pizhurin_a_a_pizhurin_a_a_modelirovanie_i_optimizaciya_proce

дукции выполнен, ресурсы по всем видам оборудования не превышены, а полученная прибыль максимальна.

Составим математическую модель этой задачи. Обозначим через х\ количество изготавливаемых фабрикой шкафов; * 2 - столов; * 3 - стульев. Тогда требование выполнения плана запишется в виде неравенств:

Неравенства (3.1) представляют собой ограничения, обеспечиваю­ щие выполнение планового задания. Найдем выражение для длительности работы фрезерных станков. В процессе изготовления одного шкафа такой станок работает 0,25 ч (см. табл. 3.1). Длительность работы этих станков при изготовлении jci шкафов равна 0,25*1 ч. Аналогично, при изготовлении всех столов затрачивается 0 ,20*2 ч; всех стульев - 0,30*з ч машинного вре­ мени фрезерных станков. Всего затраты машинного времени по фрезерным станкам составляют 0,25*1 + 0 ,2 0 *2 + 0,30*3 ч. Поскольку суммарное время работы этого оборудования не должно превышать 250 ч, то ограничение по ресурсам машинного времени для фрезерных станков следует записать в виде неравенства

Подобным же образом легко составить аналогичные ограничения для сверлильных и шлифовальных станков. Они имеют вид соответственно

Рассмотрим зависимость критерия оптимальности от переменных математической модели. Эта зависимость носит название целевой функ­ ции. В нашем примере критерием является прибыль.

Величина прибыли от изготовления х\ шкафов равна 5*i руб.; от из­ готовления * 2 столов - 3*2 руб.; от изготовления * 3 стульев - 2* 3 руб. Целе­ вая функция, таким образом, имеет вид W = 5*j + 3* 2 + 2*з. Требование достижения ее максимума записывают в виде

Таким образом, математическая модель данной задачи состоит из целевой функции (3.5) и ограничений (3.1) - (3.4) (ее решение приведено в п. 3.6). Существенно, что как целевая функция, так и левые части ограни­ чений являются линейными функциями переменных *ь *2, *з, то есть мно­ гочленами 1-го порядка. Поэтому составленная модель относится к классу задач линейного программирования.

Теперь задаче формирования производственной программы ме­ бельной фабрики можно дать следующую математическую формулировку:

мых требований. Обозначим через х\ количество плит, раскраиваемых по первому варианту; через х2 - по второму и через х3 - по третьему. Соста­ вим ограничение по выпуску заготовок 1-го типоразмера. Из одной плиты по первому варианту раскроя получаются две такие заготовки, из плит 2х) заготовок 1-го типоразмера. Кроме того, по одной такой заготовке по­ лучится при раскрое каждой плиты по второму варианту. Всего по этому варианту раскраивается х2 плит, из которых вырабатывается, следователь­ но, х2 заготовок 1-го типоразмера. По третьему варианту такие заготовки не получают. Значит, общее количество равно 2xi + х2. Поэтому имеем ог­ раничение

Аналогичным образом составляется ограничение по выработке за­ готовок 2 -го типоразмера

Выражение для суммарного количества отходов при раскрое явля­ ется минимизируемой целевой функцией и имеет вид

Наконец, следует учесть естественные ограничения на неотрица­ тельность переменных

Совокупность соотношений (3.6) - (3.9) представляет собой мате­ матическую модель данной задачи, которая как и в предыдущем случае, является примером ЗЛП.

3.1.3. Задача о рациональном использовании сырья

Имеется сырье 1-го и 2-го сорта в количестве соответственно Ь\ и Ь2, м3. Три предприятия по его переработке, выпускающие однородную продукцию, располагают свободными мощностями, позволяющими пере­ работать соответственно С], с2 и с3, м3, сырья. Эти предприятия работают в разных условиях и имеют соответственно различные нормы выхода про­ дукции.

Пусть atj - объем продукции, вырабатываемой из 1 м3 сырья /-го сорта наj -м предприятии, i = 1, 2 ;/ = 1, 2, 3. Требуется определить, в каком количестве необходимо поставлять сырье каждого сорта на каждое из предприятий. При этом должен быть обеспечен максимальный объем вы­ пуска продукции, и учтены ограничения по запасам сырья и объемам его переработки на предприятиях. Элементы решения в данной задаче удобно обозначить переменными с двумя индексами: первый индекс - сорт сырья; второй - номер предприятия.

