Глава 5
.pdfПример 1. Докажите, что L1 L2 |
|
|
|
|
L1 |
L2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
Доказательство. Пусть x L |
L |
|
|
|
. |
|
Тогда y L |
L |
|
|
|
x, y 0. В |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
силу того, что |
y L L |
, y y |
y |
2 |
, |
где |
y |
L , а y |
2 |
L |
|
. Следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x, y x, y1 x, y2 |
0. |
Если в последнем равенстве выбрать |
y2 |
, |
то из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
условия |
|
x, y1 |
|
0 |
заключаем, что |
|
|
|
|
|
. Полагая |
y1 , получаем, что |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x L1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x, y2 0 |
или |
|
|
|
|
|
Другими словами, из условия x L1 |
L2 |
|
|
вытекает, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x L2 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x L1 |
L2 |
.Пусть теперь x L1 |
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x, y |
y |
2 |
x, y x, y |
2 |
0 , т.к. |
x L и |
|
x L |
. Значит, |
|
x L L |
|
. Та- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|||||||
ким образом, мы получили, что если |
x L1 |
|
L2 |
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x L1 L2 . И, наобо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рот, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то x L1 |
L2 |
|
. Сказанное равносильно равенству |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x L1 |
L2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
L1 L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
L1 |
|
L2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Пример 2. Линейное подпространство |
|
L1 |
задано системой уравнений: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x |
x |
2 |
|
3x |
3 |
|
x |
4 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2x |
|
|
2x |
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3x |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
9x |
|
|
x |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3x |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдите базис ортогонального дополнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
L1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Найдем базис |
L1 |
. Для этого решим данную однородную систему |
уравнений:
2 1 |
|
|
3 1 |
1 |
1 3 |
|
1 |
1 |
1 |
3 |
|
1 |
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 2 |
|
|
0 2 |
~ |
3 2 0 |
|
2 |
~ |
0 |
|
1 |
9 |
|
1 |
~ |
|
0 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 9 |
|
|
|
|
|
2 |
18 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 1 |
|
|
9 1 |
3 |
|
|
1 |
0 |
|
2 |
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||
dimL |
1 |
n r 4 2 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
, x4 |
- свободные переменные; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
2 |
9x |
3 |
x |
4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x x |
2 |
3x |
3 |
x |
4 |
9x |
3 |
x |
4 |
|
3x |
3 |
x |
4 |
6x |
3 |
x |
|
6x |
3 |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Таким образом, общее решение имеет вид: |
|
6x |
3 |
,9x |
3 |
x |
4 |
, x |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
9 |
1 |
; |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
, x |
|
T |
. Выбирая |
|
|||
4 |
|
значения свободных переменных в соответствии с таблицей
i |
x |
i |
x |
i |
|
3 |
4 |
||||
|
|
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|||
1 |
1 |
0 |
|||
|
|
|
|||
2 |
0 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
получаем базисные векторы подпространства
e1 6,9,1,0 |
T |
, |
e2 0,1,0,1 |
T |
. |
|
|
L1
:
Поскольку |
|
R |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, а ортогональная сумма есть прямая сумма, |
|||||||||
|
|
L1 L1 |
||||||||||||||||||||
dim L dim R4 |
dim L 4 2 2. |
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
L |
|
|
y |
|
y , y |
|
, y |
|
, y |
|
|
| |
|
y,e |
0, i |
1,2 . |
||||||
Таким образом, |
L1 определяется системой уравнений |
|||||||||||||||||||||
|
6y |
9 y |
2 |
y |
3 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y4 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдя фундаментальную систему решений этой однородной системы уравне-
ний, получим базис |
|
L1 . |
|
6 |
9 |
1 |
|
|
|
9 |
1 |
|
0 |
|
6 |
|||||
|
0 |
1 |
0 |
|
~ |
|
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 1
.
y3 |
, y4 |
- свободные переменные; |
||||||||
y2 y4 ; |
|
|
|
|
|
|
||||
y1 |
|
1 |
9 y2 |
y3 |
1 |
y3 |
9 y4 |
. |
|
|
6 |
6 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
y3 |
Общее решение имеет вид: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
3
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
y |
|
, y |
|
, y |
|
, y |
|
|
|
4 |
4 |
3 |
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Выбирая значения свободных переменных в соответствии с таблицей
i |
i |
i |
|
y3 |
y4 |
||
|
|||
1 |
6 |
0 |
|
|
|
|
|
2 |
0 |
2 |
получаем базис ортогонального дополнения L1 :
|
|
|
|
|
T , |
f |
1 |
1,0,6,0 |
|||
|
|
|
|
|
f2
3, 2,0,2 |
T |
|
.
