Конспект_лекций_по_курсу_Дискретная_математика
.pdfx y(xRy x y) , т.е. из принадлежности любой пары (x, y) отношению R следу-
ет, что первый элемент этой пары не совпадает со вторым. Иначе говоря, ни одна пара вида (х, х) не входит в отношение.
В матрице антирефлексивного отношения на главной диагонали стоят только нули, графическое представление не содержит ни одной петли.
Пример 1.4.16. 1. Пусть Х – множество людей; R = {(x, y)| x – брат y}. Так как ни один человек не может быть братом самому себе, то это отношение антиреф-
лексивно.
2. Пусть Х – множество участников шахматного турнира; R = {(x, y)| x – побе-
дитель y}. Так как ни один участник турнира не играет сам с собой и, следователь-
но, не может быть победителем самого себя, то это отношение антирефлексивно.
3. Пусть Х – множество прямых на плоскости; R = {(x, y)| прямая x перпенди-
кулярна прямой y}. Так как ни одна прямая не может быть перпендикулярна самой себе, то свойство антирефлексивности для этого отношения выполняется.
Очевидно, что отношение не может одновременно обладать свойствами реф-
лексивности и антирефлексивности – эти свойства несовместимы друг с другом.
3) Симметричность
Отношение R на множестве Х называется симметричным, если
x y(xRy yRx) , т.е. из принадлежности любой (x, y) отношению R следует, что и противоположная пара (y, x) R.
Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диа-
гонали. В графическом представлении каждой стрелке, идущей от одного объекта к другому, соответствует стрелка, идущая в противоположном направлении.
Пример 1.4.17. 1. Пусть Х – множество людей; R = {(x, y)| x – знаком с y}. Так как из знакомства человека х с человеком y следует, что и человек y знаком с чело-
веком х, то это отношение симметрично.
2. Пусть Х – множество треугольников; R = {(x, y)| х подобен y}. Так как из подобия треугольника х треугольнику y следует и подобие треугольника y тре-
угольнику х, то это отношение симметрично.
-31-
3. Пусть Х – множество прямых на плоскости; R = {(x, y)| прямая x перпенди-
кулярна прямой y}. Так как из того, что прямая х перпендикулярна прямой y сле-
дует, что и прямая y перпендикулярна прямой х, то отношение перпендикулярно-
сти прямых симметрично.
4) Асимметричность
Отношение R на множестве Х называется асимметричным, если
x y((x, y) R ( y, x) R) , т.е. ни одной паре (x, y), принадлежащей отношению,
не соответствует противоположная пара (y, x).
Пример 1.4.18. 1. Пусть Х – множество участников шахматного турнира;
R = {(x, y)| x – победитель y}. Так как из того, что игрок х победил в турнире игро-
ка y, следует, что игрок y не победил игрока х, то это отношение асимметрично.
2.Пусть Х – множество людей; R = {(x, y)| x – отец y}. Если х – отец y, то y не может быть отцом х, следовательно, это отношение асимметрично.
3.Пусть Х – множество людей; R = {(x, y)| x младше y}. Если x младше y, то y
не может быть младше х, следовательно, это отношение асимметрично.
5) Антисимметричность
Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если
x y((xRy yRx) y x) , т.е. одновременная принадлежность отношению обеих пар (x, y) и (y, x) возможна только тогда, когда оба элемента этих пар одинаковы.
Очевидно, что отношение не может быть одновременно симметричным,
асимметричным и антисимметричным – эти свойства несовместимы друг с другом.
Пример 1.4.19. 1. Пусть Х – множество целых чисел; R = {(x, y)| х – делитель y}. Если х является делителем y и одновременно y является делителем х, то отсюда следует, что х и y одно и то же число, т.е. отношение делимости антисимметрично.
2.Пусть Х – множество вещественных чисел; R = {(x, y)| х y}. Если х y и y
x, то это значит, что x = y и, следовательно, отношение нестрогого неравенства антисимметрично.
-32-
6) Транзитивность
Отношение R на множестве Х называется транзитивным, если
x y z((xRy yRz) xRz) , т.е. из того, что пара (x, y) R и пара (y, z) R следует,
что также и пара (x, z) R.
