Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный аграрный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МатАнализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.03.2016

Размер:

352.23 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

сумме нескольких различных функции рассматриваемой структуры, то для отыскания частного решения такого уравнения надо найти частные решения, соответствующие отдельным слагаемым правой части и взять их сумму. В нашем случае m=n=0 и, следовательно 1=0, тогда

yx, y		A cos x B cos x
y'x, y			A sin x B cos x
y''x, y			A cos x B sin x подставим в исходное уравнение и получим
y'x, y ' yx, y ' 2yx, y (B 3A) cos x ( 3B A)sin x cos x 3sin x
					B 3A 1
Отсюда									, А=0, В=1
					3B A 3
Следовательно, общее решение данного уравнения будет
y c e 2x							c		ex sin x
			1					2
Найдем теперь c1 и c2 , используя начальные условия:
c		c			1				, отсюда c1 =0, c2 =1 и y ex sin x - будет частным решением
	1			2
	2c			c		2		1
			1

дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям. Этот метод применим только к линейным уравнениям с постоянными

коэффициентами, когда правая его часть имеет вид: eax Pn x cos x Qm x sin x .

Задание 24. Найти область сходимости ряда:

4x2

2n xn

...

2n 1

2n xn

2n 1 xn 1

n 1

Применим признак Даламбера: U n

; U n

Найдем lim

U n

2n 1

Пусть этот предел равен 1(x) , тогда при тех х, для которых 1(x) <1, ряд сходится, при тех х, для которых 1(x) >1, ряд расходится, а при тех х, для которых 1(x) =1, следует провести дополнительные исследования.

						2n 1 (2n 1) xn 1								2		1
	1(x)	lim							2	x	lim			2			n		2		x	,
																	n
							2n (2n 1)xn							1
		n					2n (2n 1)xn				n			1
														2
														2			n
							1						1				n
Т.е при			x					ряд сходится, при			x				ряд расходится. Исследуем сходимость ряда на


						2						2											x				1	.
						2						2
границах промежутка, т.е для тех х, при которых


																									2
																									2
Если х =				1	, то получаем ряд										1			1		1				1		....			1	.....
Если х =					, то получаем ряд										1								7			....			2n 1	.....
2																		3 5					7						2n 1

Этот числовой ряд расходится. Его можно сравнить с гармоническим рядом 1 1 ... 1 2 n

		1
lim		n			2 по теореме о сравнении числовых рядов мы получаем, что исследуемый ряд
lim		1
n		1
	2n 1																															1
																																1
расходится, т.к гармонический ряд																																		расходится, а предел отношения n-ых членов
расходится, т.к гармонический ряд																																n		расходится, а предел отношения n-ых членов
																												n 1				n											1							1
рядов n равен константе, отличной от 0. Т.е при х =																																											1		ряд расходится. При х =					1
рядов n равен константе, отличной от 0. Т.е при х =																																											2		ряд расходится. При х =
																																											2						2
получаем знакочередующийся ряд																												1						1		1	1	....				( 1)n					.....
получаем знакочередующийся ряд																												1					3			5	7	....				2n 1					.....
																																	3			5	7					2n 1
По теореме Лейбница этот ряд условно сходится. Действительно:
1)		ряд знакочередующийся;
2)			U1				U 2			...					U n					U n 1							....(убывающий)
2)			U1				U 2			...					U n					U n 1							....(убывающий)
3)		limU n 0
		n																																					1					1
Таким образом, заданный ряд сходится, если																																							1	x				1		.
Таким образом, заданный ряд сходится, если																																								x						.
																																					2						2
																																								b
Задание 25.											Вычислить определенный интеграл f x dx с точностью до 0,001,
																																								a
разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и почленно интегрируя этот
				0,1ln 1 x
ряд:											dx .
ряд:									x		dx .
		0							x
Решение:
Заменим в подынтегральном выражении ln(1+x) его разложение в степенной ряд
0,1ln 1 x											0,1 x					1	x	2			1		x		3			1		x		4	...
0,1ln 1 x											0,1 x					2	x				3		x					4		x			...
								dx																											dx
				x				dx															x												dx
0				x							0												x
Разделим почленно на х и проинтегрируем, тогда
0,1ln 1 x											0,1					1			1					2		1					3							x2			x3				x4			0.1
0,1ln 1 x											0,1					1			1					2		1					3							x2			x3				x4			0.1

								dx					1				x					x							x
				x				dx					1				x					x							x			dx x															...
0											0					2			3							4											4			9 16								0
0											0					2			3							4											4			9 16								0
0,1					1	0.01						1		0.001 0.098
0,1						0.01								0.001 0.098
					4						9

Докажем теперь, что выполнена требуемая точность.

