![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
математика_шпоры
.docx
33.Биномиальный закон распределения: определение, числовые характеристики Рассмотрим
схему Бернулли, определенную n,p,q=1-p,
ξ=μn
(число произошедших успехов в n
опытах). ξ принимает значение
0,1,2...np(ξ=k)=Сknpkqn-k
|
34.Пуассоновский закон распределения: определение, числовые характеристики ex=1+x/1!+x2/2!+...+xi/i!+... 1=e-x+e-xx/1!+...+e-xxi/i!+... λ>0 e-λλ0/0!+e-λλ1/1!+e-λλ2/2!+...+e-λλi/i!+...=1 e-λλi/i!>0 ξ:0,1,2... p(ξ=i)= e-λλi/i! Это закон распределения Пуассона. M(ξ)=λ D(ξ)=λ |
35.связь биномиального и пуассоновского законов распределения
Биномиальный
закон порожден схемой Бернулли. В
рамках этой схемы была сформулирована
предельная теорема Пуассона, которая
говорит, что при больших n, малых p имеет
место приближенная формула
М(ξб)=np, M(ξп)=λ М(ξб)=M(ξп) D(ξб)=npq≈np=λ (q≈1) D(ξп)=np=λ D(ξб) ≈D(ξп) Формулы M(ξ)=np, D(ξ)=npq, M(ξ)=λ, D(ξ)=λ выражают близость законов распределения на языке математического ожидания и дисперсии. |
36.равномерный закон распределения: определение, числовые характеристики Говорят,
что непрерывная случайная величина
X
имеет равномерное распределение на
отрезке ab,
если ее плотность вероятности f(x)= M(X)= f(x)= D(X)=σ2
F(x)= |
37.определение функции Лапласа и ее свойства
Функция
Лапласа:
Свойства: 1.Ф(-х)=-Ф(х) 2.Ф(+∞)=1/2 (при больших х: Ф(х)≈1/2
|
||||||||||||||||||||||||
38.нормальный закон распределения: определение, числовые характеристики. Вероятность попадания в интервал ξ=αξ0+β (α>0) β→а, α→σ (σ>0) Закон распределения, определяемый плотностью вероятности fξ - нормальный закон распределения с параметрами a,σ. M(ξ)=a D(ξ)=σ2
|
39.двумерная случайная величина, закон распределения, функция распределения и ее свойства Ξ=(x1;x2) - двумерная СВ. Компоненты двумерной СВ - ξ, η (ξ=х, η=y). Пусть
Ξ=(ξ;η) - двумерная СВ, ее функция
распределения - функция двух переменных: (ξ<x, η<y) можно рассматривать как попадание в бесконечный прямоугольник Д. Свойства функции распределения повторяют свойства одномерной функции распределения: 1).F(-∞;y)=F(x;-∞)=0. 2).F(+∞;+∞)=1. 3).F(x) возрастает по каждой переменной 4).F(x) непрерывна слева по каждой переменной p(a≤ξ<b, c≤η<d)=FΞ(b;d)+FΞ(a;c)-FΞ(a;d)-FΞ(b;c)
|
40.дискретная двумерная СВ. форма записи закона распределения, законы распределения компонент Для
описания закона распределения можно
использовать ряд распределения: pi=p(ξ=xi;η=yi) удобнее отдельно рассматривать значение компонентов: ξ:x1,...,xm; η=y1,...,yn pij=p(ξ=xi; η=yj)
|
41. Условные з-ны распред. компонент дискретной двуменойСВ Зафиксируем
знач-я к.-нибудь компонентов η=уi
и рассм. 2-ую компоненту ξ при этом усл.
В этом сл. ξ: х1,х2,…,хm.
Введём обознач-е
Аналогично определяется усл. з-н распред. η при усл. ξ=xi
Если ξ и ηнезависимы, то условный з-н должен совпадать с безусловным. Наша
ф-ла дает этот результат:
|
42. Непрерывная двумерная СВ, плотность вероятности и ее св-ва, вычисление вероятностей. Мы
ввели понятие ф-ции распределения
двумерной СВF(x;y)
= P(ξ<x;
η<y)
и определили непрер. СВ условием:
|
||||||||||||||||||||||||
43.Законы распред. компонент непрер. двумерной СВ. F(x;y),
f(x;y)-
ф-цияраспред. и плотность вероятности
для двумерной СВ (ξ;η).
