1224-osn_electrodinam_zadachi
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
y0 |
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
A |
B |
Ax |
Ay |
Az |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bx |
By |
Bz |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Az Bx Ax Bz |
|||||||||
x0 |
x0 24 10 y0 |
5 18 z0 6 4 Ay Bz Az By |
y0 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z0 |
Ax By Ay Bx x0 24 10 y0 5 |
18 z0 6 4 |
34x0 |
13y0 |
10z0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и покажем, |
что вектор C ортогонален векторам A и |
B , то есть что |
A C 0 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и что B C 0. Действительно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A C Ax Cx Ay Cy Az Cz 34 |
3 13 4 10 5 0 |
||||||||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B y Cy Bz Cz 34 1 13 2 10 6 0 , |
||||||||||||||||||||
|
|
B |
C Bx Cx |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а при этом вектор C ортогонален векторам A и |
B . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1.7.8. Две материальные точки 1 и 2 движутся вдоль осей x и y соответ- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ственно со скоростями v1 2x0 |
см/с и v2 |
3y0 см/с. При t = 0 их координаты |
|||||||||||||||||||||||||
равны x1 = 3см; |
y1 = 0 см; |
x2 |
= 0 см; |
y2 = 3 см. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
Найдите вектор |
r r2 |
r1 |
, выражающий положение материальной |
|||||||||||||||||||||||
точки 2 относительно точки 1 как функции времени. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
б) Когда и где расстояние между этими точками является наименьшим? |
|||||||||||||||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) Запишем выражение для радиусов-векторов точек 1 и 2 как функцию |
|||||||||||||||||||||||||||
времени: |
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
r1 t |
r1 |
v1 |
t 3 2t x0 , |
|
|
|
|
|||||||||||||||
где v1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2x0 |
, r1 t 0 3x0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
|
t 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
r2 t r2 |
v2 |
3t y0 , |
|
|
|
|
||||||||||||||||
где v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3y0 |
, r2 t 0 3y0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) Расстояние между точками будет изменяться со временем, и его бу- |
|||||||||||||||||||||||||||
дет характеризовать длина вектора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
r t |
r2 |
t r1 |
t 3 2t x0 |
3t y0 , |
|
|
|
||||||||||||||||
которая равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r t |
|
|
|
|
|
2t 3 2 3t 3 2 13t 2 30t 18 . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
r t |
|
|
|
Чтобы найти в какой момент времени будет наименьшее расстояние между точками, продифференцируем выражение для r(t) и приравняем его к
нулю: |
|
|
|
|
|
|
r t |
0.5 |
|
26t 30 |
0 . |
||
t |
|
|
|
|||
13t 2 30t 18 |
||||||
|
|
Откуда получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
30 |
|
1.15c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2t |
|
|
3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Ответ: r |
x0 |
|
3 y0 см; t = 1.15 с. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1.7.9. Докажите, что |
|
|
|
|
перпендикулярен |
|
|
если |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
вектор a |
к вектору b , |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a |
b |
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
Из равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то есть: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
a b |
|
следует, что a |
b |
a b |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 2 a |
b |
b 2 |
a |
2 2 a |
b |
b |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Откуда следует, что скалярное произведение |
|
|
0 . |
Поскольку по |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
b |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos , |
то в рассматриваемом случае cos = 0, |
а сам |
|||||||||||||||||
определению a |
b a b |
||||||||||||||||||||||||||||||
угол между векторами = 90 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
то есть вектор a перпендикулярен к вектору |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b .
1.7.10. Начало вектора в точке А(2; 3); конец его в точке В( 1; 4). Разложить этот вектор по единичным векторам координатных осей.
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
AB 1 2 x0 |
4 3 y0 |
3x0 y0 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
AB 3x0 |
y0 . |
|
|
1.7.11. Доказать, что векторы, имеющие начало в точке А( 1; 1), а концы в точках В(1; 2) и С(0; 1) соответственно, ортогональны.
Решение.
Запишем выражения для векторов:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
AB 1 1 x0 |
2 1 y0 |
2x0 |
y0 |
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
AC 0 1 x0 |
1 1 y0 x0 |
2y0 . |
Запишем выражение для скалярного произведения векторов:
AB BC 2 1 1 2 0 .
Ответ: векторы ортогональны, так как их скалярное произведение равно нулю.
1.7.12. Найти угол, который составляет винтовая линия x = R cost, y = R sint, z = t с ее осью (ось z). Здесь величина численно равна линейной скорости вращательного движения = r.