Пример 1.4.20. 1. Пусть Х – множество целых чисел; R = {(x, y)| х – делитель y}. Очевидно, что если число х является делителем числа y, а число y является де-
лителем числа z, то х является делителем числа z, таким образом, условие транзи-
тивности выполняется.
2. Пусть Х – множество треугольников; R = {(x, y)| х подобен y}. Очевидно,
что если треугольник х подобен треугольнику y, а треугольник y подобен тре-
угольнику z, то треугольник х подобен треугольнику z, следовательно, отношение подобия обладает свойством транзитивности (это, очевидно, справедливо не толь-
ко для треугольников, но и для любых геометрических фигур).
1.4.2.5. Виды отношений
1) Отношение эквивалентности
Отношение E называется отношением эквивалентности, если оно одновре-
менно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Пример 1.4.21. Отношение подобия на множестве треугольников, отношение параллельности на множестве прямых, отношение равенства на любом множестве,
отношение параллельности на множестве прямых и т.п.
Если на множестве X задано отношение эквивалентности и пара (x, y) принад-
лежит этому отношению, то мы будем обозначать это символом тильда : x y
(читается "x эквивалентно y").
Множество элементов y, эквивалентных данному элементу x, называется
классом эквивалентности элемента x: E(x) = {y| x y}. Множество всех классов эквивалентности, определенных на множестве X с помощью отношения эквива-
лентности E, называется фактор-множеством множества X по отношению E. Его обозначают X/E (не путайте с разностью множеств, для обозначения которой ис-
пользуется знак \).
-33-
Пример 1.4.22. 1. Для отношения принадлежности к одной учебной группе классом эквивалентности является множество студентов этой группы, а фактор-
множеством – множество учебных групп университета.
2. Для отношения параллельности на множестве прямых классом эквивалент-
ности является множество прямых, параллельных данной прямой, а фактор-
множеством – множество классов эквивалентности всех не параллельных друг другу прямых.
Каждое непустое множество X может быть разбито на непересекающиеся подмножества Xi, каждое из которых не является пустым. Множество таких под-
множеств называется разбиением множества X. Если таких подмножеств n, то
n
объединение всех этих подмножеств совпадает с X: X i X , а X i X j , если
i 1
i ≠ j.
Можно доказать, что фактор-множество X/E является разбиением множества
X, и наоборот, если каким-то образом выполнено разбиение множества X, то все-
гда можно задать соответствующее ему отношение эквивалентности E по следую-
щему правилу: xEy x, y Xi для некоторого i.
2) Отношение частичного порядка
Отношение R называется отношением частичного порядка, если оно одно-
временно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично.
Пример 1.4.23. Отношение делимости на множестве натуральных чисел, от-
ношение нестрогого неравенства на множестве вещественных чисел, отношение включения на множестве подмножеств некоторого множества.
3) Отношение строгого частичного порядка
Отношение R называется отношением строгого частичного порядка, если оно транзитивно и асимметрично.
Пример 1.4.23. Отношение строгого неравенства на множестве веществен-
ных чисел, отношение "быть предком" на множестве людей.
-34-
2.ТЕОРИЯ ГРАФОВ
2.1.Основные понятия и определения
2.1.1.Определение графа
Графом называется пара Х, Г , где Х – некоторое непустое множество, а
Г Х Х, т.е. в смысле этого определения граф представляет собой в сущности от-
ношение на множестве Х.
Втеории графов Г часто называют отображением множества Х в себя.
2.1.2.Способы задания графов
Поскольку графы являются отношениями, то и задаются они так же, как от-
ношения.
1)аналитический способ задания: задаются Х и Г (т.е. множество входящих
вГ пар) или Х и множество образов всех элементов множества Х, иногда называе-
мое фактор-множеством множества Х по отображению Г (обозначается Х/Г).
Пример 2.1. 1. Х = {х1, ..., х5}; Г = {(х1, х2), (х1, х5), (x2, х1), (x2, x3), (x2, x4), (x4, х1), (x4, х2), (x4, x5), (x5, x3), (x5, x5)} – задание графа перечислением пар, входя-
щих в Г.