Зад. состоит в нах.
Условные
з-ныраспред.P(AB)=
P(B)*P(A|B);
P(A|B)=
P(AB)/
P(B).
Рассм. в кач-ве А событие (ξ<x),
а в кач-ве В – событие (y<η<y+k)
и получим
|
44.Опред. независимости двух СВ, равносильные утверждения. СВ
ξ и η наз. независимыми для любых
промежутков А и В, если (ξϵА) и (ηϵВ) –
независимы. Т.е.
Если из (3) =>(1), то (1), (2), (3) равносильны и выражают независимость СВ. Мы вывели рав-ва (1) и рав-ва (3). Равносильные рав-ва (2) и (3) могут рассматриваться в кач-ве определений независимости СВ.
|
45. Корреляционный момент и коэфф. корелляции двух СВ, их св-ва. Вычисление в дискретном и непрерывном случае. Дискретный
случайКорреляционный
момент ( к. м.)СВξ
и η- математические ожидания
(ξ-М(ξ))*(η-М(η)). Обозначим к.м.ч/з К(ξ;η):
К(ξ;η)=М((ξ-М(ξ))*(η-М(η)) (1). К(ξ;η)= М(ξη)- М(ξ)М(η) (3). Для НСВ известно св-во М(ξη)= М(ξ)М(η) . Если ξ и η – независимы, тоК(ξ;η)=0. Обратное неверно. Существуют примеры зависимых СВ К(ξ;η)=0. Непрерывный
сл. Справедливы
ф-лы (1), (2), (3). Мат. ожидание вычисляется
по ф-ле Если
ξ и η-независимы, то
Св-вакоэфф корреляции (для дискретного и непрер. случая): 1. |r (ξ;η)|≤1, (-1≤r (ξ;η) ≤1). 2. Если СВ независимы, то r (ξ;η)=0 (очевидно, т.к. К(ξ;η)=0). 3. если |r (ξ;η)|=1, то η=α ξ+β. При r= -1, α <0. При r= +1, α >0.
|
46. Двумерный нормальный з-н распред., смысл параметров, определяющих з-н.
Рассм.
2 СВ, распределенные нормально. Пустьξ:
N(a1;σ1),
η(a2;σ2);
Двумерный норм.з-н распред. общ. вида.Опред. Двумерным норм.з-ном распред. наз. з-н с плотностью
Ф-ция
|
47. Эллипс рассеяния. Вероятностный смысл расположения эллипса на координатной плоскости, круговое рассеяние. Дан
график пов-ти, образованной Гауссовыми
кривыми (Z=f(x;y);
x,y=const).
Рассм. горизонтальное сеч.пов-тиZ=C,
||-ть осей эл. осям коор-т показывает независ. компонент. Повернув эл. и пов-тьZ=f(x;y), получим з-н распред. с зависимыми компонентами ( т.е. общ.вид норм. 2-мерного з-на распред. )
При r=0 оси эл. || осям коорд-т, т.е. при r=0 ξ и η-независимы. Параметр r характеризует угол поворота эл. Мах знач-е r достигается при повороте эл. на 45о.
|
48.Св-ва коэфф корреляции двумерного норм.з-на распред. Параметр
rr(ξ;η)=r
– коэфф. корреляции. Если r
=0, то ξ и η –независимы. Т.о. для норм.з-на
распред. рав-во нулю коэфф. корреляции
влечет независимость СВ. Ф-ла
При
Т.о. для норм.з-на коэфф. корреляции имеет св-ва: 1) |r (ξ;η)|= |r|<1, 2) r(ξ;η)=0 ó ξ, η- независимы 3) r(ξ;η)→1, то в пределе η=αξ+β. Т.о. для норм.з-на распред. коэфф. корреляции явл. мерой зависимости СВ. |
49. Неравенство Чебышева Предложение (Нер-во Ма́ркова) даёт оценку вероятности, что СВ превзойдёт по модулю фиксированную положит. константу, в терминах её мат. ожидания. Получаемая оценка обычно достаточно груба. Однако, она позволяет получить опред. представление о распределении, когда последнее не известно явным образом. Пусть
СВξ:
Ω →R, ξ≥0 определена
на вероятностном
пр-ве
(Ω;Γ;Ρ),
и её математ. ожидание конечно. Тогда
для любого ε>0:
Следствие ( Нер-во Чебышёва) утверждает, что СВ в основном принимает значения близкие к своему среднему. Более точно, оно даёт оценку вероятности, что СВ примет значение далёкое от своего среднего. Пусть
СВξ:
Ω →R, определена
на вероятностном
пр-ве
(Ω;Γ;Ρ),
е1 мат. ожид. М и дисперсия Dконечны,
тогда
|
50. Предельные теоремы Чебышева и Бернулли Т.
