
	4					2

3.2.Используя правило построения графика функции y = f (−x) по графику функции y = f (x) , построить эскизы графиков следующих функций:

1)	y = log2 (−x);	2)	y = −x ;
3)	y = sin (−x);	4)	y =2−x ;

5)y = 1 −2 x ; 6) y = ctg (−x).

3.3.Используя правило построения графика функции y = f (kx) (k ≠ 0) по графику функции y = f (x) , построить эскизы графиков следующих функций:

1)	y = sin 2x ;			2)	y = cosπ x ;
3)	y = log2 2 x ;			4)	y = ctg (−2x);
5)	y = tg	1	x ;	6)	y =sin	x	.

	4				π

3.4.Используя правило построения графика функции y = f (x + a) (a ≠ 0) по графику функции y = f (x) , построить эскизы графиков следующих функций:

1)	y =(x −2)2 ;			2)	y = 2 + x ;
		π			y =	1
3)	y = cos x +		;	4)			;
3)	y = cos x +	3	;	4)		x −3	;
		3				x −3
5)	y = 21−x ;			6)	y = log1/ 3 (x +1).

3.5.Используя правило построения графика функции y = f (ax +b) по графи-

ку функции y = f (x) , построить эскизы графиков следующих функций:

1)	y = log3 (2x + 3);				2)	y = 3 2 −3x ;
	y =		1					π
3)				;	4)	y = ctg	2x +		;
3)		1	−2x	;	4)	y = ctg	2x +		;
		1	−2x					3
5)	y = 2x − x2 +4;				6)	y =sin x +cos x .

3.6.Используя правило построения графика функции y = f (x)+ A по графику функции y = f (x) , построить эскизы графиков следующих функций:

1)	y =1 +sin x ;	2)	y = 2 + log2 (1 + x);
3)	y = 2 − x ;	4)	y = x2 +4x +8 ;
5)	y =2 −3(x −1)2 ;	6)	y = tg x +1.

3.7. Построить эскизы графиков следующих рациональных функций:


1)	y =	5x −1		;		2)	y =	7x + 2		;
								x
		3x + 2
3)	y = −		x + 2		;	4)	y =	4 + x	.
			x +5
								2x +1

3.8.Построить эскиз графиков следующих функций, используя преобразования графиков:

y =

3x +

+1;

sin

y = arcctg

1− x

;

3x +

y = x − 4 +

x − 2

;

y =

1−3x

;

2x +1

2) y = −2 tg 3πx −4π ; 6

4)y = 3cos 2x − π +1;


6)	y =	4 −5x+1				;
6)	y =	4 −5x+1				;
8)	y =	2x +3			.


			x
			x	−1

3.9. Построить эскизы графиков обратных тригонометрических функций:

1)	y =arcsin(	2x +1);				2)	y =arccos(	3x −2);
3)	y = arcsin	1 −5x			;	4)		1	+3x			;
3)	y = arcsin	4			;	4)	y = arcsin					;
		4								7
	1+		x				2			x	−3
	1+		x				2			x	−3
5)	y = arctg			;		6)	y = arcctg						;

		4							5
		4							5

1 + x

y = arcsin

;

y = arccos

;

1 − x

x −3

y =

;

10) y = arcctg

arctg

-1

− 2

3.10. Построить эскизы графиков сложных функций:

	1		y =log1 (x2 + x);
1)	y = 2x ;	2)	y =log1 (x2 + x);

				2
3)	y = 2x2 ;	4)	y =sin2 x ;
5)	y = 1 −sin2 x ;	6)	y =sin2 x +cos2 x ;
7)	y = 2sin x ;	8)	y =e−x2 +x ;
9)	y = x −sin x ;	10) y = x2 cos x .

3.11.Построить эскизы графиков кривых, заданных в полярной системе координат уравнениями:

1) r = 2ϕ;

3) r = cosϕ ;

5) r =sin 3ϕ;

7) r =ϕa ;

9)r2 = a2 cos 2ϕ ;

3.12.Построить эскизы графиков функций:

1)y = xsgn x ;

3) y = esgn x ;

5) y ={lg x};

7) y = x −[x].

2) r =sinϕ ;

4) r = cos 2ϕ ;

6) r = 2 ;

8) r = cos1ϕ ;

10) r =1 + 2cosϕ .

2)	y = xsgn(sin x);
4)	y =sgn(lg x);
6)	y =[lg x];

3.13. Построить график функции y = cos(2arccos x).

§4. Числовые последовательности и теория пределов

Функция целочисленного аргумента называется последовательностью. Чис-

ло a называется пределом последовательности an (nlim→∞ an = a), если для любого положительного ε найдется такой номер N , что при n > N выполняется нера-

венство

an −a

<ε .

называется бесконечно малой, если lim a

Последовательность a

= 0 . Если

n→∞

lim a

= ∞, последовательность называется бесконечно большой.

n→∞

Последовательность an

называется: а) ограниченной, если существует c

такая, что

< c , n = 1, 2,... ; б) монотонной, если an+1 ≤ an (или

an+1 ≥ an ),

n =1, 2, … .