Рассмотрим первый отброшенный член	1	0.001	1	0,001

99000

Всилу следствия из теоремы Лейбница( ели числовой знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то модуль суммы остатка не превосходит модуля первого отброшенного члена)

Модуль суммы всех отбрасываемых членов не больше	1	, т.е. вычисления
	9000
проведены с заданной точностью.

Задания для контрольных работ.

51-60. Найти указанные пределы (не используя правило Лопиталя):

51.

а) lim

5x5 x 2

б) lim

x 2 9

x 2x5 3x 2

x 3 6x 2

16x 6

в) lim

x 2

г) lim

1 cos 2x

x 0

x 3

x 0 3x sin x

д)

lim x ln 2x 1 ln 2x 3 .

52.

а) lim

3x6 x 1

б) lim

6x 2

2x 4

x 4x6 4x5 x

x 1 3x 2 4x 7

в)

lim

4 x

г) lim

sin 3x sin x

x 0

д) lim

ln 1 2x

x 0

53.

а) lim

3x3 2x2 x 1

б) lim

x 2 x 6

2 x 6

x x3 3x2 4x 6

x 2 2x

в) lim

г) lim

x tgx

x 0

3 x

lim 1 2x

3 x

д)

x 0

54.

а) lim

7x5 3x 2

x 5

в) lim

2x 1

x 3

x 2 1

x 3 2x

д) lim

x x 4

55.

а) lim

8x3 3x 2

x3 10

в) lim

x 1

x 2

3x 2 2

д) lim 1 2cos x

cos x

56.

а) lim

2x 4 5x 2 2

3x 4

4x 2 x

в) lim

x 5

x 4

x 2

3x 2

д) lim

x x 3

57.

а) lim

2x3 9

x x 2 x 1

в) lim

2x 1

x 1


б) lim		2x 2	14x 12
		x 2	6x 5
x 1
г) lim	tgx sin x

x 0		x3

б) lim

x 2 x

x 1 x 2 3x 2

г) limsin 6x ctg4x

x 0


б) lim		3x2 x 14
		2x 2 16x 24
x 2
г) lim	cos x cos3 x
		x sin x
x 0

б) lim	2x2		18

x 3 x 2 6x 9
г) lim		1 cos 2x

x 0			x 2

д) lim 2x ln x 3 ln x 3 .

58.

а) lim

x 2

б) lim

2x 2 12x 10

3x 4

2x2 11x 5

x 2x 2

x 5

в) lim

2x 3

г) lim

x tgx

x 2

2x 3 7

x 0 1 cos 2x

д) lim 1 4x 6 / x 2 .

x 0

59.

а) lim

4x 4 x3 6x 2

б) lim

x 2 5x 4

x 4 x 3

x 1 3x 2 4x 7

sin 2 x 2

в) lim

9 3

г) lim

x 0

x 2 3

x 2 x 2 4x 4

д) lim 1 3sin x 2 / sin x .

x 0

60.

а) lim

x7 x6 2

б) lim

2x2 x 1

x2 1

x x7 x2 3

x 1

в) lim

x 2 9

г) lim

cos 2x cos2 2x

x 2

x sin 3x

x 0

д) lim

x 1 2x

61-70. Функция y=f(x) задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они

существуют. Построить график функции:

			x 0
	2,		x 0


61.	y 2cos x,			0 x
61.	y 2cos x,			0 x
				2

	x,		x
	x,		x
				2
				2
		x 1
	x,	x 1


63.	y 0.5,		1 x
63.	y 0.5,		1 x
				6

	sin x,		x
	sin x,		x
				6
	2,	x 1
65.				1 x 1
65.	y 2 2x,			1 x 1
			x 1
	ln x,		x 1

	x 2,			x 2
62.		x,		2 x 0
	y 2
		2	2,	x 0
	x

	x2			4,		x 1
64.					1 x 3
	y 3x,
	5,				x 3

		4			, x 2

			x
66.	y				2 x 0
		x,
		1 x,				x 0


	0.5	4 x,		x 0


67.	y cos 2x,		0 x
67.	y cos 2x,		0 x
				4

	x,	x
	x,	x
			4
	x ,		x
69.			x 0
69.	y sin x,		x 0
			x 0
	3 2x,		x 0

71-80. Найти производные:

112

71.а) y

	3 9x 4		4 x3 10
в)	y ln 6		12
		e6x	e 6x

д)	x2 sin 2y y2 cos 2x 10

72.а) y

4 x3

в)

y ln tg3

д) ey 3x 2 x2 a 2

73.

а) y

x 2

в)

x 4

x 2 3x

д)

x tgy 2x 2 3y2

x 4

74.

а)

x 2

x 4

в) y ln 6 1 e6x e4x

д)

y3 x 2

arctg

x 2

75.

а)

в)

y ln

x 2

д)

y2 x 2

x cos2 y

y 3

76.