44

Таким образом, через Ху обозначен объем сырья /-го сорта, постав­ ляемого на у'-е предприятие. Задача поэтому содержит шесть элементов решения: х\\, xi2, *13, х2и *22, *23- Общий объем сырья 1-го сорта, поставляе­ мого на все три предприятия, равен сумме [х1х+ хп + х13) и не должен пре­

вышать имеющегося запаса Ь\9 м3. Следовательно, имеем группу из двух ограничений по запасам сырья каждого сорта:

*11 + *12 + *13 ^ * Ь 1

*21 + *22 + *23 ^ ^ 2 -J

Объем поставок сырья 1-го и 2-го сорта на первое предприятие, равный (*ц+ х2\), не должен превышать мощность с\ этого предприятия по его переработке. Исходя из этого, составляются ограничения по мощности переработки сырья для первого и остальных предприятий:

*11 + *21 ^ с\\

*13 + *23 ^ С3. ^

Общий объем выработки продукции на всех предприятиях равен

сумме

2 з

М У=1

для которой надо найти максимум. Это выражение служит целевой функ­ цией задачи

/=1 ;=1

Кроме того, надо учесть требование неотрицательности перемен­

ных

Построенная математическая модель (3.10) - (3.13) - это еще один пример ЗЛП.

ЗЛА. Общая постановка задачи линейного программирования

Сформулируем задачу линейного программирования в общем виде. Имеется п переменных хи *2»--->*«. Требуется найти такие их значения, при которых целевая функция

обращается в максимум (минимум). При этом переменные хи х2 хп должны удовлетворять ряду ограничений, каждое из которых должно от­ носиться к одному из следующих типов:

которые называют обычно простыми или тривиальными ограничения­ ми. Очевидно, что ограничения вида (3.17) легко сводятся к виду (3.16) умножением обеих частей исходного неравенства на ( - 1) и обратно - вид (3.16) к виду (3.17). От ограничений-равенств тоже всегда можно перейти к эквивалентному неравенству вида (3.16) посредством исключения какойлибо переменной.

Пусть, например, в ЗЛП имеется ограничение 2х\ + Зх2 - 5х3 = 4, где переменные х\9х2, х3неотрицательны. Выразим из этого равенства х3:

лентно неравенству (2/5)х} + (3/5)х2 - 4 / 5 > 0 . Отметим, наконец, что зада­

ча, в которой требуется найти максимум целевой функции W, эквивалентна задаче минимизации целевой функции W' = - W .

Запишем задачу линейного программирования общего вида в сле­ дующей форме:

'Ч

b l+ b ux ]+ b nx2 +... + buxn>0;

(3.21)

всем ограничениям ЗЛП, называется ее допустимым решением. Оптимальным решением ЗЛП называется такое ее допустимое решение, при

котором целевая функция достигает экстремума, т. е. максимума или ми­ нимума, в зависимости от условий задачи.

Пример.

Возьмем хх= 0,5; x2 = 1. Подставив эти значения в неравенства (3.24) - (3.26), убеждаемся, что все они выполняются. Следовательно, совокупность значений х\ = 0,5; Х2 = 1 является допустимым решением данной ЗЛП. Значение целевой функции при

этом равно W = 3x0,5 + 2x1 = 3,5. Можно доказать, что оптимальным решением этой

задачи будет другое допустимое решение: х* =7/13; х* - 24/13, при котором значение

целевой функции оказывается равным 69/13.

3.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования

Для выяснения основных свойств решения задачи линейного про­ граммирования проведем ее геометрическую интерпретацию.