2. Х = {х1, ..., х5}; X/Г = {Гх1 = {х2, х5}, Гx2 = {x1, x3, x4}; Гx3 = ;
Гx4 = {x1, x2, x5}; Гx5 = {x3, x5}} – задание того же графа с помощью фактормножества.
2) графический способ задания: множество X изображается в виде точек на плоскости, называемых вершинами графа; отображение Г задается линиями со стрелками, направленными от вершин к их образам. Эти линии называются
дугами. Если две вершины соединены дугой, то они называются смежными.
Дуга, конец которой совпадает с ее началом, называется петлей.
Пример 2.2. Графическое представление графа из примера 2.1 (рис. 2.1).
-35-
|
x3 |
x2 |
x4 |
x1 |
x5 |
Рис. 2.1
3) матричный способ задания: каждой вершине графа ставится в соответст-
вие строка и столбец матрицы. Если из вершины xi в вершину xj идет дуга, т.е.
вершина xj входит в состав образа вершины xi (xj Гxi), то на пересечении строки xi и столбца xi ставится 1, в противном случае – 0. Такая матрица называется мат-
рицей смежности графа.
Пример 2.3. Граф из примера 2.1 имеет следующую матрицу смежности:
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|
x 0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
x2 1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
R (rij ) x3 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
x4 1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
x5 0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
Если для какой-либо пары вершин (xi, xj) rij = rji, то в графическом представле-
нии часто вместо пары противоположно направленных дуг изображают линию без стрелки, которую называют звеном.
Граф, состоящий только из звеньев, называется неориентированным графом,
или сокращенно неографом.
Граф, в котором звенья отсутствуют, называется ориентированным графом,
или орграфом.
Если в графе есть и дуги, и звенья, то он называется смешанным.
Совокупность дуг и звеньев принято называть ребрами.
Пример 2.4. 1. План города можно представить в виде графа, вершинам кото-
рого соответствуют перекрестки, а ребрам – улицы, причем улицам с односторон-
-36-
ним движением ставятся в соответствие дуги, а улицам с двусторонним движени-
ем – звенья.
2. Результаты шахматного турнира можно представить в виде графа, в кото-
ром вершинам соответствуют игроки, дуга идет от победителя к побежденному, а
звено связывает участников, сыгравших вничью.
Иногда наряду с орграфом или смешанным графом необходимо рассматри-
вать неограф, отличающийся от исходного графа только тем, что все дуги замене-
ны звеньями. Такой неограф называется соотнесенным неографом.
Если вершина является началом или концом какого-либо ребра, то говорят,
что эта вершина инцидентна этому ребру (дуге, звену), а ребро инцидентно этой вершине.
Вершина, не инцидентная ни одному ребру графа, называется изолирован-
ной. Граф, состоящий только из изолированных вершин, называется нуль-
графом.
Граф называется полным, если в нем любая пара вершин соединена между собой хотя бы в одном направлении.
В отличие от обычных отношений в графе пары вершин могут быть соедине-
ны несколькими ребрами, имеющими одну и ту же ориентацию. Такие ребра на-
зываются кратными, а граф, в котором имеются кратные ребра, называется муль-
тиграфом. Количество ребер, связывающих в мультиграфе две смежные вершины,
называется кратностью. Кратность ребра (xi, xj) обозначается (xi, xj). Эта величи-
на ставится в матрице смежности вместо единиц и нулей.
Пример 2.5. 1. План города, где имеются улицы с многополосным движени-
ем: каждая дуга означает полосу движения; кратность – количество полос для движения в одном направлении;
2. Результаты турнира, проводящегося в несколько кругов: кратность – коли-
чество побед одного участника над другим.
Иногда возникает необходимость указания на графе дополнительной инфор-
мации об объектах, представленных ребрами графа, например, длины участка до-
-37-
роги или ее пропускной способности, или мощности линии электропередачи и т.п.
Эта информация записывается при графическом представлении графа рядом с ду-
гой, а при матричном представлении – вместо единицы, указывающей на наличие связи между вершинами. Эта величина называется мерой ребра, а соответствую-
щая матрица называется матрицей мер. Мера ребра (xi, xj) обозначается (xi, xj).
Соответствующий граф называется графом с нагруженными ребрами.
2.1.3. Пути, контуры, цепи и циклы в графе
Путем в графе называется любая последовательность дуг, в которой конец каждой предыдущей дуги совпадает с началом следующей дуги.