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем выражение для вектора касательной dr : |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dr dx x0 |
dy y0 |
dz z0 |
R sin t x0 |
R cos t y0 |
v z0 . |
22
Запишем выражения для косинуса угла , который составляет винтовая
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
линия с осью z для |
z0 |
, для |
dr z0 |
dr |
, а затем вычислим cos и : |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
z |
|
1; |
|
|
|
|
dr z |
dr |
|
1 v ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dr |
|
|
|
|
r 2 |
cos2 |
t sin 2 t v2 |
|
|
|
|
r 2 |
v2 |
|
|
|
|
v2 |
v2 v |
2 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos |
z0 |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
arccos |
|
|
|
|
1 |
|
|
450 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: =45 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1.7.13. Вычислить лапласиан функции |
|
1 |
|
|
r2 U |
|
, |
если функция U = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
U(x, y, z) – гармоническая, а r 2 x2 |
|
y2 |
z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Запишем |
выражения |
|
|
|
|
для |
|
|
|
комплексной |
|
амплитуды гармонической |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции U = U(x, y, z) и для лапласиана функции |
|
|
1 |
|
|
r 2 |
U |
|
: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
U0 exp j k r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
r 2 U |
|
exp |
j k r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U |
0 |
|
|
|
|
|
2 r exp j k r r |
exp j k |
r |
j k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
j k r |
exp j k |
r |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Запишем выражения для векторов |
и |
|
|
|
|
|
|
и для скалярного произведе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
k |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ния k |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
x x0 |
|
|
y |
y0 |
z z0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
kx x0 |
ky y0 |
|
|
kz z0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kx x k y y kz z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
С учётом последнего выражения формула для лапласиана 2 примет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вид: |
|
|
|
2 2 j k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z exp j k |
|
|
x exp j k |
|
|
y exp j k |
|
z . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 U |
0 |
x |
|
x k |
y |
|
y k |
z |
x |
y |
|
z |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Лапласиан функции 2 в декартовой системе координат равен: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y 2 |
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим каждое слагаемое лапласиана функции отдельно:
23
x2 U0 |
x j kx exp |
j k |
r |
2 j k |
r |
j kx exp j k |
r |
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U0 |
x j kx exp j k |
r 3 |
j k r |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
U0 j kx |
exp j k r 3 |
j k |
r |
j kx |
exp j k |
r |
|||||||||||
U |
|
k 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
exp j k r 4 |
j k r . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу симметрии функции относительно декартовой системы координат, имеем:
2 U 0y 2
2 U0z 2
k 2 |
|
|
4 |
|
|
|
; |
exp j k |
r |
j k |
r |
||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
k 2 |
|
|
4 |
|
|
|
. |
exp j k |
r |
j k |
r |
||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим лапласиан, суммируя три последних выражения для его слагаемых:
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
U |
|
exp |
|
|
|
|
|
|
k 2 |
k 2 k 2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
j k |
r |
4 j k |
r |
||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
U0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
exp j k |
r 4 |
j k r . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Ответ: 2 U |
|
|
|
|
|
2 |
exp j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
k |
|
|
|
|
k |
r |
4 j k |
r . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7.14. |
В декартовой системе координат скалярное поле имеет вид |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
exp j k |
r , |
где |
|
|
|
|
k |
kx x0 |
ky y0 kz z0 |
; r |
|
радиус-вектор; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
, y0 |
, z0 орты. Найти выражения для grad и 2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Запишем выражения для векторов r |
и k , для скалярного произведения |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k и для скалярного поля |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
x x0 y y0 |
z |
z0 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
kx x0 |
k y y0 kz z0 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k y y kz z ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
r kx |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
exp j k |
r exp j kx x k y y kz z . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Найдём выражение для grad : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
grad x0 x y0 y |
z0 |
z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
j kx exp j k |
r x0 j ky exp |
j k r |
y0 j kz exp j k |
r |
z0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
j exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
j k |
r kx x0 |
k y y0 |
kz z0 j k |
. |
|
|
24
Вычислим лапласиан:
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x2 |
|
y2 |
z2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
j k y |
|
exp j |
|
j kz |
||||||||||||
j kx |
exp j k r |
|
|
k r |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2 |
k 2 k 2 |
|
|
|
. |
|
||||
|
exp j k |
r |
k |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
||
Ответ: grad j k |
; |
|
|
2 k |
|
|
|
|
|
|
|
exp j k |
r |
1.7.15. В сферической системе |
координат |
векторное |
поле A имеет |
|||||||||||||
единственную r-ю составляющую, причем Ar = |
f(r). |
Какова должна быть |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция f(r) чтобы дивергенция поля |
|
A обращалась тождественно в нуль? |
||||||||||||||
Построить картину силовых линий поля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем выражение для r-ой составляющей дивергенции поля A в |
||||||||||||||||
сферической системе координат и приравняем её к нулю: |
0 . |
|||||||||||||||
divA Ar |
2 A |
1 r |
|
Ar |
1 |
r |
|
f r |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
||||
|
r |
r 2 |
|
r 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Откуда следует, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r 2 f r 0, |
r2 f(r) = const = a |
и |
f r |
a |
. |
|||||||||||
|
||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 2 |
|
Другой вариант решения. Из выражения:
|
|
|
divA Ar |
2 A |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
получим равенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ar |
|
|
2 r |
, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Ar |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
интегрирование которого даёт: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A r2 |
|
|
||
ln Ar = 2 ln r + ln C |
|
или |
|
|
|
|
r |
|
|
|
0 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
ln |
С |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это означает, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A r2 |
|
|
|
|
|
|
|
f r A |
С |
|
||||||
|
r |
|
1 |
и |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Картина силовых линий поля Ar = f(r) изображена на рисунке 1.1.
