Физика - Оптика
.docОптика
Все действия света характеризуются вектором напряжённости.
Уравнение электромагнитной волны: . В прозрачных средах . Показатель преломления среды . Т.к. зависит от частоты колебаний, то .
Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.
Длина волны в среде , где – длина волны в вакууме.
Модуль среднего по времени значения плотности потока энергии, переносимой волной, называется интенсивностью волны: . Т.к. , то . Пусть . Тогда .
Свет излучается цугами. Каждый цуг длится порядка с.
В однородной среде свет распространяется прямолинейно (при отсутствии маленьких отверстий). При пересечении световых лучей они не возмущают друг друга (при не слишком больших интенсивностях).
Отражённый луч лежит в одной плоскости с падающим и с перпендикуляром, восстановленным в точке падения, причём угол падения равен углу отражения.
Закон преломления: , где – угол преломления, – скорость в i-й среде, – преломление i-й среды.
.
Оптическая длина пути .
Принцип Ферма: Свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.
.
Интерференция световых волн
Пусть в какую-то точку приходят две волны: , . Тогда амплитуда результирующего колебания . Усреднив по времени, получим: (где ), следовательно, .
Если разность фаз остаётся постоянной по времени, то такие лучи называются когерентными. Тогда .
Явление перераспределения интенсивности называется интерференцией.
Пусть один луч расщепили на два и пустили их по путям и . Тогда у начального луча фаза , у расщеплённых – . Когда оптическая разность хода , будет максимум распределения интенсивности, а когда , будет минимум распределения интенсивности.
Интерференция от двух источников
– разность хода. При этом . Оптическая разность хода , где m – любое целое число. Отсюда видно, что ширина интерференционной полосы .
Пусть распространяются две волны: , . Суммарная волна . Отсюда видно, что амплитуда суммарного колебания зависит от точки экрана, в которую она попадает. Если , то наблюдается максимум, следовательно, , где – угол между волнами.
Интерференция на тонких пластинах
Оптический путь левого луча внутри пластинки: . Оптический путь правого луча, проходимый им в то время, пока второй луч идёт внутри пластинки: . Оптическая разность хода: , следовательно, .
При отражении от границы раздела двух сред, если вторая среда более оптически плотная, то происходит скачок фазы на .
Следовательно, .
Найдём , следовательно, оптическая разность хода . Если , то кольцо светлое. Если , то кольцо тёмное.
Радиус m-го кольца: .
Временная когерентность
Пусть есть цуг, растянутый во временном промежутке с амплитудой при . Разложим его в интеграл Фурье: , где . При этом , т.к. – нечётная функция, а , т.к. при , т.к. и – большие частоты.
Интенсивность света .
.
Время когерентности – это то время, за которое случайное изменение фазы колебания достигнет значения порядка .
– длина когерентности – то расстояние, которое волна проходит за время когерентности.
Если оптическая разность хода порядка , то эти два луча становятся некогерентными.
Вернёмся к пластинке: , т.к. .
Таким образом, толщина b должна быть порядка м.
Пространственная когерентность
Пусть в пространстве распространяется сферическая волна. Выясним, какое максимальное расстояние d между двумя точками на её фронте можно взять, при котором волна всё ещё будет когерентна сама себе. Для этого можно обернуть картину и представить, что свет, излученный двумя точечными источниками, находящимися на расстоянии d попадает в точку с координатой u. Тогда оптическая разность хода и если , то волны будут когерентны. – ширина когерентности – предельное расстояние на фронте волны, в двух точках которого волны ещё когерентны. Угол когерентности .
Дифракция
Принцип Гюйгенса: Каждая точка волнового фронта является источником вторичных волн, а огибающая этих вторичных волн есть новое положение фронта волны.
Принцип Гюйгенса-Френеля: Амплитуда вторичной волны пропорциональна площади элемента, который её испускает.
Уравнение волны, испущенной площадкой , где – угол между нормалью к площадке и направлением, в котором рассматривается излучение, – коэффициент, введённый Френелем, , – фаза колебания в точке на поверхности фронта. Уравнение всего волнового фронта: , где S – его площадь (например, на рисунке это площадь щели).
Зоны Френеля
Зоны, ограниченные точками с расстоянием от волнового фронта до точки P, равном , называются зонами Френеля.
Разность фаз у соответствующих волн из разных зон Френеля равна .
.
Площадь сегмента . Площадь зоны .
Если углы очень малы, то . Тогда амплитуда колебаний в точке P , где – амплитуда колебания, приходящего из i-й зоны Френеля; , т.к. .
Радиус m-й зоны .
Количество зон, открываемых отверстием радиуса .
Дифракция Фраунгофера
Так как, согласно принципу Гюйгенса-Френеля, амплитуда пропорциональна площади излучающей поверхности, а она в случае, изображённом на рисунке, пропорциональна ширине отрезка, лежащего в щели, то . Амплитуда приходящей волны .
Разность хода ; сдвиг фазы .
. Интенсивность . Количество минимумов (т.к. ). Угловая ширина центрального максимума .
Количественный критерий дифракции Френеля и дифракции Фраунгофера
. Если лучи параллельны, то . . Если , то наблюдается дифракция Фраунгофера (т.к. порядок l примерно такой же, как и у r), если , то наблюдается дифракция Френеля, а если , то дифракции нет.