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

4.1.Доказать, что последовательности, общий член которых имеет указанный ниже вид, монотонно возрастают:

a = n3

+ 2n ;

a =

;

+10

an =3 −arcsin

;

an =

+ 4

4.2.

Найти наибольшие члены последовательностей, имеющих общий член an :

an =

;

an =

(

39 )n

;

+1000

nπ

π2n

an =sin 2

;

an =

(2n +1)!

4.3.

Последовательность

{an}

задается

рекуррентным соотношением

an+1 =3an −2an−1, n = 2, 3,… . Выразить {an} через a1 , a2 и n .

4.4.Найти формулу общего члена рекуррентной последовательности {an},

если an+1 =3an −2an−1, n = 2, 3,… .

4.5.Доказать, что последовательности являются бесконечно малыми:

1)	x =(−1)n 1		;	2) xn = (−1)n sin
	n	n		n
		n		n

4.6. Доказать, пользуясь определением предела, равенства:

n π .

1)	lim	2n −3		=	1	;
		4n +5			2
	n→∞
3)	lim	1	= 0 ;
		2 n
	n→∞

4.7. Докажите следующие равенства:

2)	lim	(−1)n	= 0	;
2)	lim	n2	= 0	;
	n→∞	n2
		2n + (−1)n
4)	lim				=1.
4)	lim	2n			=1.
	n→∞	2n

lim

= 0 ;

lim nk

= 0

, где k , a >1;

n→∞

n→∞ an

lim

= 0 , где k , a >1;

lim loga n

=0 , где a > 0 ;

1/ k

n→∞ an

n→∞

lim

= 0 ;

lim

= 0

;

n→∞ n!

lim n1/ n

=1;

lim

= 0.

(n!)1/ n

n→∞

4.8.Доказать, что последовательность с общим членом xn =3 +(−1)n не имеет предела.

4.9. Доказать, что lim	5n +6	=5. Начиная с какого		5n + 6	−5	не превосхо-
			n
	n +1			n +1
n→∞

дит 0,01?

4.10.Пользуясь теоремой о пределе монотонной последовательности, доказать, что существуют пределы данных последовательностей:

x = 2n2 +1 ;

xn =1+

+…+

;

22 32

x =

1+ 1

+…+

;

x =

1+1+

+…+

;

2! 3!

xn =1+

+…+

;

x =

+…+

2 2 3 22

n 2n−1

n +1

n + 2

4.11.Найти пределы последовательностей, пользуясь теоремами о пределах суммы, произведения, частного последовательностей:

1)	x =	3 −n	−	3n2 + 2	;

	n	2n +1		4n2 +1

3)	x	=	(−1)n n		n		;

	n		2n −1 n2		+ n +1

5)	x	=	n2	+1 +	n	;

	n		3 n2	+ n −	n

4.12. Найти пределы:

1) lim n +1 ;

n→∞ n

lim

(n +1)3 − (n −1)3

;

(n +1)2 + (n −1)2

n→∞

lim

100n3 + 3n2

;

n→∞

0,001n4 −100n3 +1

lim

(2n +1)4 − (n −1)4

;

n→∞

(2n +1)4 + (n −1)4

lim

3 n2 + n

;

n +1

n→∞

11) lim

;

(n +1)!−n!

n→∞

13) lim

(n +2)!+(n +1)!

;

(n +2)!−(n +1)!

n→∞

15) lim	1		(1+2 +3 +... +n) ;
15) lim			(1+2 +3 +... +n) ;
n→∞ n2
17) lim		1	− 2 + 3 − 4 +...							− 2n				;
17) lim							n2 +1							;
n→∞							n2 +1
19) lim			2		2		+... + (2n −3					1)	2		;
19) lim		13		+ 33			+... + (2n −3					1)			;
n→∞	n				n						n
21) lim			1		+		1		+... +			1				;
			1				1					1
		1	2			2		3			n(n +1)
n→∞		1	2			2		3			n(n +1)


2)	x =	2n		cos	n +1	;

	n	2n2	−1		2n −1

4) xn =1(−n −n)2 ;

3n +1 3

6) xn = n + lg n + 2n . n2 + lg n − 2n

lim

(n +1)2

;

2n2

n→∞

lim

n3 −100n2 +1

;

100n2 +15n

n→∞

lim

(n +1)4 − (n −1)4

;

n→∞

(n +1)4 + (n −1)4

lim

3 n3 + 2n −1

;

n + 2

n→∞

10) lim

(

n2 +1 + n)2

;

3 n6 +1

n→∞

12) lim

(n +2)!+(n +1)!

;

n→∞

(n +3)!

