Лекция дискрет 15
.pdf3) Свойства исчисления высказываний L
Вывод формулы B из формул A 1 ,A 2 , … ,A n в
аксиоматической теории Т ( A 1 |
,A 2 , … ,A n ├ B ) |
Последовательность формул F 1 ,F 2 |
, … ,F m такая что: |
(1) F m есть B |
|
(2) любая F i (i = 1 ….. m): |
|
либо одна из аксиом теории Т
либо одна из исходных формул A 1 ,A 2 , … ,A n
либо непосредственно выводима из F 1 ,F 2 , … ,F i – 1
по одному из правил вывода теории Т
Общая идеология построения вывода
A 1 ,A 2 , … ,A n ├ B
в аксиоматической теории
Исходные формулы A 1 ,A 2 , … ,A n
(возможно, пустое множество)
+
Прототип(ы) – частный(е) случай(и) аксиом или формул, полученных ранее в результате доказательства утверждений и решения задач
+
Правила и квазиправила – приёмы для последовательного преобразования исходных и промежуточных формул к необходимому виду
Формулы теории L, которые могут быть приняты в качестве прототипов
|
(первоначальное множество, |
|
на основе определения L) |
(А1) |
A ( B A ) |
(А2) |
(A (B C )) ((A B ) (A C )) |
(А3) |
( ┐B ┐A ) ( ( ┐B A ) B ) |
|
Правила и квазиправила теории L |
|
|
(на основе определения L) |
|
1 |
Подстановка – одновременная замена в формуле F всех |
|
вхождений пропозициональной буквы, напр., А, на одну |
||
|
||
|
и ту же произвольную формулу, напр. , H |
|
2 |
Правила сокращения – представление логических связок |
&, , ≡ примитивными связками ┐и :
(D1) A & B означает ┐(A ┐B ) (D2) A B означает ┐A B
(D3) A ≡ B означает (A B ) & (B A )
3 |
Modus Ponens – удаление импликации: из посылок A и |
|
A B непосредственно выводима формула B
А2 (A (B C )) ((A B ) (A C ))
Th.4.1.2 Для любой формулыA исчисления L имеет место├ A A
1. (A ((A A ) A )) ((A (A A )) (A A )) A2
2. A ((A A ) A ) |
A1 |
|
3. |
(A (A A )) (A A ) |
МР к 1,2 |
4. |
A (A A ) |
А1 |
5. |
A A |
МР к 3,4 |
|
|
|
Утверждение типа «Если множество бесконечно, то оно бесконечно» не требует никаких аргументов в своё обоснование
Th.4.1.3 Для любых формул A и B исчисления L имеет место A ├ B A
1. A |
посылка |
2. A (B A ) |
А1 |
3. B A |
МР к 1,2 |
A
Треугольник ABC со сторонами 3 см, 4 см и 5 см - прямоугольный
B |
Треугольник ABC покрашен в зелёный цвет |
|
|
Допустим, треугольник ABC со сторонами 3 см, 4 см |
|
A ├ B A |
и 5 см – прямоугольный. Тогда, если он (треугольник) |
|
покрашен в зелёный цвет, то он прямоугольный |
||
|
«Если некий факт (A ) имеет место, причину этого (B ) подберём
или придумаем»
Th.4.1.4 Для любых формул A и B исчисления L имеет место A , ┐A ├ B
1. |
( ┐B ┐A ) (( ┐B A ) B ) |
А3 |
2. |
A |
посылка |
3. |
┐A |
посылка |
4. |
┐A (┐B ┐A ) |
А1 |
5. |
┐B ┐A |
МР к 3 и 4 |
6. |
( ┐B A ) B |
МР к 1 и 5 |
7. |
A (┐B A ) |
А1 |
8. |
┐B A |
МР к 2 и 7 |
9. |
B |
МР к 6 и 8 |
|
|
|
!Из противоречия следует всё, что угодно!
Если мы заставим их быть свободными, все будут счастливы
4) Индукция и дедукция в исчислении высказываний L
Индукция – переход от частных утверждений к общему заключению; дедукция – вывод частных заключений из общего утверждения
Доказали индукцией:
Th.1.4.5 Пусть M1, M2,…,Mn – конечные множества и │Mi│ = ri (i=1…n). Тогда мощность декартова произведения множеств M1 M2 … Mn равна произведению мощностей множеств Мi (i=1…n), т.е.
│M1 M2 … Mn│= r1 r2 … rn
Дедуктивным методом получили частные следствия:
Задача 1.10 «с» Объединение счётного множества конечных множеств счётно
Счётность множества логических функций P2 = P2(n) при n N
Th.1.4.6 Любое бесконечное подмножество N N счётно
Подмножество F = { a0=a1=1; an = an-1 + an-2 (n≥2) } N счётно
Th.1.2.1 Для функции f: A B существует обратная функция g: B A тогда и только тогда, когда f является взаимно однозначным соответствием между своей областью определения и областью значений
|
Для функции f (x) = x + x |
при x 0 существует обратная функция |
Правило МР – обоснование метода математической индукции в L
A 0 |
A 0 A 1 |
|
|
|
A 1 |
A 1 A 2 |
|
|
|
A 2 |
A 2 A 3 |
A 3 |
………………… |
A , A B
B
…………………
…………………
A n-2 A n-2 A n-1
A n-1 A n-1 A n
A n
Th.4.1.5 Теорема дедукции исчисления L
Пусть Γ- множество формул исчисления L, A и B - формулы L.
Γ,A ├ B тогда и только тогда, когда Γ ├ A B
Доказательство Th.4.1.5 |
|
( ) |
Существует вывод B 1,…,B i ,…,B n = A B из посылок Γ |
||
1. |
B 1 |
|
2. |
B 2 |
|
.................... |
|
|
n-1 |
B n-1 |
|
n |
A B |
|
Продолжим вывод: |
|
|
n+1 |
A |
посылка |
n+2 |
B |
MP к n и n+1 |
Предположив, что Γ ├ A B , пришли к Γ,A ├ B