. В случае дифракции Фраунгофера в точке наблюдения на оси системы щель открывает малую долю первой зоны Френеля.
Многолучевая интерференция
Пусть складывается N колебаний с одинаковой амплитудой A и сдвиг фаз между которыми одинаков и равен . Тогда, как видно из векторной диаграммы, . Тогда амплитуда суммарного колебания , где – интенсивность лучей, приходящих в точку, где складываются колебания. При . Координаты минимумов: , где k – номер минимума, . При – резкий максимум.
Дифракционная решётка
Дифракционной решёткой называется система из одинаковых щелей, расположенных на одинаковом расстоянии в линию.
Так как на щелях дифракционной решётки происходит дифракция Фраунгофера, то распределение интенсивности .
Оптическая разность хода .
Условие минимума: . Угловая ширина центрального максимума: .
Основные характеристики спектрального прибора:
Угловая дисперсия – величина , где – разность углов, соответствующих разным длинами волн, – разность этих длин волн, при малых .
Разрешающая сила или разрешающая способность – величина .
Критерий Релея: Два близких максимума воспринимаются раздельно, если середина одного максимума совпадает с краем другого.
– условие максимума для волны , – условие соседнего минимума для волны . По критерию .
Формула Брэгга-Вульфа: – условие максимума при дифракции отражённых рентгеновских лучей на кристалле.
Дифракция на кристалле используется для анализа спектрального состава рентгеновского излучения и ля исследования кристаллов.
Поляризация
Разложим на компоненты: и пусть . Тогда – уравнение траектории конца .
При будет – линейная поляризация.
При будет – эллиптическая поляризация. Если вдобавок , то поляризация круговая.
Поляризатор пропускает все волны, в которых колеблется в определённом направлении (например, ). Тогда, если , то и, т.к. , – закон Моллюса.
Степень поляризованности света .
Формулы Френеля
Разложим векторы: , где «||» – вектор, лежащий в плоскости рисунка и перпендикулярный лучу, «» – вектор, параллельный оси y.
Условия на границе раздела двух диэлектриков: , т.е. , т.к. лежит в плоскости xy. Из рисунка видно, что . Обозначим . Тогда , .
Таким образом, .
Отсюда следует, что . Если , то в отражённом свете будет отсутствовать , т.е. свет будет поляризован. – соответствующий угол падения (угол Брюстера). , где – закон Брюстера.
Формулы Френеля:
-
;
-
;
-
;
-
.
Рассмотрим случай почти нормального падения, т.е. когда и – очень малые углы. Тогда и формулы преобразуются следующим образом:
-
;
-
;
-
;
-
.
при , следовательно, на рисунке направление выбрано верно, а, значит, при отражении от оптически более плотной среды фаза действительно скачком меняется на .
Если , то можно подобрать такой угол падения, что , т.е. . Тогда . Аналогично и , следовательно, в среду с оптической плотностью луч не проходит.
Коэффициент отражения .
Коэффициент прохождения .
Двойное лучепреломление
Это явление наблюдается при прохождении света через кристаллы, не обладающие кубической структурой. Явление заключается в том, что луч распадается на два, причём каждый распространяется со своей скоростью и, вообще говоря, в разных направлениях.
Оптическая ось кристалла – направление, при распространении луча света вдоль которого разделение на два луча не происходит.
Любая плоскость, содержащая ось кристалла, называется главным сечением кристалла.
Луч, для которого выполняются законы преломления, называется обыкновенным, другой – необыкновенным.
Оба луча оказываются линейно поляризованными во взаимно перпендикулярных направлениях. Плоскость колебаний обыкновенного луча перпендикулярна плоскости кристалла.
Диаграммы скоростей:
Кристаллы, в которых обыкновенный луч движется быстрее необыкновенного, называются положительными, другие – отрицательными.
Интерференция поляризованных лучей
Пусть есть кристаллическая пластина, вырезанная вдоль оптической оси и на неё нормально падает луч света с длиной волны . Тогда два луча – обыкновенный и необыкновенный – будут двигаться с разными скоростями и, следовательно, для них будут разные показатели преломления. Обозначим – оптическая плотность для обыкновенного луча, – для необыкновенного. Тогда оптическая разность хода , где d – толщина пластинки. Разность фаз .
Кристаллическая пластинка, вырезанная вдоль оптической оси с толщиной называется пластинкой в четверть длины волны; с толщиной – пластинкой в половину длины волны.
Искусственное двойное лучепреломление
Эффект Керра: . Разность фаз обыкновенного и необыкновенного луча после прохождения такой ячейки , где B – постоянна Керра.
Явление двойного лучепреломления может возникать и в кристаллах с кубической структурой и в аморфных телах при создании в них механической деформации.
Вращение плоскости поляризации
При прохождении плоскополяризованного света через оптически активное вещество плоскость поляризации поворачивается на угол, пропорциональный длине пути света в этом веществе: . Если это вещество – жидкость, то , где – удельная постоянная вращения, c – концентрация вещества, растворённого в жидкости.
Дисперсия
Пусть складываются две волны: . Разность фаз . Приращение разности фаз . Перейдём в такую систему отсчёта, что , т.е. в систему отсчёта, связанную с движением «горба» биения. Тогда .