Пример 3. Найдите ортогональную проекцию
g
и перпендикуляр h , опу-
щенный из вектора |
x 7, 4, 1,2 на подпространство |
рами y1 0, 11,,0 |
и y2 5,7,0,1 . |
L1
, порожденное векто-
Решение. Система векторов y1 , g L1 , 1 , 2 такие, что g 1 y1
единственное) представление x g
y2 образует базис подпространства L1 . Т.к. |
|
2 y2 . Кроме того, |
справедливо (причем |
|
. Последнее означает, |
h , в котором h L1 |
что h, yi 0, |
i 1,2 |
. Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x g, y |
x y |
|
2 |
y |
2 |
, y |
x, y |
|
y |
, y |
|
2 |
y |
2 |
, y |
|
|
i |
|
1 1 |
|
|
i |
i |
1 |
1 |
i |
|
|
i |
|
т.е. получили неоднородную систему уравнений относительно
рая в матричном виде выглядит так:
0, |
i |
|
|
|
1 |
1,2, и 2
, кото-
y |
, y |
|
y |
, y |
2 |
x, y |
|
|
||||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
, y |
|
|
y |
|
, y |
|
x, y |
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку
|
|
5.3.3 |
y1 , y1 0 1 1 0 2;
y1 , y2 0 7 0 0 7;
x, y1 0 4 1 0 3;
y2 , y2 25 49 0 1 75;
x, y2 35 28 0 2 61,
система
|
|
5.3.3 |
эквивалентна следующей:
2 |
7 3 |
2 |
7 |
3 |
||
|
7 |
|
~ |
|
|
. |
|
75 61 |
|
0 |
101 101 |
Отсюда
2 101101 1;
1 |
1 |
3 7 3 |
3 7 |
2. |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
Следовательно,
g 2 y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
2 |
2 0, 11,,0 |
|
5,7,0,1 |
|
|
5,2 7, 2 0,0 1 |
5, 5, 2, 1 ; |
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h x g |
7, 4, 1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
5, 5, 2, 1 |
|
2,11,,3 . |
|
|
|
5.3.1. Докажите, что ортогональное дополнение к странству евклидова пространства L обладает свойствами
линейному подпро-
:
|
|
|
|
|
L1; |
|
|
|
|
|
|
|
б) если L1 |
L2 , то |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а) L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
L1 ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
L L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
L. |
|
|
|
|||||
|
|
|
L |
|
L ; |
|
|
|
г) L 0, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь 0- нулевое подпространство, содержащее лишь нулевой вектор. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
5.3.2. Найдите базис ортогонального дополнения |
|
линейной оболочки |
||||||||||||||||||
|
|
|
L |
|
|||||||||||||||||||
L |
следующей системы векторов пространства R |
4 |
: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1,3,0,2 |
, x |
2 |
|
3,7, 1,2 , x |
3 |
|
2,4, 1,0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3.3. Найдите ортогональный базис ортогонального дополнения
L
, если
1 |
2 |
|
3 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
L L x , x |
|
, x |
|
и x |
1,0,2,1 , x |
|
|
2,1,2,3 , x |
|
|
0,1, 2,1 . |
||||
5.3.4. В пространстве |
Mn R многочленов степени n |
коэффициентами скалярное произведение многочленов
с действительными
|
|
|
|
|
t |
t n |
|
f |
t |
|
0 |
||||
|
|
|
|
1 |
n |
|
и
|
|
|
|
t |
t n |
|
g t |
|
0 |
||||
|
|
|
1 |
n |
|
определяется формулой
f , g |
0 |
0 |
|
|
|
n |
1 1 |
n |
|
.
|
|
5.3.4 |
|
Найдите ортогональное дополнение подпространства всех многочленов, удо-
влетворяющих условию f 1 0.