1+ 1 + 1 +…+

14) lim

;

n→∞ 1+ 1 + 1 +…+

16) lim

1+ 2 +3 +... + n − n

;

n→∞

n + 2

18) lim

(n −31)

;

13 + 23 +...

n→∞

20) lim

+…

2n −1

;

n→∞

22) limn→∞(

(n2 +1)(n2 −4) −

n4 −9 );

23) limn→∞ n(3 (n + 2)2 − 3 (n −3)2 );

25) lim n2 −2				1	n4	;
n→∞	n
n −10					3n+1
27) lim						;
n→∞ n +1
	3				2n−n3
29) lim n3		+1				;
n→∞ n		−1
		2		−	6n +7		−n+1
31) lim	3n			−	6n +7			;
31) lim	2		+ 20n −1					;
n→∞	3n		+ 20n −1
33) lim		2		+3n −1			n2
	5n			+3n −1				;
	2		+3n +3					;
n→∞ 5n			+3n +3

24) lim 2n +3 n+1 ; n→∞ 2n +1

26) lim n −1 n+2 ; n→∞ n +3

28) lim n −1 n2 ;
n→∞ n +1
30) lim n3 +3			n +1	2n2		;
n→∞	n		+ 2
	2				−n2
32) lim n2		+ n +1				;
n→∞ n		+ n −1
	7n	2	+18n −15				n+2
34) lim	7n		+18n −15				.
34) lim	7n	2	+11n +15				.
n→∞	7n		+11n +15

4.13. Построить графики предельных функций:

f (x) = lim

x +enx

;

f (x) = lim 1

, −∞ < x < +∞ ;

n→+∞ 1+e

n→∞

< x <+∞;

f (x) =limn

x +

−

x ,0

f (x) = lim n 1+ x

, x ≥ 0 ;

n→∞

n→+∞

f (x) =limarctg nx , −∞ < x < +∞ .

n→∞

4.14. Вычислить пределы:

lim nsin (2πen!);

lim sin2 π n2

+ n .

n→∞

4.15. Найти предел последовательности, опреляемой следующими условиями:

x = 2 ;	x = 2 + 1		;	x	= 2 +		1	, n ≥ 2 .

1	2	3		n+1		3	+1 xn−1

§5. Предел функции одной переменной

Всякий интервал (a −δ;a +δ ), содержащий точку a , называется δ -окре-

стностью точки a .
Число b называется пределом функции y = f (x)	в точке x = a ( lim f (x) =b ),
	x→a

если, каково бы ни было наперед заданное положительное число ε , существует такое число δ (ε )> 0 , что для любого x , отличного от a , содержащегося в

δ -окрестности точки

a , выполняется неравенство

f (x)−b

<ε , иначе говоря,

если выполнение неравенства 0 <

x − a

<δ влечет за собой выполнение нера-

венства

f (x)−b

<ε .

Функция y = f (x) называется бесконечно малой в окрестности точки x = a ,

если ее предел в этой точке равен нулю.
Пусть α (x)	и β (x)	две бесконечно малые функции. Если lim	α(x)	= c , то
			β (x)
		x→a
при c ≠ 0 α (x)	и β (x)	называются бесконечно малыми одного порядка, при-

чем если с =1, α (x) и β (x) называются эквивалентными бесконечно малыми;

если с = 0 , α (x) называется бесконечно малой высшего порядка по отношению к β (x), а β (x) бесконечно малой низшего порядка по отношению к α (x).

Основные эквивалентности (при x → 0 ):
1)	sin x x ;	2)	1−cos x x2	2 ;	3)	tg x ~ x ;
4)	arcsin x x ;	5)	arctg x x ;		6)	ex −1 x ;
7)	ln (1 + x) x ;	8)	(1+ x)m −1 mx;		9)	ax −1 xln a .
5.1. Пусть lim f (x)≠ 0 , а		lim ϕ(x) не		существует.		Доказать, что
	x → x0	x → x0

x→ x0 f (x)ϕ(x) не существует.

5.2.Пусть функция f (x) имеет предел в точке x0 , а функция ϕ (x) не имеет предела. Будут ли существовать пределы:lim

<<< < Предыдущая 12 / 142 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.06.2015256 Кб21СамГУ Контрольная Экон. теория 2 семестр ГМУ.doc
#
16.03.2015256.73 Кб19Самостоятельная работа.pdf
#
19.12.20188.28 Mб2Саша! САШАКАН!!!.doc
#
12.06.201561.3 Кб109Сборка.docx
#
16.03.2015179.2 Кб22Сборник заданий.doc
#
29.03.20161.08 Mб253Сборник задач-Пономаренко ВН.pdf
#
07.06.20151.23 Mб24сборник кон 22 июня.pdf
#
20.08.20197.27 Mб17Сборник лаб. работ по ТТИ.docx
#
22.11.20192.65 Mб16Сборник_1.doc
#
16.03.201512.16 Кб30СВАРКА Реком. литература.docx
#
16.03.20153.37 Mб440СВАРКА Учебное пособие.doc