а)

2x 3 3 x 2

в) y ln

2x2 1

	cos x,			x
68.		x 0
	y 1,
				x 0

	x 1,
	x2	4,		x 2
70.				2 x 2
	y 3x 2,
			2	, x 2
	12 x

б) y 3 ctg2 3x

г)	1				9
	y	arccos
	y	arccos
	9			x
		1
б)	y 5		sin3 2x

г) y 6arctg1 3x


б)	y sin6 10x 2cos6 10x
г)	y arctg			e2x e 2x

		4
б)	y 4
		tg8x 1

г)	y		4 x 2 arcsin		5x

		2

б) y esin x 2 cos x sin x cos3x

г)	y 4arcsin				x 1
г)	y 4arcsin			2
				2
		sin 2	x
		sin 2
б)	y	4
б)	y	4 cos2			x
					x
				4
				4
г)	y2 x 2 x sin y

д)

y x2arctgx ln

77.

а)

2x 2

x2 1

в)

y 2 ln sin 3x 2

д) e2y2

e 3x

x 2

78.

а)

3 4x2

в) y ln

e3x e 3x

д)

ln x 2 y2 arctg

x 2

79.

а)

y 3

x 1

в) y ln

3 1 e 3

д)

ey2

ax 2e y

2bx2

80.

а)

x2 4x 5

в)

y ln ctg

д) 3x y2

x y3 ln 3 15

б)

y e3x 3sin 2x 3cos 2x

г)

y 9x2 4 arctg3x

б)

1 sin 4x

г)

arccos

б)

1 tg7x

14 1 tg7x

г)

y a b arctg

a x 2

x 2 b

б)

sin3 10x

г) y	1 4x 2 arcsin 2x 2

91-100. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить графики функций:

x 4

4x 1

91.

а)

y 3

б)

y 1

92.

а)

y x5

б)

93.

а)

y x

24x 15

б)

ex e x

94.

а)

y 2x3 3x 2

12x 5

б)

x 2 16

95.

а)

y x 3 2 x 2

б)

y x 1 e 2x

96.

а)

y x4

8x3

16x2

б)

1 x 2

97.

а)

y x

б)

y ln x

98.

а)

2x3 6x 2 18x 15

б)

3 x 2

x 2

99.

а)

y x5

x3 2x

б)

y ln x 2 9

100.	а)	y 1 x 2					x 4	б)	y			5x 2
101-110.					8						x 2 25
101-110.		Найти частные производные функции:
			x	2		y				1			3y
101.	z ln tg3		x			y		102.	z	1		arctg	3y
101.	z ln tg3							102.	z			arctg		3
			3		6				2				4x	3
			3		6				2				4x

																y	2
																	2
103.	z 63 1 4xy x 2				3y3			104.	z 12cos2					x
103.	z 63 1 4xy x 2				3y3			104.	z 12cos2
															4
													3		4
105.	z	5x 2 2y						106.	z 2x y2 e x2 y
105.	z	x 3y						106.	z 2x y2 e x2 y
		x 3y

				x						2		2			x2				y2
107.	z		3x sin	x				108.	z 4a	2	b	2		1	x2				y2
107.	z		3x sin	y2				108.	z 4a		b			1	a 2				b	2
				y2											a 2				b	2
	z sin 2 x y2 sin 2					x	cos2 2y		z 2arcsin x
109.						x		110.								y2		2
109.						2		110.								y2		2
						2

111-120. Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием:

	xdx				2x 1
111. а)			б)				dx
				x	2
	4 x	2
						x 1

в)

112.а)

в)

113.а)

в)

114.а)

в)

115.а)

в)

116.а)

в)

117.а)

в)

118.а)

5x ln xdx

2 x 2 3 xdx

arctgxdx

arcsin x

1 x 2 dx

x ln x dx x 1

e x2 xdx

arcsin x dx x

ln3 x

x dx

arctgxdx sin xdx32 3cos x

x3 ln 1 x 2 dx dx

cos2 xtgx 1

ln cos x

sin 2 x dx

2x x 2 1 5dx

б)

6x 7

7x 11

12x 1

б)

x 1

б)

5 7x 3x

б)

x 3 dx

4x 3

б)

6x 1 dx

x 1

б)

2x 2

б)

x 3 dx

3 66x 11x

в)

x cos x

sin

119.

а)

x 2 dx

б)

5 x

x 3x 5

в)

x arctg

x 2 1dx

120.

а)

б)

1 x 2 arctg2 x

5x 2 x 1

в)

x 2 cos

121-130.

Найти неопределенные интегралы:

3x 2

121.

а)

б)

в)

1 tgx

122.

а)

x 2

б)

x 1

x 2

в)

sin3 x

1 cos

4x 2 x 1

123.