Путь называется простым, если он не содержит повторяющихся дуг. В про-
тивном случае путь называется составным.
Простой путь называется элементарным, если он не содержит повторяю-
щихся вершин.
Контуром в графе называется конечный путь, у которого начальная и конеч-
ная вершина совпадают. Как и другие пути, контуры могут быть простыми, со-
ставными и элементарными, причем контур называется элементарным, если в нем ни одна вершина не встречается дважды, кроме начальной и конечной (которые совпадают).
Внеографах аналогом пути является цепь (составная, простая, элементарная),
ааналогом контура – цикл (составной, простой, элементарный).
Количество ребер, из которых состоит путь (цепь, контур, цикл), называется его длиной. При определении длины составного пути (цепи, контура, цикла) по-
вторяющиеся ребра учитываются столько раз, сколько они встречаются в этом пу-
ти.
Пример 2.6. В графе, представленном на рис. 2.2, путь (x1, x2, x4, x1, x2, x3) яв-
ляется составным, так как в нем дуга (x1, x2) содержится дважды; путь (x2, x4, x1, x2, x3) - простой, но не элементарный, так как в нем вершина x2 встречается дважды;
путь (x4, х1, x2, x3) - элементарный, так как он не содержит повторяющихся вершин.
-38-
x3
x2 x4
x1 |
x5 |
|
Рис. 2.2
В этом графе контур (x4, x2, x4, х1, x2, x4) - составной, (х1, x5, x3, х1, x2, x4, х1) – простой, но не элементарный, (х1, x2, x4, х1) – элементарный.
2.2. Операции над графами
Над графами выполняются те же операции, что и над отношениями на мно-
жествах. Особенности имеют место только в композиции мультиграфов.
Пусть G1 = X, Г1 и G2 = X, Г2 – два графа, заданных на одном и том же множестве вершин X. Рассмотрим их композицию, которая представляет собой граф на том же множестве вершин. Если это обычные графы, то дуга (xi, xj) при-
надлежит композиции G1 G2 тогда и только тогда, когда существует путь
(xi, xk, xj), состоящий из двух ребер, в котором дуга (xi, xk) принадлежит графу G1, а
дуга (xk, xj) принадлежит графу G2. Если таких путей несколько, то в композицию все равно включается только одно ребро.
Если же G1 и G2 – мультиграфы, то в их композицию включается столько дуг
(xi, xj), сколько существует путей длины 2 вида (xi, xk, xj), в которых дуга (xi, xk)
принадлежит графу G1, а дуга (xk, xj) – графу G2.
Пример 2.7. На рис. 2.3 представлены два графа G1 = (X, Г1) и G2 = (X, Г2), а
на рис. 2.4 и их композиции: а) для случая, когда оба эти графа рассматриваются как обычные графы; б) для случая, когда эти графы рассматриваются как мульти-
графы с однократными ребрами.
-39-
x2 |
G1 |
x2 G2 |
x3 |
x1 |
x3 |
x1 |
|
|
Рис. 2.3
x2 |
x2 |
а) |
б) |
x1x3 x1x3
Рис. 2.4
При матричном способе представления графов матрица композиции обычных графов получается как булево произведение матриц смежности исходных графов
(см. композицию отношений), а матрица смежности композиции мультиграфов получается как обычное произведение матриц смежности исходных мультиграфов.
Упражнение. Выполните операции из предыдущего примера матричным спо-
собом и сравните полученные результаты с графическими.
2.3. Частичные графы и подграфы
Граф H = X, называется частичным графом для графа G = X, Г , если они заданы на одном и том же множестве вершин и множество ребер графа H яв-
ляется подмножеством множества ребер графа G, т.е. Г.
Граф GA = A, ГA называется подграфом графа G = X, Г , если A X, а мно-
жество его ребер состоит из всех тех ребер графа G, оба конца которых лежат в множестве А.
Пример 2.8. На рис. 2.5 изображен граф G = X, Г (X = {x1, x2, x3, x4}), один из его возможных частичных графов H = X, и подграф GA = A, ГA , определен-
ный на множестве вершин A = {x1, x2, x4}
-40-