5.3.5. Найдите ортогональную проекцию и перпендикуляр, опущенный из вектора x на подпространство L1 :
а)
б)
x
x
14, 3, 6, 7 , L натянуто на векторы
2, 5,3,4 , L натянуто на векторы y1
y1 3,0,7,6 , y2 1,4,3,2
|
|
|
|
2,2, 2, 2 |
|
|
||||
y |
3 |
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1,3,3,5 , |
y |
2 |
|
1,3, 5, 3 , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 1, 5,3, 3 ;
в) x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3,0, 5,9 , |
||||||
3 |
1 |
2 |
2 |
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
|
3 |
|||
5 |
1 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
3 |
|
|||
|
2 |
3 |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
||
г) x |
|
|
|
|
|
||
5,2, 2,2 |
, L |
L задано системой уравнений:
2 |
4 |
0, |
|
|
32 4 0,
10 4 0;
натянуто на векторы |
y1 2,11,, 1 , |
y2 11,,3,0 , |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1,2,8,1 . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 5.4. Унитарное пространство |
|
||||||
|
|
|
Говорят, что в комплексном линейном пространстве |
L определено ска- |
||||||||
лярное произведение, если каждой паре векторов |
x, y L |
поставлено в соот- |
||||||||||
ветствие комплексное число, обозначаемое |
x, y |
, причем это соответствие |
||||||||||
удовлетворяет следующим аксиомам: |
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
. x, y y, x |
x, y L; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
0 |
. x, y x, y |
x, y L, C; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
. x y, z x, z y, z |
x, y, z L; |
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
0 |
. x, x 0 при |
x и x, x 0 при x . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Черта в первой аксиоме означает комплексное сопряжение.
Комплексное линейное пространство, в котором определено скалярное
произведение векторов, называется унитарным пространством.
Для любых двух векторов x и |
y |
унитарного пространства справедливо |
||
неравенство КошиБуняковского: |
|
|
||
x, y |
2 |
x, x y, y . |
|
5.4.1 |
|
|
В унитарном пространстве, как и в евклидовом, длину вектора определяют
формулой
x |
|
x, x
.
|
|
5.4.2 |
|
Понятие угла между векторами в унитарном пространстве ривают лишь случай ортогональности векторов. При этом,
пространстве, ортогональными считают векторы x и y
не вводят. Рассмат-
как и в евклидовом
, удовлетворяющие
условию
x, y 0.
Процесс ортогонализации системы векторов, понятие ортогонального и ортонормированного базиса, ортогонального дополнения, ортогональной про-
екции вектора на подпространство и вообще вся теория евклидова простран-
ства распространяется на унитарное пространство без изменения определений и общих схем рассуждений. Тем не менее каждый раз следует быть вниматель-
ным при применении скалярного произведения, поскольку в унитарном про-
странстве скалярное произведение существенно отличается от скалярного про-
изведения в евклидовом пространстве. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Если |
e1 |
,e2 , ,en - ортонормированный базис |
n - мерного унитарного про- |
|||||||||||
странства |
L |
и для векторов x, y L имеют место разложения |
||||||||||||
x e |
|
e |
|
n |
e , |
y e |
|
2 |
e |
|
n |
e |
, |
|
1 1 |
|
2 2 |
|
n |
1 1 |
|
2 |
|
n |
|
то справедливы равенства:
x, y 1 1 2 2 n n ;
x, x 1 2 2 2 n 2 ;
i |
|
x,ei , i |
y,ei , |
|
i 1,2, ,n. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Пример 1. Ортонормируйте систему векторов |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
1,i,i , |
x |
2 |
|
i,i,i , |
x |
3 |
|
i,0,i |
, |
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
считая, что векторы заданы координатами в ортонормированном базисе. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. Сначала проведем процесс ортогонализации данной системы |
|||||||||||||||||||
векторов. Положим y1 x1 |
1,i,i , |
y2 x2 21y1 |
и найдем 21 |
из условия |
||||||||||||||||||
y |
2 |
, y |
x |
2 |
|
21 |
y , y |
|
21 |
y |
, y |
x |
2 |
, y 0. |
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
Получим
|
|
x2 , y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
i |
1 i i i i |
2 i . |
||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y1 |
, y1 |
|
|
12 i 2 i 2 |
3 |
|||||||
|
|
|
Поэтому
y |
|
|
i,i,i |
|
2 i |
1,i |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Теперь положим
вий:
|
|
|
,i |
||
|
|
|
y |
3 |
|
|
|
2 2i |
, |
1 |
||||
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
31 |
y |
||
|
|
|
1 |
i 1 i
3 3
32 y2
. |
|
и |
|
31 |
, |
32 |
|
будем искать из усло-
y3 , y1 31 y1, y1 x3 , y1 0;
y3 , y2 32 y2 , y2 x3 , y2 0.
