Эконометрика. Тихомиров

Известно, что оценки параметров, полученные с использованием ММП,

обладают свойством состоятельности** :

plim(a)= , plim( e2)= 2,

имеют асимптотически нормальное распределение и асимптотически эффективны,

a где – символ асимптотического приближения, в данном случае закона

распределения вектора-столбца оценок к закону нормального распределения с параметрами – их математическими ожиданиями ( , 2) и ковариационной матрицей I–1( , 2) , обратной так называемой информационной матрице этих параметров.

Заметим, что состоятельность оценок ММП следует из совпадения с оценками МНК, которые, как было показано в разделе 2.1.2, являются состоятельными. Асимптотические свойства оценок ММП также определяются стремлением к нулю их дисперсий с ростом числа измерений,

что следует из свойств элементов матрицы I–1( , 2).

Напомним, что I (z) – информационная матрица случайного вектора z,

определяется следующим образом:

** Состоятельность в данном случае характеризует определенное свойство функции правдоподобия, связанное с увеличением ряда наблюдений переменных модели при условии однородности выборки. Оно состоит в том, что с ростом Т максимальное значение этой функции (т. е. в точке оптимума) все более значительно превосходит ее значения в точках с другими неоптимальными значениями ее параметров.

где матрица 2l/z z имеет следующий вид:

и в нашем случае k=n+2 и z1=a0,..., zk– 1=an , zk = 2.

Выполнив двойное дифференцирование выражения (2.116) по вектору и2, получим

2l/ =–Х Х/ 2 ; –M[ 2l/ ]=–Х Х/ 2 ;2l/ 2=–Х / 4; –M[ 2l/ 2]=0.

Последнее равенство выполняется в силу предполагаемой независимости значений факторов хit (столбцов матрицы X) и ошибки , являющейся “белым шумом”.

2l/( 2)2=T/2 4– / 6; –M[ 2l/( 2)2]=T/2 4, поскольку M[ ]=T 2.

Таким образом, информационная матрица вектора ( , 2) определяется следующим выражением:

Таким образом, из результатов раздела 2.5 вытекает, что при предположении о нормальном законе распределения ошибки эконометрической модели и ее свойствах, определенных выражениями

(2.20)–(2.24), оценки ее коэффициентов, полученные с использованием методов максимального правдоподобия и наименьших квадратов совпадают.

Аналогичное совпадение отмечается и у ковариационных матриц этих оценок. Несложно показать, что в этих условиях у МНК и ММП совпадают также оценки параметров эконометрических моделей, полученные при ограничениях на их значения (см. выражение (2.91)).

Если же ошибки модели распределены по другому закону (например,

Гаусса с тяжелыми хвостами, Стьюдента и т. п.), то вообще говоря,

выражения для оценки коэффициентов, полученные на основе ММП, будут отличаться от их аналогов, полученных с использованием МНК.

Вопросы к главе II

1. Каковы предпосылки «классического» метода наименьших квадратов

(МНК)?

2.В чем суть МНК?

3.Приведите формулы расчета оценок коэффициентов линейной модели по МНК?

4.Какими свойствами обладают МНК-оценки классической линейной эконометрической модели?

5.Перечислите свойства фактической ошибки эконометрической модели.

6.Каким образом тестируется условие постоянства дисперсии ошибки модели?

7.Каким образом проверяется наличие автокорреляции ошибок модели?

8.Как оценивается дисперсия истинной ошибки модели?

9.Каковы последствия мультиколинераности факторов?

10.Как проверяется обратимость матрицы Х Х?

11.Каковы последствия неправильного выбора состава независимых переменных модели?

12.Каковы особенности оценивания параметров с учетом наложенных ограничений?

13.Перечислите предпосылки метода максимального правдоподобия

(ММП)?

14.Опишите процедуру получения оценок параметров эконометрической модели с помощью ММП.

15.Какими свойствами обладают ММП-оценки параметров?

16.Каким образом оценивается дисперсия истинной ошибки модели?

Требуется:

1.Оценить с помощью МНК параметры линейного регрессионного уравнения, предположив, что переменная “длительность разговора с продавцом” объясняется переменной “величина покупки”.

2.Оценить с помощью МНК параметры линейного регрессионного уравнения, предположив, что переменная “величина покупки” объясняется переменной “длительность разговора с продавцом”.

3.Нарисовать диаграмму рассеяния величин (хt, yt) и обе линии регрессии. Объяснить, почему, если поменять экзогенную и эндогенную

переменные местами, как правило, получаются различные уравнения регрессии.

Задание 2.2

Имеется классическое линейное однофакторное уравнение регрессии,

параметры которого оценены обычным МНК,

Требуется:

1. Доказать, что сумма остатков равна нулю:

переменной равно среднему значению ее оценок, рассчитанных по

т. е. коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции между переменными хt и уt.

Задание 2.3

Имеется линейное однородное однофакторное уравнение регрессии yt=

хt+ t (t=1,..., Т).

Требуется:

1. Вывести формулу МНК для расчета определения оценки a

регрессионного параметра .

2.Покажите, что оценка a, полученная МНК, является несмещенной оценкой параметра .

3.Определите дисперсию оценки a.

Задание 2.4

Исследуется зависимость затрат на рекламу у от годового оборота х в

некоторой отрасли. Для этого собрана информация по Т=20 случайно выбранным предприятиям этой отрасли о годовом обороте хt и

соответствующих расходах на рекламу yt (в млн. руб.). Из выборки получены