Графическое представление вариационных рядов

Для более наглядного представления временных рядов используют следующие виды графиков.

1. Полигонраспределения представляет собой график частот. Это ломаная линия, абсциссы вершин которой соответствуют вариантам, а ординаты – частотам. Обычно его используют для дискретных вариационных рядов. На рисунке 17 представлен полигон распределения для вариационного ряда, приведенного в таблице 5.

2. Кумулятапредставляет собой график накопленных частот (ее еще называюткумулятивной кривой). На рисунке 17 представлена кумулята для того же самого ряда.

3. График эмпирической функции распределенияпредставляет собой график накопленных относительных частот, т.е. относительных частот того, что признак принял значение, меньшее заданного. Для примера из таблицы 5 он представлен на рисунке 18 (рекомендуется сравнить с графиком функции распределения, которая рассматривалась при изучении теории вероятностей).

4. Гистограмма распределения представляет собой фигуру, составленную из прямоугольников, каждый из которых соответствует интервалу сгруппированного ряда, а их высота равна соответствующим частотам. Для примера из таблицы 4 гистограмма распределения представлена на рисунке 19.

Для сгруппированного ряда можно также построить полигон распределения (соединив отрезками середины верхних оснований прямоугольников гистограммы) и кумуляту (см. рисунок 19).

Показатели вариации Средние вариационного ряда

Основным показателем вариации называется среднее арифметическоевариационного ряда, которое рассчитывается по формуле:

,

где n– общее число наблюдений;

m– число вариант;

n_i– частота варианты х_i;

w_i– относительная частота варианты х_i.

Например, для таблицы 5 среднее арифметическое = (2*3 + 3* 25 + 4*39 + 5*33) = 4,02 (балла).

Свойства этой средней величины аналогичны свойствам математического ожидания.

Кроме того, если вариационный ряд разбит на несколько групп, то среднее арифметическое всего ряда можно рассчитать, как среднее арифметическое групповых средних: ,

где n– общее число наблюдений;

k– число групп;

- среднее арифметическоеi-й группы;

n_i– число наблюдений вi-й группе.

Например, если среди ста студентов, оценки которых приведены в таблице 5, присутствуют студенты двух различных специальностей, то можно разбить этот вариационный ряд на две группы (см. таблицы 7 и 8). По данным второго и третьего столбцов этих таблиц можно рассчитать средний балл для студентов специальности № 1 (он составил 4,12 балла) и средний балл для студентов специальности № 2 (он составил 3,875 балла). Теперь для расчета общей средней можно воспользоваться вышеприведенной формулой: (4,12*60 + 3,875*40) /100 = 4,02 (балла), - что совпадает с полученным ранее результатом.

Если всех студентов, данные о которых приведены в таблице 5, выстроить в ряд по возрастанию полученного ими балла, то из этих ста человек в середине стояли бы студенты под номерами 50 и 51 от начала ряда. Оба эти студента получили оценку 4, так как накопленная частота для оценки 3 составляет 28, а для оценки 4 она составляет 67 (все студенты под номерами с 29-го по 67-й включительно получили оценку 4).

То значение варианты, которое соответствует середине вариационного ряда, называется медианойи обозначаетсяMe. Если число наблюдений – нечетное, то медианный номер равен (n+ 1)/2; а если четное – то медианных номеров два:n/2 и ((n/2) +1), а сама медиана рассчитывается, как среднее арифметическое этих двух вариант.

В примере из таблицы 5 медианные номера 50 и 51, а Me= (4 + 4)/2 = = 4 (балла).

Та варианта, которая встречается в вариационном ряду чаще всего, называется модой(мода – это то значение признака, которое встречается у большинства наблюдений) и обозначаетсяMo.

В таблице 5 Mo= 4 (балла), так как этой варианте соответствует наибольшая частота 39.

Для интервального вариационного ряда используется несколько более сложная методика расчета рассмотренных средних, которую здесь рассматривать не будем.

В вышеприведенном примере Мо = Ме = 4 4,02 =. Это отнюдь не всегда бывает так. Например, если рассчитать средние по данным таблицы 6, то можно получить= 3,814,Me= 3,Mo= 5. Т.е. при том, что большинство студентов получили 5 (42 человека), в середине ряда оказались студенты с оценкой 3, а средний балл составил чуть меньше 4.

Таблица 6 – Дискретный вариационный ряд

№	Балл	Число студентов	Накопленная частота
1	2	10	10
2	3	41	51
3	4	7	58
4	5	42	100
		100