Ответ: f r Ar rС2 , где С – константа.
25
Рисунок 1.1 – Картина силовых линий поля
1.7.16. Определить дивергенцию и ротор векторного поля A , характеризуемого следующими составляющими в цилиндрической системе коорди-
нат: Ar 10r3 , A = 0, Az = 0.
Решение.
Запишем выражение для дивергенции и ротора векторного поля A в
цилиндрической системе координат при A |
10 |
|
|
|
A = 0 и A = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 A |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 10 3 10 10 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
r |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
divA |
r |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
r |
|
r |
|
r |
|
z |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
r r3 |
|
|
|
r 4 |
|
r 4 |
|
|
|
r 4 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
A |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
rA |
|
A |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
rotA r |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
r |
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ответ: divA 20 , |
rotA 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.7.17. |
В сферической системе координат векторное поле |
A r r0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить скалярное поле divA . Качественно построить картину силовых линий векторного поля.
Решение.
Запишем выражение для дивергенции векторного поля A в сфериче-
|
|
|
ской системе координат при A r r0 |
: |
divA Ar 2 A |
r 2r 1 2 3. |
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
r |
|
|
|
|
r r |
r r |
|||||
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
Качественная картина силовых линий векторного поля |
A r r0 |
изоб- |
ражена на рисунке 1.2.
Рисунок 1.2 – Качественная картина силовых линий векторного поля
Ответ: divA 3 .
1.8 Задачи для самостоятельной работы
1.8.1 В декартовой системе координат векторное поле A имеет единственную составляющую Az. Установить является ли поле соленоидальным или потенциальным.
Данные для решения задачи приведены в таблице 1.1 и зависят от номера варианта.
Таблица 1.1 – Данные для решения задачи
Номер |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
|
9 |
10 |
||
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аz |
5х+4 |
х+у2 |
|
6lnx |
sin2x |
|
cos2y |
|
3tgx |
ctgy |
|
|
|
xy y |
x y |
xy |
||||
Номер |
11 |
12 |
|
13 |
14 |
|
|
15 |
|
16 |
|
17 |
|
18 |
|
|
19 |
20 |
||
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аz |
x y3 |
ln(x/y) |
|
ln(xy) |
х3+у2 |
|
ln(x3y) |
|
ey |
|
ey-x |
|
1 |
|
|
tg2x |
xy |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cosx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Номер |
21 |
22 |
|
23 |
24 |
|
|
25 |
|
26 |
|
27 |
|
28 |
|
|
29 |
30 |
||
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg(x2y) |
cos2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
yx |
||
Аz |
x2 y |
tg(y/x) |
|
ln(x/y) |
|
tgx |
|
x2 3 |
|
|
|
|
|
ln3x |
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.8.2 Даны два векторных поля: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
A |
Ax x0 Ay y0 Az z0 |
; B |
3x0 |
4y0 |
6z0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Рассчитать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
Длину каждого вектора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
б) |
Скалярное произведение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
в) |
Определить угол между векторами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
г) Найти направляющие косинусы каждого из векторов. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
Найти A |
B |
и разность A B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
е) |
Найти векторное поле C A |
B . Показать, что вектор C ортогона- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лен векторам A и |
B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Данные для решения задачи приведены в таблице 1.2 и зависят от номе- |
||||||||||||||||||
ра варианта, представляющего трёхзначное число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таблица 1.2 – Данные для решения задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Первая цифра |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
|
9 |
0 |
|
||
|
номера варианта |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ах |
|
|
+3 |
+4 |
|
5 |
|
6 |
+7 |
2 |
+5 |
|
7 |
|
+2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Вторая цифра |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
|
9 |
0 |
|
||
|
номера варианта |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ау |
|
|
+5 |
+6 |
|
+7 |
|
8 |
1 |
3 |
+3 |
|
+4 |
|
+5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Третья цифра номе- |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
|
9 |
0 |
|
||
|
ра варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Аz |
|
|
+5 |
4 |
|
3 |
|
+2 |
+1 |
6 |
4 |
|
2 |
|
+3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.8.3 Начало вектора в точке В(2; 3); конец его в точке А(Ах; Ау; Аz). Разложить этот вектор по единичным векторам координатных осей.