Чебышева. Рассм.
бесконечную последовательность СВ
ξ1,
ξ2,
…, ξn,
…, которые независимы и одинаково
распред. M(ξi)=a.
D(ξi)=σ2.
Тогда при любом положит. ε справедливо
рав-во:
Т.
Бернулли. Рассм.
схему Бернулли с произвольным числом
опытов. Пусть А интересующее нас
событие и вероятность А: Р(А)=Р. Пусть
μnчисло
успехов в n
опытах. Тогда при любом положительном
ε (ε>0) справедливо рав-во:
Из
рав-ва (2) => при больших n
вероятность
Т. Бернулли показывает, что при большом кол-ве опытов частота близка к вероятности.Т.Чебышева и ее частный сл. Т. Бернулли наз. з-ном больших чисел. |
51. Центральная предельная теорема Ляпунова. Пусть
ξ1,
ξ2,
…, ξn,
… - бесконечная последовательность
одинаково распределенных СВ. М(ξ i)=а,
D(ξ
i)=σ2.
Тогда
Теорема. Если случайная величина ξ представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых СВ, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то ξ имеет распределение, близкое к нормальному. Частный
сл.
(ξ=1 при успехе, ξ=0 при неуспехе) Ф-ла
(1) примет вид
|
52.Выборка. Точечная оценка, ее несмещенность и состоятельность Точечная оценка—просто приближенное знач-е числовой хар-ки, взятой из эксперимента. Пусть изучается СВ ξ и θ (некоторая числовая хар-ка ξ). Рассм. ξ1, ξ2, …, ξn - последовательность, кот.независима и имеет общий з-н распред., совпадающий с з-ном распред. ξ. СВ ξi можно придать смысловые знач-я СВ ξ в i-ом опыте при проведении эксперимента, состоящего из n независимых опытов. Последовательность (ξ1, ξ2, …, ξn) можно рассм. как n-мерную СВ, кот. явл. моделью эксперимента, содержащего n опытов. Последовательность (ξ1, ξ2, …, ξn)- Выборка объемаn. В результате эксперимента эта выборка принимает знач-я (х1, х2, .., хn). Эту последовательность тоже могут назв. выборкой. Пусть φn (х1, х2, .., хn)- действительная ф-цияn-переменных. Тогда
θn*=
φn(ξ1,
ξ2,
…,
ξn).
СВ θn*
наз. точечной
оценкой числовой хар-киθ.
Данное опред. не дает связи м/ду
оценкой и оцениваемым параметром, зн.
на оценку нужно наложить дополнительные
усл.,
кот. связывают ее с параметром:
1)несмещенностьθn*наз.
несмещенной, если М(θn*)=
θ.
2)состоятельность
θn*наз.
состоятельной, если
Если имеются 2 несмещенные состоятельные оценки, то предпочтение отдается той у кот.меньше дисперсия. |
53.Оценка мат. ожидания, ее св-ва Точечная
оценка мат. ожидания.
Пусть θ=М(ξ); ξ:ξ1,
ξ2,
…, ξn.
Выберем в кач-ве оценки след. СВ:
Св-ва:1.несмещенность.
Интервальная
оценка мат. ожидания
Норм. з-н распред. опред. параметрами
а (а=М(ξ)), σ. Рассмотрим сл. когда σ
известно.
Рассм.
выборку (ξ1,
ξ2,
…, ξn),
пусть γ- доверительная вероятность.
Т.о. Случайный интервал
|
54. Смещенная и несмещенная оценка дисперсии. Пусть
θ=D(ξ);
D(ξ)=M((ξ-M(ξ))2).
Т.к. М(ξ)= Несмещенность
оценки.
|
|
|
|