mmp2

По той же причине, т.е. благодаря постоянным коэффициентам (а значит и трансляционной инвариантности), уравнение упрощается с помощью преобразования Фурье

скалярное произведение. Преобразование Фурье переводит дифференциальные опера-

ωk-представлении

→ ∞

мыкается в верхней полуплоскости, где подынтегральная функция не имеет полюсов. Поэтому интеграл по замкнутому контуру равен нулю. При t > 0 контур замыкается в нижней полуплоскости, поэтому интеграл равен вычету в полюсе ω = − k2, взято-

му с противоположным знаком из-за отрицательного направления обхода. С помощью ступенчатой функции Θ(t) ответ можно записать в виде одной формулы:

Конкретное значение интеграла зависит от размерности n. В декартовых координатах переменные разделяются и интеграл распадается в произведение n одинаковых одно-

кратных интегралов, которые легко берутся. Получается

При n = 1 функция переходит в известное автомодельное решение уравнения тепло-

проводности с точечным начальным условием.

спроектировать вектор (v2t /2+v2x/2, vtvx) на периметр, т.е. на вектор ds = (dx, dt). На основаниях трапеции вектор ds = (dx, 0) и интегрировать надо только первое слагаемое. Вдоль ребер трапеции dx = dt и интеграл второго рода по ds сводится к интегралу первого рода по dt. Учитывая направление интегрирования, указанное стрелками,

получим

Поскольку интегралы неотрицательно определены, получается неравенство E > E . Значит, если E = 0, то и E = 0. Мы показали, что уравнение с нулевым начальным условием имеет нулевое решение в трапеции Ω. Верхнее основание можно двигать вверх вплоть до C, точки пересечения характеристик. Значит решение неоднородной задачи единственно в характеристическом треугольнике ABC. Если начальное условие поставлено на всей оси, решение единственно в полуплоскости t > 0.

Связь функций Грина первого и второго рода

Вторая полуоднородная задача для волнового уравнения, задача Коши, содержит два начальных условия

Поэтому и функция Грина второго рода получается двухкомпонентная. Решение дается суммой двух интегралов по начальной поверхности = Rn:

Z

Выведем формулу Грина для волнового уравнения, которая поможет нам установить связь между функциями Грина первого и второго рода. Возьмем решение u задачи

(13.9) и функцию Грина первого рода, которая является решением задачи

действует на пространстве функций, которые обращаются в нуль на концах отрезка [0, l]: ψ(0) = ψ(l) = 0. Нормированные собственные функции и собственные значения

тогда равны

Несколько функций показаны на рисунке 14.1. Такой спектр называют дискретным (или точечным) и обозначается σp.

Если область определения оператора некомпактна, то наряду с функциями дискретного спектра, появляются функции непрерывного спектра.

Пример 14.3. Попробуем найти собственные функции оператора

^ = − d A dx,

принадлежащие L2(−∞, ∞). Это значит, что функции должны достаточно быстро убы-

вать на бесконечности, чтобы интеграл от квадрата модуля функции сходился. Можно проверить, что ψk = kx удовлетворяет уравнению для собственных функций с собственным значением k R. Однако такая функция не лежит в L2, интеграл от квадрата

ее модуля расходится.

Среди функций пространства L2 решений нашей спектральной задачи нет, но решения имеются среди функций, близких к ψk. Если умножить на весовую функцию w(k) L2 и проинтегрировать:

Z

Ψ(x) = w(k)ψk(x) dk,

σc

где σc = R, то интеграл уже лежит в нужном пространстве Ψ L2.

Если выбрать весовую функцию (волновой пакет ширины ∆k = ǫ), локализованную вблизи некоторого k = k0, то функция Ψ близка к функции ψk в сколь угодно большой области пространства ∆x 1/ǫ → ∞, ǫ → 0, но уже интегрируема вместе с

квадратом. Такие собственные значения мы назовем непрерывным спектром, а множество таких значений будем обозначать σc. В данном примере σc = R. Сами функции

будем называть собственными функциями непрерывного спектра. Выберем, например,

ǫ/π w(k) = (k − k0)2 + ǫ2 .

∞

Интеграл вычисляется с помощью вычетов, причем правило замыкания контура зависит от знака x, поэтому в ответ входит |x|.

В некоторых книгах предлагается представлять x > 0 себе непрерывный спектр оператора, как предел дис- k кретного спектра из примера 14.2, когда размер ящи-

k0-i ε

z

λ+i ε

Рис. 14.2. Контур, по которому обходится полюс при вычислении вычета, и контур, по которому обходится разрез при расчете скачка (ε → +0) .

3. Спектральное разложение (14.1) резольвенты имеет вид

Данное свойство следует из предыдущего.

Из разложения (14.2) видно, что у резольвенты есть два типа особенностей: полюсы отдельных слагаемых суммы и разрезы в подынтегральном выражении. Полюсы отвечают дискретному спектру, а разрезы непрерывному. Выведем формулы для вычета в полюсе и скачка резольвенты на разрезе.

Вычет в полюсе z = λn вычисляется интегрированием (14.2) по z вдоль окружности малого радиуса, такого, чтобы внутрь попал только один полюс, и делением на 2π :

где суммирование ведется до кратности вырождения λn, то есть по всем функциям,

принадлежащим данному собственному значению.

Чтобы найти скачок на разрезе, сначала вычислим скачок подынтегральной функции, т.е. разность ее значений на нижнем и верхнем берегах разреза

Интеграл от дельта-функции берется, откуда при ζ = z−λ мы найдем скачок интеграла

из формулы (14.2).

Обе формулы (14.3) и (14.4) получились похожими. Можно представлять себе скачок на разрезе как предел суммы вычетов. При неограниченном увеличении размера ящика полюсы сливаются в разрез. У эрмитова оператора все полюсы и разрезы расположены на вещественной оси.

Мы убедились, что в аналитических свойствах резольвенты содержится полная информация как о спектре (положение полюсов и разрезов), так и о собственных функциях дискретного и непрерывного спектра (вычеты в полюсах и скачки на разрезах). К сожалению, явно найти резольвенту удается только в небольшом количестве специальных симметричных случаев. Два из них мы рассмотрим в следующем разделе.

14.3.Построение резольвенты

Разберем два примера.

n=1

Пусть оператор одномерный

d2

A= −dx2 ,

а^. Тогда по первому свойству резольвента удовлетворяет уравнению x R ^

Пользуясь трансляционной инвариантностью, положим x = 0, и будем искать решение

Выберем арифметическую ветвь квадратного корня, на которой 1 = +1.

Условия непрерывности функции и скачка производной дают пару уравнений на коэффициенты

B1 + B2 = C1 + C2, (C1 − C2) z − (B1 − B2) z = 1.

Два других условия получим из граничных условий на бесконечности. Обозначим z = k2 + ǫ, z = k + δ, мы видим, что по определению арифметической ветви квадратного

Резольвента получилась аналитической функцией в плоскости z, разрезанной вдоль действительной положительной полуоси R+. Таким образом, у исходного оператора непрерывный спектр расположен на множестве σc = R+. Скачок резольвенты при переходе с нижнего берега разреза на верхний в точке z = k2 можно найти, представив z = k2 α и меняя аргумент α от 2π до 0, т.е. двигаясь вдоль окружности рис. 14.2 радиуса R = k2 по часовой стрелке. Если α = 2π, то z = −k, а если α = 0, то z = +k,

откуда

Собственное значение λ = k2 непрерывного спектра оказалось двукратно вырожденным,

как и следовало ожидать.