Данные для решения задачи приведены таблице 1.2 и зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число.
1.8.4 В декартовой системе координат скалярное поле задано выражением = Az. Данные для решения задачи приведены в таблице 1.1 и зависят
от номера варианта. Найти выражения для grad и 2.
1.8.5 В декартовой системе координат проекции векторного поля A постоянны в каждой точке пространства. Значения Ах и Ау приведены таблице 1.2 и зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число. Зна-
чение Аz = 0 для всех вариантов. Построить картину силовых линий поля.
1.8.6 Определить дивергенцию и ротор векторного поля A , имеющего единственную составляющую в цилиндрической системе координат:
Ar ar Nc . Значения постоянных а, с и N приведены в таблице 1.3 и зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число.
28
1.8.7 Определить дивергенцию и ротор векторного поля A , имеющего единственную составляющую в сферической системе координат: Ar ar Nc .
Значения постоянных а, с и N приведены в таблице 1.3 и зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число.
Таблица 1.3 – Значения постоянных а, с и N
Первая цифра |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
номера варианта |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а |
+3 |
+4 |
5 |
6 |
+7 |
2 |
+5 |
7 |
+2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вторая цифра |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
номера варианта |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с |
+5 |
+6 |
+7 |
8 |
1 |
3 |
+3 |
+4 |
+5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Третья цифра но- |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
мера варианта |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
N |
3 |
4 |
5 |
2.5 |
3.5 |
4.5 |
5.5 |
3.3 |
4.8 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.8.8Задан потенциал = x2 yz. Найти градиент потенциала в точке с координатами, значения которых (x = a, y = c, z = N) приведены в таблице 1.3
изависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число.
1.8.9В декартовой системе координат плоское векторное поле описыва-
|
|
|
|
ется уравнением: A by x0 |
cx y0 |
. Найти уравнение силовых линий век- |
торного поля и построить картину этого поля. Значения постоянных b и с приведены в таблице 1.4 и зависят от номера варианта, представляющего двухзначное число.
Таблица 1.4 – Значения постоянных b и с
Первая цифра номера варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
2 |
5 |
7 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вторая цифра номера варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
5 |
6 |
7 |
8 |
1 |
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
2ТЕМА 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА
2.1Основные формулы электромагнетизма
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
F |
напряженность электрического поля [В/м], |
|||||||
|
|
1. |
E |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
q0 |
|
|
|
|
|
||
где |
сила, действующая на единичный положительный заряд q0. |
||||||||||
F |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
FЛ q E q B сила Лоренца, |
||||||||
|
|
скорость переноса заряда q, |
|
вектор магнитной индукции. |
|||||||
где |
B |
||||||||||
|
|
3. |
F |
q1 q2 |
закон Кулона, |
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
4 r |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
a 12 |
|
|
|
|
где r12 расстояние между зарядами q1 и q2, a абсолютная диэлектрическая проницаемость;
a = 0,
где 0 диэлектрическая проницаемость вакуума, а относительная диэлек-
трическая проницаемость. |
|
|||||||
|
|
|
q |
|
||||
4. |
jпр |
|
плотность тока проводимости при переносе зарядов |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
V |
|
|||
в вакууме или в электролитах (плотность тока переноса), |
||||||||
|
q |
|
|
|
|
|||
где |
|
|
объёмная плотность заряда, скорость переноса заряда. |
|||||
|
|
|||||||
V |
|
закон Ома в дифференциальной форме, |
||||||
5. |
jпр E |
|||||||
где удельная проводимость среды (См/м); |
1 |
удельное сопротив- |
||||||
пр |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ление среды (Ом∙м).
6.q divjпр 0 закон сохранения заряда.
t
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
7. EdS |
|
; |
divE |
закон Гаусса в интегральной и дифференци- |
|||||
a |
a |
||||||||
S |
|
|
|
|
|
||||
альной форме, соответственно. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. Hdl |
j |
dS I ; |
rotH j закон полного тока в интегральной и |
||||||
L |
S |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дифференциальной форме, |
соответственно, где H вектор напряженности |
||||||||
магнитного поля. |
|
|
|
|
|
||||
Поток |
|
|
|
|
|||||
j dS |
вектора j |
плотности полного тока через замкнутую по- |
S
верхность S равен полному току I через поверхность, а также равен циркуля-