Отсюда получаем:
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
i 1 0 i i i |
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
, y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
31 |
y |
|
, y |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
2 2i |
i |
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
, y |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 i |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
32 |
y2 , y2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 2i |
|
1 |
i |
|
1 |
i |
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y3 i,0,i |
|
1 i |
1,i,i |
|
3 i |
2 2i |
|
1 i |
|
1 i |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
i |
|
i |
|
0, |
|
, |
|
. |
|
|
|||
|
2 2 |
|
Система векторов
этой системы:
y |
, y |
2 |
, y |
3 |
1 |
|
|
ортогональная. Нормируем каждый вектор
z |
|
|
1 |
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
1 |
y |
|
1 |
1,i,i ; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
y |
|
1 |
|
|
y , y |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
3 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z |
|
|
1 |
|
y |
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
y2 |
2 |
|
y2 |
, y2 |
2 2i |
2 |
|
1 i |
2 |
1 i |
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
2 2i,1 i,1 i ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
1 |
y |
|
|
y |
3 |
|
|
y |
3 |
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
1 |
0,i,i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3 |
y3 |
3 |
y3 , y3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
2 |
|
i |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Пример 2. Докажите, что векторы |
|
x |
и |
y |
|
унитарного пространства орто- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
гональны тогда и только тогда, когда |
|
x y |
|
2 |
|
|
x |
|
2 |
|
|
y |
|
|
|
2 |
для любых чисел |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
и |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Необходимость. Пусть |
x, y 0. Тогда |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x y,x y |
|
x, x |
|
x,y |
|
|
|
|
|
|
y, x |
|
|
|
|
|
y,y |
|
|
x 2 x, y y, x y 2
x 2 0 0 y 2 x 2 y 2 .
Достаточность. Пусть |
x y |
2 |
x |
2 |
y |
2 |
. Тогда из записанного выше |
|||||
|
|
|
||||||||||
следует, что |
x, y y, x x, y x, y 2 Re x, y 0 |
или |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re |
x, y |
|
0 , C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим в последнем равенстве
1
.
Тогда
|
|
|
Re |
x, y |
|
|
|
|
Re x, y |
|
0
.
Пусть теперь |
1, |
i . Тогда Re x, y Re i x, y Im x, y 0 . Следо- |
||||||
вательно, |
x, y 0. |
|
|
|
|
|
||
|
5.4.1. Докажите, что из аксиом скалярного произведения в унитарном про- |
|||||||
странстве вытекают следующие свойства: |
|
|||||||
а) x, y1 y2 x, y1 x, y2 для любых векторов унитарного пространства; |
||||||||
б) x, y x, y для любых векторов x, y |
унитарного пространства и любого |
|||||||
|
комплексного числа |
; |
|
|||||
в) , x x, 0; |
|
|
|
|
|
|||
|
k |
l |
|
k |
l |
|
|
|
г) |
i xi , |
j y j |
i j xi , y j . |
|
||||
i 1 |
j 1 |
|
i 1 j 1 |
|
|
5.4.2. Докажите, что в любом комплексном линейном пространстве можно |
|||||||||||||||||
определить скалярное произведение. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
5.4.3. Введите скалярное произведение в n - мерном комплексном арифме- |
|||||||||||||||||
тическом пространстве Cn . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
5.4.4. Введите скалярное произведение в пространстве Mn C многочле- |
|||||||||||||||||
нов с комплексными коэффициентами степени n . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
5.4.5. Докажите, что в произвольном унитарном пространстве остается |
|||||||||||||||||
справедливой |
|
теорема |
Пифагора: если векторы |
x |
и |
y ортогональны, то |
||||||||||||
x y |
2 |
|
x |
2 |
|
y |
|
2 |
. Покажите вместе с тем, что обратное к теореме Пифагора |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
утверждение неверно. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
5.4.6. Докажите, что утверждение задачи 5.2.5. |
|
|
|
||||||||||||||
x y |
2 |
|
x y |
2 |
|
2 x |
2 |
2 y |
2 |
справедливо и в унитарном пространстве. |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
5.4.7. Докажите равенство: |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x y 2 |
x y 2 i x iy 2 i x iy 2 . |
|
|
|
|||||||||||
4 x, y |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
5.4.8. |
Пусть |
|
|
a 1,0,i , b 11, i,1 i , c 2 i,1,3 4i . Найдите длины |
|||||||||||||
этих векторов и скалярные произведения a,b , b,c и |
c,b считая, что векто- |
|||||||||||||||||
ры a,b,c |
заданы координатами в ортонормированном базисе. |
|||||||||||||||||
|
5.4.9. Убедитесь, что система векторов x1 4 3i,4 3i,2 , |
|||||||||||||||||
x2 |
4 3i,4 3i,0 |
- ортогональная и дополните ее до ортогонального базиса |
трехмерного унитарного пространства, считая, что векторы |
x1 , x2 |
заданы ко- |
ординатами в ортонормированном базисе. |
|
|