а)

б)

в)

1 cos x

124.

а)

x 1

б)

в)

sin x

1 sin x

125.

а)

б)

в)

sin x3 cos xdx

126.

а)

xdx

б)

x 1

x 2

в)

sin x cos x

127.

а)

x 2 dx

б)

x 2

1 x 1

в)

sin

128.

а)

x3 x 2

б)

3x 2

в)

cos4 xdx

	x3	x		dx
64
			x

xdx1 4x

4x3 1dx

6x 1

6x7 4x5 dx

3 x 2 xdx

xdxx 3 x2

1 3x x

6x5 3x 2 dx

2x 2

x 1

1 4

129.

а)

б)

в)

sin3 x cos2 xdx

130.

а)

x 1

б)

4 x 8 x3

в)

tg7 xdx

131. Вычислить объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси ординат фигуры, расположенной в первой четверти и ограниченной линиями:

y 2 x 2 ; y x ; y 0 .

132. Вычислить площадь фигуры, расположенной в верхней полуплоскости и ограниченной линиями:

y x 2 3x ; 3x y 4 0 ; y 0 .

133. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси координат фигуры, ограниченной линиями:

y 3 x 2 ; y x2 1.

134.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y 2 / x ; y x 1;

x 3.

135.Вычислить объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, расположенной в первой четверти и ограниченной линиями:

xy 4 ; y 3x ; y 0 .

136.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

xy 0 ; y 2x x 2 .

137.Криволинейная трапеция, ограниченная линиями: y e x , y 0 , x 0 , x 1,

вращается вокруг оси абсцисс.

Вычислить объем тела, которое при этом образуется.

138. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y sin x и	y cos x и
лежащей между любыми двумя точками пересечения этих кривых.

139. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

y2 4x , x 4

140.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y x3 , y 2x .

141-150. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

	2		dx
141. xe x	dx	142.
			x ln	5	x
0		e

143.				dx				144.			dx

							3			x	2		9
	1	2x 1							4	x			9
145.				dx				146.			x 1 dx
				dx							x 1 dx
															2
	2	x x 1							0 2 2x x
147.	0				dx			148.					dx

												3
		x			x	2	1				x	3		ln x
	2	x			x		1			e	x			ln x
149.		xdx						150.						dx

		x	4		9						x		2	4x 9
	1	x			9					2	x			4x 9

151-160. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения:

151.x2 y y2 x 2

152.y 2xy 2xe x2

153.x 2 2x 1 y x 1 y x 1

154.y x2 2x 2y

155.4x 2 xy y2 y x2 xy 4y2 0

156. y

2xy

3x 2 y2

157.xy y2 x2 y

158.2xy y 3x 2

159.y 2xy 2xex2

160.y y cos x sin 2x

161-170. Найти частное решение дифференциального уравнения y py qy f (x) ,

удовлетворяющего начальным условиям y(0) y0 ;

y (0) y0 :

161.

y 4y 3y e5x ,

y(0) 3,

y (0) 9 .

162.

y 6y 9y x 2

x 3,

y(0)

y (0)

163.

y 4y 4y e2x ,

y(0) 2,

y (0) 8.

164.

y y cos3x,

) 4,

y (

) 1.

165.

y 8y 16y e4x ,

y(0) 0,

y (0) 1.

166.

y 9y 6e3x ,

y(0) 0,

y (0) 0.

167.

y y 2cos x,

y(0) 1,

y (0) 0.

168.

y 4y 5y 2x2ex ,

y(0) 2,

y (0) 0.

169.

y 6y 9y 10sin x,

y(0) 0,

y (0) 2.

170.

y y 2y cos x 3sin x,

y(0) 1,

y (0) 2.

171-180. Найти область сходимости ряда степенного:

				xn			4n x n
171.					172.
171.		n	2	2n 1	172.		n	3	1
	n 1	n		2n 1		n 1	n		1
		x n					2n x 2n
173.					174.
173.		n 1			174.		n 1
	n 1	n 1				n 1	n 1

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.03.20161.1 Mб357Линейная алгебра методичка.docx
#
21.05.201599.2 Кб15Логика УФ УМП.docx
#
21.05.201583.6 Кб15Маркетинг 3 пок с темами.docx
#
15.04.2019464.93 Кб10Мат Анал.docx
#
21.04.2019325.14 Кб13Мат.Анализ шпора.docx
#
20.03.2016352.23 Кб30МатАнализ.pdf
#
11.09.20191.8 Mб4матем 2 курс камалян.doc
#
21.05.2015704.53 Кб161Математика.docx
#
20.03.201612.66 Mб558Математический анализ методичка.docx
#
14.11.2019251.39 Кб4Математический конструктор. Задачи..doc
#
20.03.20161.1 Mб25Материал на экзамен.pdf