Требуется найти максимум функции

Рассмотрим координатную плоскость на рис». 3.2, по оси абсцисс которой будем откладывать значения переменной X], а по оси ординат - значения х2. Каждой точке плоскости соответствует некоторая пара значе­ ний *1 и х2. Множество точек, для которых выполняется ограничение х ,> 0 , представляет собой правую полуплоскость, т. е. часть плоскости

правее оси 0Х2, а все точки, для которых х2 > 0, располагаются в верхней

полуплоскости - выше оси 0Хх. Точки, для которых удовлетворяются оба эти неравенства, jtj>0 и х2 >0, лежат, очевидно, в первом квадранте. До­

бавим к этим ограничениям неравенство (3.28). Рассмотрим сначала соот­ ветствующее равенство:

Это уравнение прямой /, отсекающей отрезок в 5 единиц на оси 0Х\ и в 6 единиц на оси 0Х2. Учитывая знак неравенства (3.28), можно сделать

Поэтому точки, удовлетворяющие всем четырем ограничениям задачи, ле­ жат внутри и на границах выпуклого четырехугольника ОМКВ (на рис. 3.2 заштрихован). Здесь К - точка пересечения прямых / и т.

Геометрический образ множества допустимых решений называется областью допустимых решений (ОДР) задачи линейного программиро­ вания. Мы доказали, что ОДР в рассматриваемой задаче - это выпуклый четырехугольник ОМКВ.

Среди множества допустимых решений следует найти оптимальное. Для этого введем в рассмотрение целевую функцию (3.27). Будем прида­ вать ей различные значения и исследовать, где находятся соответствующие им точки в ОДР. Положим сначала значение целевой функции равным ну­ лю: W = Зх,+ 4х2 = 0. Это уравнение прямой п на рис. 3.2. На ней имеется

единственная точка {*]= 0; х2 = О}, принадлежащая ОДР. Пусть теперь

W = Ъхх+ 4лг2 = 6 . Это уравнение прямой /?, параллельной предыдущей и

расположенной выше нее. Стрелкой указано направление смещения пря­ мой, соответствующее возрастанию целевой функции. Среди всех точек этой прямой области допустимых решений принадлежат только точки от­ резка AD, для каждой из которых W = 6. Еще предпочтительнее с точки зрения приближения к максимуму целевой функции положение отрезка EF прямой q, уравнение которой 3*j+4* 2 =12. Очевидно теперь, что макси­

мальное значение целевой функции на множестве допустимых решений достигается при самом верхнем положении прямой W, когда она все еще проходит хотя бы через одну точку, принадлежащую ОДР. Это прямая г, проходящая через точку К. Ее координаты определяются из решения сис-

тимальное решение данной ЗЛП. Значение целевой функции для него рав­ но

W = 3-3—+ 4 - 2 —= 18—.

и и и

В приведенном примере ЗЛП имела единственное решение. Пока­ жем, что возможны и другие случаи.

Рассмотрим ЗЛП

Здесь область допустимых решений - многоугольник ОАВС (рис. 3.3, а). Отрезок ВС является частью прямой /, уравнение которой получено из неравенства (3.35) и имеет вид 5хх+Ъх2 =15. Все прямые, на которых

целевая функция (3.33) принимает фиксированное значение W = 5xj+ + 3;t2 = const, будут параллельны этой прямой. Поэтому максимум ее дос­

тигается в любой точке отрезка ВС. Таким образом, эта ЗЛП имеет бесчис­ ленное множество решений.

Возможны случаи, когда задача линейного программирования не имеет решений. Это возможно, когда множество допустимых решений пусто. Например, в ЗЛП

система неравенств (3.38) - (3.40) не имеет решений, поэтому допустимых решений задачи не существует (см. рис. 3.3, б). Кроме того, такой случай возможен, если ОДР существует, но не ограничена, например, в ЗЛП:

W= х }+х 2 —> ш ах;

х}- 2 х 2 < 1;

49

-2х}+ х2 < 2 ;

*j> 0 ; *2 > 0 .

Вэтом случае целевая функция может принимать сколь угодно большие значения (см. рис. 3.3, в).

Рис 3.3. Графическое представление различных ЗЛП:

а - имеющей множество решений; б - имеющей пустое множество допустимых решений; в - с неограниченной ОДР; г - область допустимых решений

3.3. Основная задача линейного программирования и свойства ее решений

Рассмотрим так называемую основную задачу линейного програм­ мирования (ОЗЛП), отличающуюся от задачи линейного программирова­ ния общего вида (3.20) - (3,22). В ней требуется минимизировать целевую